МУ - Квантовые поляризационные состояния фотонов (МУ - Квантовые поляризационные состояния фотонов.pdf), страница 5

Допустим, что в лабораториях A и B имеются по одному фотону, причём двухфотонноесостояние |ΨiAB = √12 (|Hi|V i + |V i|Hi) является перепутанным. Дляпередачи информации из A в B можно воспользоваться алфавитом из4-х элементов (0, 1, 2, 3) и следующим кодированием:для передачи «0» просто переправить фотон из A в B;для передачи «1» повернуть плоскость поляризации фотона в лаборатории A на угол π/2, затем переправить фотон из A в B;для передачи «2» создать сдвиг фаз π между вертикальной и горизонтальной поляризациями фотона в лаборатории A, затем переправить фотон из A в B;для передачи «3» в лаборатории A повернуть плоскость поляризации фотона на угол π/2, создать сдвиг фаз π между вертикальной игоризонтальной поляризациями фотона, затем переправить фотон изA в B.В результате таких локальных операций и пересылки одного фотона из A в B на приёмном устройстве в лаборатории B окажутсяследующие состояния соответственно:1|Ψ+ i = √ (|Hi|V i + |V i|Hi),21|Φ+ i = √ (|V i|V i + |Hi|Hi),21|Ψ− i = √ (|Hi|V i − |V i|Hi),21|Φ− i = √ (|Hi|Hi − |V i|V i).2(42)(43)(44)(45)Эти четыре состояния являются взаимно ортогональными и образуют базис Белла в C4 .

В силу ортогональности эти состояния однозначно различаются в лаборатории B. Схема однозначного различенияполяризационных состояний Белла представлена в работе [14] и изложена в следующем разделе. Таким образом, пересылая один фотон,можно передавать 4 буквы алфавита, т.е. 2 бита информации. Безприменения перепутанного состояния при пересылке одного фотонаможно передать лишь 1 бит информации (две ортогональные поляризации). Использование перепутанного состояния (между отправителеми приемником) позволяет получить выигрыш в 2 раза, т.е. перепутанные состояния повышают плотность кодирования информации.2712.Измерение в базисе состояний БеллаИзмерить поляризационное двухфотонное состояние в базисе Белла – реализовать проекторы |Φ± ihΦ± |, |Ψ± ihΨ± |, сумма которых равнаI (проекторнозначная мера).

Другими словами, необходимо реализовать эксперимент, в котором можно достоверно различить 4 состояния:|Φ+ i, |Φ− i, |Ψ+ i, |Ψ− i. Задача различения этих состояний не являетсяпростой с экспериментальной точки зрения, и первоначальные варианты обладали низкой эффективностью [13]. Эффективная схема былапредложена в работе [14], схема установки представлена на рис.

14.56 7812 34BSl/2 V(22.5 )HBSPBSBSBSHl/2(22.5 ) VBS12 3456 78Рис. 14. Схема измерений в базисе поляризационных состояний БеллаВходное состояние попадает на делитель пучка с равными коэффициентами прохождения и отражения(BS), действие которогоопре!!†â†↑â11↑для опеделяется преобразованием→ √12−1 1â†↓â†↓раторов рождения фотонов в верхней (↑) и нижней (↓) частях схемы,28в результате чего1|Hi↑ |Hi↓ → √ (|Hi↑ |Hi↑ + |Hi↓ |Hi↓ ),(46)21|Hi↑ |V i↓ → (−|Hi↑ |V i↑ + |Hi↑ |V i↓ − |Hi↓ |V i↑ + |Hi↓ |Hi↓ ), (47)21|V i↑ |Hi↓ → (−|Hi↑ |V i↑ − |Hi↑ |V i↓ + |Hi↓ |V i↑ + |Hi↓ |Hi↓ ), (48)21|V i↑ |V i↓ → √ (|V i↑ |V i↑ + |V i↓ |V i↓ ).(49)2Состояния Белла с точностью до общего фазового множителя преобразуются следующим образом:1(|Hi↑ |Hi↑ + |Hi↓ |Hi↓ + |V i↑ |V i↑ + |V i↓ |V i↓ ),21|Φ− i → (|Hi↑ |Hi↑ + |Hi↓ |Hi↓ − |V i↑ |V i↑ − |V i↓ |V i↓ ),21|Ψ+ i → √ (−|Hi↑ |V i↑ + |Hi↓ |V i↓ ),21|Ψ− i → √ (|Hi↑ |V i↓ − |Hi↓ |V i↑ ).2|Φ+ i →(50)(51)(52)(53)Из последней формулы видно, что один детектор в верхней частисхемы и один детектор в нижней части схемы могут сработать одновременно только для состояния |Ψ− i (критерий детектирования |Ψ− i).После прохождения через первый поляризационный делитель пучка (PBS) вертикально и горизонтально поляризованные компонентыстановятся разнесёнными во времени, появляется дополнительная степень свободы – время f для быстрого фотона, s для медленного.1(|Hi↑f |Hi↑f + |Hi↓f |Hi↓f + |V i↑s |V i↑s + |V i↓s |V i↓s ), (54)21|Φ− i → (|Hi↑f |Hi↑f + |Hi↓f |Hi↓f − |V i↑s |V i↑s − |V i↓s |V i↓s ), (55)21|Ψ+ i → √ (−|Hi↑f |V i↑s + |Hi↓f |V i↓s ).(56)2|Φ+ i →Видно, что |Ψ+ i преобразуется таким образом, что один фотон будет регистрироваться раньше, а другой позже.

