Рассчёт допусков, страница 2

Из указанной записи легко определить численное значение КС. Предельныеотклонения емкости составляют:w(y)⎛ ∆C ⎞⎛ ∆C ⎞= 0 %.⎜⎟ = −5 % ; ⎜⎟⎝ C ⎠ min⎝ C ⎠ maxТогда предельными отклонениями КС емкости будут значения :KC min =(∆C / C )mint эксKC max ==−5= −2,5 ⋅10 −3 % 1/час;2000(∆C / C )maxt экс=0= 0 % 1/час.2000Принимая гипотезу о нормальном распределении КС, можноопределить такие характеристики, как среднее значение и половинаполя рассеивания КС:M (KC) =KC min + KC max= −1,25 ⋅10 −3 % 1/час;2δ( KC) = KC mma − M ( KC) = 0 − ( −1,25 ⋅ 10 −3 ) = 1,25 ⋅ 10 −3 % 1/час.6.6. Описание точности и стабильностивыходных параметров устройствДля количественной оценки точности выходных параметровможно использовать М(у) – математическое ожидание (среднеезначение) выходного параметра y и σ(у) – среднее квадратическое7отклонение выходного параметра у, причем σ(у) характеризует разброс выходного параметра, обусловленный только производственными погрешностями первичных параметров (иногда говорят начальными или технологическими отклонениями).В инженерной практике чаще пользуются характеристикамивида⎛ ∆y ⎞⎛ ∆y ⎞M ⎜⎜ ⎟⎟, σ ⎜⎜ ⎟⎟.⎝ y ⎠⎝ y ⎠Они имеют тот же самый смысл, что и характеристики М(у) иσ(у), но относятся к ∆у/у.В промышленности вместо характеристики σ(∆y/y) обычноприменяют δ(∆y/y), представляющую собой половину поля рассеивания относительного производственного отклонения выходногопараметра.Характеристика σ(∆у/у) используется в качестве половины поля производственного допуска.Производственный допуск на выходной параметр может устанавливаться, исходя из служебного назначения радиоэлектронногоустройства или технологического процесса.

Но при инженерномпроектировании часто поступают следующим образом.Вначале определяют, какой производственный разброс выходного параметра будет иметь место при заданной вероятности. Затем полагают допуск численно равным значению этого разброса. Если заказчика значение допуска устраивает, то задача его установления решена, и допуск будет гарантироваться с такой вероятностью, с которой подсчитывался производственный разброс выходного параметра.6.7.

Методы определения производственныхдопусков на выходные параметрыПроизводственный допуск на выходной параметр может рассматриваться как характеристика оценки его точности. В настоящее время в инженерной практике существует два основныхметода определения производственных допусков на выходные параметры:а) расчетно-аналитический метод с учетом вероятностногорассеивания первичных параметров;б) метод Монте-Карло (метод статистических испытаний).Кроме указанных методов иногда используют метод "min-max". Этотметод широко использовался ранее, но не оправдал себя, и сейчасего применяют в основном для поверочных расчетов (предварительных прикидок).86.8.

Принципы анализа точности выходных параметровПусть для устройства или технологического процесса известнаматематическая модель видаy = ϕ( x1 , ..., xn ),(6.1)гдеу– выходной параметр;x 1 , ..., x n – первичные параметры;n– количество учитываемых первичных параметров.Будем считать, что абсолютные производственные отклоненияпервичных параметров значительно меньше, чем сами параметры, т.е.∆x i << x i .Тогда можно записатьy + ∆y ≈ ϕ( x1 + ∆x1 , ..., xn + ∆xn ) .(6.2)Разложим уравнение (6.2) в ряд Тейлора в точкеX 0 ={x i 0 ,…,x n 0 },где x i 0 — среднее значение i-гo первичного параметра.Получим∂ϕ1∆ xi +y + ∆ y = ϕ ( x10 , ..., x n0 ) + ∑2i =1 ∂xin∂ 2ϕ∑ 2 ( ∆ x i ) 2 + ...i =1 ∂ xn(6.3)Вычтя из уравнения (6.3) уравнение (6.1) и отбросив члены 2-гои высшего порядков малости, получим∂ϕ∆x i .i =1 ∂xin∆y = ∑(6.4)Это выражение называется уравнением абсолютной производственной погрешности выходного параметра.

