Рассчёт допусков, страница 4

В этих выражениях случайными являются α Σ и сΣ , поэтому дляих описания используют две характеристики: математическое ожидание и половину поля рассеивания соответствующего коэффициента.Математические выражения для определения характеристикM(α Σ ) и δ(α Σ ) могут быть получены с помощью теорем теории вероятностей по аналогии с нахождением характеристик М(∆у/у) п р иδ(∆y/y) п р , используемых при анализе точности выходных параметров:nM (α ∑ ) = ∑ Bi M (α i ) ;(6.20)i =1δ( α ∑ ) = ρгдеn∑i =1Bi2 δ 2 (α i ) K i2n+ 2 ∑ rij Bi B j δ(α i )δ(α j ) K i K j ,(6.21)i , j =1i< jM(α i ) – математическое ожидание (среднее значение) температурного коэффициента i-го первичного параметра;δ(α i ), δ(α j ) – половина поля рассеивания температурного коэффициента i-го и j-го первичных параметров;B i , B j – коэффициенты влияния i-го и j-го первичных параметров;K i , K j – коэффициенты относительного рассеивания температурных коэффициентов i-го и j-го первичных параметров;ρ – коэффициент гарантированного обеспечения допуска; зависит от вероятности, с которой гарантируется допуск;r i j – коэффициент парной корреляции между температурными коэффициентами i-го и j-го первичных параметров.20Запись i < j под знаком второй суммы означает, что берутся неповторяющиеся сочетания первичных параметров, причем i ≠ j.Формулы для расчета характеристик M(с Σ ) и δ(с Σ ) могут бытьполучены из выражений (6.20) и (6.21) путем замены величины α Σ нас Σ , а величин α i на c i .

Смысл параметров в новых формулах аналогичен параметрам формул (6.20) и (6.21), но только для коэффициентовстарения.Температурный допуск ∆ t и допуск старения ∆ с т устанавливаюткак∆ t = [M (α ∑ ) ± ± δ(α ∑ ) ± ]∆t ;(6.22)∆ ст = ∆τ[M (α ∑ ) ± δ(c∑ )]∆τ .(6.23)Нижние индексы ± в выражении (6.22) означают, что температурный допуск ∆ t определяется отдельно для областей отрицательных (∆ t – ) и положительных (∆ t + ) температур, а окончательноерешение о температурном допуске принимается на основе анализаэтих значений.Температурный допуск ∆ t и допуск старения ∆ с т гарантируетсяс такой вероятностью, с которой подсчитывались половины полейрассеивания коэффиt, ○Cциентов α Σ и с Σ .40На рис.

6.8 пояснено действие темпе-20ратуры. Из него видно,что при каждой кон⎛ ∆y ⎞⎜⎜ ⎟⎟ , %кретнойтемпературе0⎝ y ⎠tиз заданного диапазона(–10...+40° С) плот-10⎛ ∆y ⎞ностьраспределенияw⎜⎜ ⎟⎟y⎝ ⎠tотносительной темпеаратурной погрешности(∆y/y) t примерно соответствует нормальномузакону распределения.бПри изменении темпе⎛ ∆y ⎞⎜⎜ ⎟⎟ , %ратуры в любую сто⎝ y ⎠tрону от значения +20°С01,2-1-2,84,8происходит с м ещение иувеличение поля расРис 6.8. Законы распределения относительныхсеивания относительтемпературных погрешностей выходногопараметра устройства: а – реальный закон;ных температурных поб – аппроксимирующий законгрешностей.21Так, в рассмотренном примере при изменении температурыот –10 до +40° С среднее значение температурной погрешности перемещается от +1,2 до –1,0 %, а половина поля рассеивания увеличивается от нуля при t =+20° С до 3,6 % при t = –10° С.Результирующее распределение температурных погрешностейпри определенном диапазоне температур (–10...+40° С) показано нарис.