Экспериментально насхеме рис. 14 будет зафиксировано одно из совпадений событий: 1 и 4,1 и 6, 1 и 8, 3 и 6, 3 и 8, 5 и 8, 2 и 3, 2 и 5, 2 и 7, 4 и 5, 4 и 7, 6 и 7 (вверхней или нижней части установки).29HVfsHH VVtfstRРис. 15. Слева: состояние |Hif |V isR= f (t)|Hit |V it+s−f dt. Справа: состо11яние √2 (|Hif |Hif + |V is |V is ) = √2 f (t)(|Hit |Hit + |V it+s−f |V it+s−f )dt ≈R≈ √12 f (t)(|Hit |Hit + |V it |V it )dtДля различения состояний |Φ+ i и |Φ− i нужно отметить, что поскольку волновая функция перепутанной пары фотонов имеет характерный разброс по времени создания в пределах времени когерентности импульсного лазера (17 нс), что превышает время s − f = 3 нс, тодля пары фотонов с волновыми функциями √12 (|Hi↑f |Hi↑f ±|V i↑s |V i↑s )волновые пакеты |Hi↑f |Hi↑f и |V i↑s |V i↑s полностью перекрываются,и поэтому задержка не влияет на когерентность (рис.

15). Состоянияможно переписать в виде1(|i↑ |i↑ + |i↓ |i↓ + |i↑ |i↑ + |i↓ |i↓ ),(57)21(58)|Φ− i → (|i↑ |i↑ + |i↓ |i↓ + |i↑ |i↑ + |i↓ |i↓ ),2√√где |i = (|Hi + |V i)/ 2 и |i =→ (|Hi − |V i)/ 2. При пропусканиисвета через полуволновую пластинку (λ/2), повернутую на угол 22,5◦ ,осуществляется преобразование состояний |i → |Hi, |i → |V i, т.е.|Φ+ i →1(|Hi↑ |Hi↑ + |Hi↓ |Hi↓ + |V i↑ |V i↑ + |V i↓ |V i↓ ),21|Φ− i → (|Hi↑ |V i↑ + |Hi↓ |V i↓ + |V i↑ |Hi↑ + |V i↓ |Hi↓ ).2|Φ+ i →(59)(60)После прохождения заключительного поляризационного делителяпучка (PBS) фотоны летят в одном направлении для состояния |Φ+ iи в разных направлениях для состояния |Φ− i.

Таким образом, одновременные события 1 и 3 (2 и 4), 5 и 7 (6 и 8) или наблюдение толькоодного из событий 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 (в верхней или нижней частиустановки) означают, что исходное состояние было состоянием |Φ+ i.Одновременные наблюдения событий 1 и 5 (2 и 6), 1 и 7 (2 и 8), 3 и 5(4 и 6), 3 и 7 (4 и 8) в верхней или нижней части установки означают,что исходное состояние было состоянием |Φ− i.Таким образом, по наблюдению исходов можно однозначно произвести измерение в базисе состояний Белла.3013.Квантовая телепортацияРассмотрим процедуру передачи неизвестного квантового состояния |ψi = c1 |Hi + c2 |V i с произвольными c1 , c2 между удалённымилабораториями (рис. 16). Сразу отметим, что передаётся не материя,а именно квантовое состояние.