В приведенном уравнении ∆x i есть абсолютные производственные погрешности первичных параметров, i = 1, ..., п.Величины дφ/дx i называют абсолютными коэффициентами чувствительности, они показывают, как реагирует у на значение отклонений ∆x i .9Разделив уравнение (6.4) на выражение (6.1), получим уравнение относительной производственной погрешности выходного параметра:∆y=y∂ϕ ∆ x x∑ ∂x ϕ i ⋅ xi =i =1iinn∑ Bii =1∆ xi.xi(6.5)При выполнении этой операции с целью выявления величины∆x i /x i произведено умножение и деление на x i .Отношение⎡ ∂ϕ xi ⎤Bi = ⎢⎥⎣ ∂xi ϕ ⎦ 0(6.6)называют относительным коэффициентом чувствительности иликоэффициентом влияния . Он характеризует степень влияния относительной погрешности первичного параметра на относительную погрешность выходного параметра. Нижний индекс “ноль” указывает,что после дифференцирования и до умножения на x i /φ в полученноеуравнение необходимо подставить средние значения x 1 , ..., x n , если ввыражении они еще останутся.6.9.

Определение производственного допуска методом «min-max»Этот метод иначе называют “определением допусков, исходя изнаихудшего случая рассеивания первичных параметров”. Исходнымиданными являются:а) производственные (технологические) допуски первичных параметров, обычно в виде значений относительных производственныхпогрешностей;б) уравнение относительной производственной погрешностивыходного параметра в виде∆x∆y n= ∑ Bi i ,y i =1xiBi – коэффициент влияния i-гo первичного параметра;∆x i /x i – относительное производственное отклонение (разброс,погрешность) i-гo первичного параметра;n – количество учитываемых первичных параметров.Суть метода состоит в следующем.Вначале определяется максимальное отклонение выходного параметра, которое он может принять в левой (отрицательной) сторонегде10относительно среднего значения.

Затем определяют максимальноеотклонение выходного параметра в правой (положительной) стороне.При подсчете указанных отклонений пользуются непосредственно уравнением относительной производственной погрешностивыходного параметра, подставляя в него предельные (наихудшие)значения относительных отклонений первичных параметров. Приэтом предполагается, что известны или каким-либо образом найденызначения коэффициентов влияния B i .Допуск на выходной параметр устанавливается с учетом рассчитанных отклонений для левой и правой сторон.Основным недостатком метода "min-max" является то, что ондает в большинстве случаев завышенное значение допуска, причем,допуск завышен тем больше, чем большее число первичных параметров входит в математическую модель устройства или процесса.Следствием этого являются неоправданно жесткие требования кдиапазонам изменения (допускам) первичных параметров.

Вероятность возникновения наихудшего случая, как правило, крайне мала иреальный разброс выходных параметров оказывается намного меньше, чем предсказанный по методу "min-max".Достоинством метода является его простота. Если полученныйдопуск устраивает заказчика, то нет необходимости применять болеесложные методы.6.10.

Определение производственногодопуска вероятностным методомСоотношения получают для характеристик М(∆y/y) п р иσ(∆y/y) п р . Используют записанное выше уравнение относительнойпроизводственной погрешности выходного параметра.При получении инженерных формул принимают во вниманиетеоремы теории вероятностей, смысл которых можно выразить следующими формулами:M ⎛⎜ ∑ xi ⎞⎟ = ∑ M ( xi ) ;⎝ i =1 ⎠ i =1nnM (αx) = αM ( x) , α = const ;D( x + z ) = D( x) + D( z ) + 2 rxz σ( x)σ( z ) ,где x i , x, z – случайный величины;n – количество случайных величин;r xz – коэффициент парной корреляции между параметрами х и z;11M – знак математического ожидания случайных величин;D, σ – знаки дисперсии и среднего квадратического отклоненияслучайных величин.Последняя из формул записана для случая двух случайных величин, однако подобное справедливо и для случая любого их количества.С учетом записанных выше формул, интересующие нас расчетные соотношения запишутся в видеn⎛ ∆x⎛ ∆y ⎞M ⎜⎜ ⎟⎟ = ∑ Bi M ⎜⎜ i⎝ y ⎠ пр i =1⎝ xi⎛ ∆y ⎞σ⎜⎜ ⎟⎟ =⎝ y ⎠ пр⎛ ∆xBi2 σ 2 ⎜⎜ ii =1⎝ xin∑⎞⎟⎟ ;⎠ пр(6.7)n⎞⎛ ∆x ⎞ ⎛ ∆x⎟⎟ + 2 ∑ rij Bi B j σ⎜⎜ i ⎟⎟ σ⎜ j⎜i , j =1⎠ пр⎝ xi ⎠ пр ⎝ x ji< j⎞⎟ ,⎟⎠ пр(6.8)⎛ ∆x ⎞где M ⎜⎜ i ⎟⎟ – математическое ожидание (среднее значение) относи⎝ xi ⎠ пртельной производственной погрешности i-го первичного параметра, те.