6.8 (кривая а). Правая и левая ветви образованы кривыми нормального распределения, но с различными значениями характеристики (параметра) распределения σ. При определении допусков требуется установить пределы изменения выходных параметров РЭУили технологических процессов под воздействием температуры, а незакон распределения температурных погрешностей. Из примера видно, что для такого расчета достаточно лишь знать количественныехарактеристики нормальных распределений при крайних рабочихтемпературах. Это позволяет для простоты аппроксимировать реальный закон распределения относительных температурных погрешностей выходного параметра композицией закона равной вероятности идвух законов нормального распределения с различными значениямиσ (рис. 6.8), кривая б).Отметим, что в основу определения температурного допускабыло положено предположение о линейном изменении первичныхпараметров под воздействием температуры.В случае, когда температурные изменения первичных параметров нелинейны и в заданном диапазоне температур выше, нежелипри линейном характере изменения, то для исключения ошибок приопределении температурных допусков необходимо температурныекоэффициенты первичных параметров определить по формуле⎛ ∆xi ⎞⎜⎜⎟⎟x⎝ i ⎠ max,αi =∆t РЭУ(6.24)где (∆x i /x i ) m a x – максимальное значение относительного измененияпервичного параметра x i в крайних точках рабочегодиапазона температур, указанное в документациина элемент;∆t Р Э У – максимальный перепад температур относительнонормальной (+20° С) для РЭУ, в котором применяется элемент, характеризуемый первичным параметром x i .Ясно, что должно выполнятся условие∆t эл > ∆t РЭУ ,22где ∆t эл – максимальный перепад температур относительно нормальной, указанный в технических условиях на элемент.Во время эксплуатации устройств под воздействием непрерывно меняющейся температуры и других факторов среды происходитсмещение и изменение полей рассеивания суммарных погрешностейвыходных параметров.

В этом случае суммарный закон распределения выходных параметров случаен и может принимать любую форму. Однако для определения эксплуатационного допуска, важнознать лишь возможные пределы изменения выходных параметровпод воздействием эксплуатационных факторов и старения.6.14. Определение эксплуатационных допусковЭксплутационный допуск может рассматриваться в качествекомплексной оценки точности и стабильности выходных параметров.Его значение обычно включается в техническую документацию наустройство.Эксплуатационный допуск обычно устанавливают на основезнания производственного допуска, температурного допуска, допуска старения и других допусков в зависимости от того, какие факторы принимаются во внимание.Для устройств, работающих в обычных условиях, в большинстве случаев принимают во внимание два важнейших фактора –температуру и старение (время).

Если устройство должно функционировать в специфических условиях, то факторы, характеризующиеэти условия, должны быть приняты во внимание в первую очередь.Аналогично находят ремонтный допуск, только при этом неучитывают допуск старения. Так как эксплуатационный и ремонтныйдопуски ограничивают разброс, вызванный действием совокупностифакторов, то их иногда называют суммарными допусками.При эксплуатации устройств под воздействием меняющихся сочетаний дестабилизирующих факторов происходит смещение и изменение поля рассеивания суммарного разброса выходного параметра. В этом случае закон распределения суммарной погрешности выходного параметра оказывается случайным и в зависимости отсочетания эксплуатационных факторов может принимать любуюформу.

Однако для определения эксплуатационных и ремонтных допусков важно лишь знать предельный разброс выходного параметра.Поэтому при расчетах суммарных допусков необходимо учесть возможные сочетания эксплуатационных факторов, наиболее неудачныес точки зрения разброса выходного параметра.В дальнейшем, при иллюстрации методики установления эксплуатационного допуска примем во внимание два важнейших эксплуатационных фактора – температуру и время.23Методика определения эксплуатационного допускаРекомендуемая последовательность действий такова.1.

Определяют максимальные пределы смещения среднего значения суммарной относительной погрешности выходного параметра,относительно среднего значения производственного допуска. Суммирование ведется отдельно для положительных и отрицательныхсредних значений допусков старения и температурных допусков.Применять общее суммирование с компенсацией средних значений здесь будет неправильным, так как компенсация характерналишь для частных случаев (отдельных временных или температурных сечений).Расчет ведут по формулам⎛ ∆y ⎞⎛ ∆y ⎞⎛ ∆y ⎞⎛ ∆y ⎞M ⎜⎜ ⎟⎟ = M ⎜⎜ ⎟⎟ + M ⎜⎜ ⎟⎟ + M ⎜⎜ ⎟⎟ ;⎝ y ⎠∑+⎝ y ⎠ пр⎝ y ⎠ ст +⎝ y ⎠t+⎛ ∆y ⎞⎛ ∆y ⎞⎛ ∆y ⎞⎛ ∆y ⎞M ⎜⎜ ⎟⎟ = M ⎜⎜ ⎟⎟ + M ⎜⎜ ⎟⎟ + M ⎜⎜ ⎟⎟ ,⎝ y ⎠∑ −⎝ y ⎠ пр⎝ y ⎠ ст−⎝ y ⎠t −(6.25)(6.26)где M(∆y/y) Σ + – сумма положительных средних значений;M(∆y/y) Σ - – сумма отрицательных средних значений.Если M(∆y/y) с т является положительной, то она подставляется вформулу (6.25).