Другими словами, не происходит передачи энергии. В удалённой лаборатории лишь воссоздаётся квантовоесостояние |ψi в уже имеющемся в этой лаборатории фотоне.Ресурсом для квантовой телепортации является квантовая перепутанность между лабораториями. Допустим, в лабораториях A и Bимеется по одному фотону, которые являются частями двухфотонногосостояния |ΨiAB = √12 (|HiA |V iB + |V iA |HiB ). Дополнительно в лаборатории имеется состояние |ψiA = c1 |Hi + c2 |V i, которое и требуетсявоссоздать в лаборатории B.

Начальное состояние всей трёхфотоннойсистемы1 |ψiA |ΨiAB = √ c1 |Hi|Hi|V i+c2 |V i|Hi|V i+c1 |Hi|V i|Hi+c2 |V i|V i|Hi .2(61)yYABÈçìåðåíèåâ áàçèñåÁåëëàUY+ F+ Y- F-yРис. 16. Cхема квантовой телепортации неизвестного состояния |ψiК первым двум фотонам, находящимся в лаборатории A, применяют измерение в базисе состояний Белла. Поскольку|ψiA |ΨiAB = |Φ+ i c1 |V i + c2 |Hi + |Φ− i c1 |V i − c2 |Hi ++|Ψ+ i c1 |Hi + c2 |V i + |Ψ− i c1 |Hi − c2 |V i , (62)31то при наблюдении конкретного исхода (Φ+ , Φ− , Ψ+ , Ψ− ) квантовое состояние 3-го фотона становится определённым: Ψ+ ←→ c1 |Hi + c2 |V i,Φ+ ←→ c1 |V i + c2 |Hi, Ψ− ←→ −c1 |Hi + c2 |V i, Φ− ←→ −c1 |V i + c2 |Hi.Результат измерения в лаборатории A передаётся по классическому каналу связи (телефону) в лабораторию B.

В зависимости от полученного сообщения в лаборатории B применяют одну из унитарныхопераций U , описанных в разделе 5.:Ψ+ −→ I,c1 |Hi + c2 |V i −→ c1 |Hi + c2 |V i,Φ+ −→ σx ,c1 |V i + c2 |Hi −→ c1 |Hi + c2 |V i,Ψ− −→ σz ,−c1 |Hi + c2 |V i −→ c1 |Hi + c2 |V i,Φ− −→ iσy , −c1 |V i + c2 |Hi −→ c1 |Hi + c2 |V i.В итоге состояние 3-го кубита в любом случае преобразуется к видуc1 |Hi + c2 |V i = |ψi, т.е. в лаборатории B осуществляется восстановление произвольного квантового состояния 1-го кубита, изначальнонаходившегося в A. Протокол «телепортации» напрямую связан с передачей классической информации, поэтому противоречий с теориейотносительности нет.

Также отметим, что 3-й фотон не берётся из ниоткуда, он уже представлен в лаборатории B как часть перепутанногосостояния.14.Поляризация произвольногомногофотонного состоянияРассмотрим горизонтально поляризованную плоскую электромагнитную волну с заданным волновым вектором k, т.е. фиксированнуюмоду излучения. В предыдущих разделах рассматривались ситуации,когда в одной моде излучения находился один фотон или не находилсявовсе. На самом деле фотоны являются бозонами, поэтому в фиксированной моде излучения может находиться nH = 0, 1, 2, .

. . тождественных фотонов (любое неотрицательное число). Многофотонные квантовые состояния удобно описывать в представлении чисел заполнения,где базисными векторами являются состояния |nH i с заданным числомфотонов, причём состояния с различным числом частиц ортогональны: hnH |kH i = δnk . Произвольное многофотонное состояние в фиксированноймоде с горизонтальной поляризацией записывается в видеP|ψi = n cn |nH i ∈ l2 (Z+ ). Произвольное состояниев моде с вертикальPной поляризацией записывается в виде |ϕi = m cm |mV i ∈ l2 (Z+ ), где32|mV i — состояние с m вертикально поляризованными фотонами.