величины (∆x i /x i ) п р ;⎛ ∆x ⎞σ⎜⎜ i ⎟⎟ – среднее квадратическое отклонение (∆x i /x i ) п р ;⎝ xi ⎠ прB i – коэффициент влияния i-гo первичного параметра;r i j – коэффициент парной корреляции между i-м и j-м первичными параметрами.Смысл σ(∆x j /x j ) п р и B j аналогичен вышеуказанным, но толькодля j-го первичного параметра.Запись i<j под знаком второй суммы означает, что берутся неповторяющиеся сочетания пар параметров x i и x j .В промышленности при определении производственного допуска вместо характеристики σ(∆y/y) п р пользуются характеристикойδ(∆y/y) п р , представляющей собой половину поля рассеивания относительной производственной погрешности выходного параметра.

Этавеличина с учетом выражения (6.8) может быть определена как⎛ ∆y ⎞δ⎜⎜ ⎟⎟ = ρ⎝ y ⎠ прn⎛ ∆x j2 2 ⎛ ∆xi ⎞2⎜⎟BKrBB2δ+δ∑ i ⎜x ⎟ i∑ ij i j ⎜⎜ x, j =1ii =1⎝ i ⎠ пр⎝ jni≠ ji< j⎞ ⎛ ∆x j⎟ δ⎜⎟ ⎜ x⎠ пр ⎝ j⎞⎟ Ki K j ,⎟⎠ пр(6.9)12где δ(∆x i /x i ) п р – половина поля рассеивания относительной производственной погрешности i-гo первичного параметра(половина поля производственного допуска на первичный параметр);ρ – коэффициент гарантированного обеспечения допуска;зависит от вероятности Р г , с которой гарантируетсяпроизводственный допуск (табл.

6.2);K i – коэффициент относительного рассеивания i-го первичного параметра; показывает, в какой степени рассеивание i-го первичного параметра отличается отнормального закона распределения (табл.6.3).Смысл δ(∆x i /x i ) п р , B j , K j аналогичен вышеуказанным, но толькодля j-го первичного параметра.Запись i < j под знаком второй суммы, как и ранее, означает,что берутся неповторяющиеся сочетания пар параметров x i и x j .Таблица 6.2Значение коэффициента ρ в зависимости от вероятности P г .Вероятность P г0,800,900,950,99Коэффициент ρ0,430,590,650,86Вероятность P г0,99730,9990,99990,99999Коэффициент ρ11,11,31,47Таблица 6.3Значение коэффициентов относительного рассеиванияпервичных параметров.Нормальный“Треугольника”РавномерныйЗакон распределенияпервичногопараметраКоэффициент относительного рассеиванияKi, Kj11,2253 ≈1,73В окончательном виде производственный допуск устанавливается как13⎛ ∆y ⎞∆ пр = M ⎜⎜ ⎟⎟⎝ y ⎠ пр±с и с тем а ти че с к аяс о с та в ляю щ аядо пус ка⎛ ∆y ⎞δ⎜⎜ ⎟⎟ .⎝ y ⎠ пр(6.10)случ айнаяс о с та в ляю щ аядо пускаСопоставляя выражения (6.9) и (6.10) можно заметить, что половина поля рассеивания величины (∆y/y) п р используется в качествеполовины поля производственного допуска.

Поэтому допуск ∆ п р гарантируется с такой вероятностью Р г , которая соответствует случайной составляющей допуска δ(∆y/y) п р .6.11. Анализ точности выходных параметровметодом Монте-КарлоЭтот метод иначе называют методом статистических испытаний.Применительно к анализу точности выходных параметров позволяет оценить М(у) – математическое ожидание (среднее значение)выходного параметра и σ(y) – среднее квадратическое отклонениевыходного параметра.Зная М(у) и σ(у), можно назначить допуск на выходной параметр у, выраженный размерностью самого параметра или его относительным отклонением, обычно выражаемым в процентах.На практике при назначении допуска пользуются гипотезой онормальном распределении выходного параметра (рис.