В формулу же (6.26) в этом случае подставляетсязначение M(∆y/y) с т = 0. Если M(∆y/y) с т отрицательна, то ее значениеиспользуется в формуле (6.25), в формулу (6.26) в этом случае подставляется значение M(∆y/y) с т = 0.Что касается M(∆y/y) t , то принимают во внимание значения, получаемые при крайних положительной и отрицательной температурах. В формулу (6.25) подставляют положительное значениеM(∆y/y) t , а в формулу (6.26) отрицательное значение, независимо оттого, какой области температур они соответствуют. Если жеM(∆y/y) t , найденные для областей положительной и отрицательнойтемператур одного знака, то поступают по аналогии с M(∆y/y) с т .2. Определяют половину поля рассеивания суммарной относительной погрешности выходного параметра, пользуясь формулой⎛ ∆y ⎞⎛ ∆y ⎞⎛ ∆y ⎞⎛ ∆y ⎞δ⎜⎜ ⎟⎟ = δ 2 ⎜⎜ ⎟⎟ + δ 2 ⎜⎜ ⎟⎟ + δ 2 ⎜⎜ ⎟⎟ .⎝ y ⎠∑⎝ y ⎠ пр⎝ y ⎠ ст⎝ y ⎠t ±Индексы “пр”, “t” “ст” имеют тот же смысл, что и выше.(6.27)24Знаки ± при нижнем индексе t означают, что из значенийδ(∆y/y) t , найденных для области положительных и отрицательныхтемператур, берётся большее.Характеристика δ(∆y/y) Σ гарантируется с такой же вероятностью, с которой подсчитывались составляющие подкоренного выражения.

Если эти составляющие подсчитывались с разными вероятностями, формула (6.27) принимает другой, более сложный вид.3. Устанавливают значение эксплуатационного допуска как∆ э = ξ {[M( ∆ y/y) ∑ - – δ ( ∆ y/y) ∑ ] … [M( ∆ y/y) ∑ + + δ ( ∆ y/y) ∑ ]},(6.28)где ξ – коэффициент запаса, учитывающий влияние неучтенных факторов (давление, влажность и т.д.).Нестабильность выходных параметров устройств, обусловленная неучтёнными при расчёте факторами, не превышает 5…10%. Наэтом основании значение коэффициента ξ берут с некоторым запасом: ξ = 1,05…1,2.Эксплуатационный допуск гарантируется с такой вероятностью, с которой определялось значение δ ( ∆ y/y) ∑ .6.15. Коэффициенты влияния первичных параметровОтносительное изменение (погрешность) выходного параметра,вызываемая действием любого j-го фактора, имеет видn⎛ ∆x ⎞⎛ ∆y ⎞⎜⎜ ⎟⎟ ≈ ∑ Bi ⎜⎜ i ⎟⎟ .⎝ y ⎠ j i =1 ⎝ xi ⎠ j(6.34)В этом уравнении величина B i , определяемая как⎡ ∂y ∆xi ⎤Bi = ⎢⋅⎥∂x⎣ i y ⎦0(6.35)называется относительным коэффициентом чувствительности иликоэффициентом влияния первичного параметра.

B i характеризуетстепень влияния относительного изменения первичного параметра наотносительное изменение выходного параметра. Нижний индекс“ноль” указывает, что после дифференцирования и доумножения наx i /φ в полученное уравнение необходимо подставить средние значения величин x 1 , ..., x n , если в выражении они еще останутся.Коэффициенты влияния необходимы для подсчета характеристик вида M( ∆ y/y) и δ ( ∆ y/y) при анализе точности и стабильно-25сти выходных параметров. Коэффициенты B i , используемые в формулах для подсчета этих характеристик, зависят от вида математической модели y = ϕ (x 1 , …, x n ) и от средних (номинальных) значенийпервичных параметров.При заданном виде модели и выбранных средних (номинальных) значений первичных параметров коэффициенты влияния первичных параметров являются детерминированными величинами, т.е.представляют собой фиксированные числа.