МУ - Квантовые поляризационные состояния фотонов (МУ - Квантовые поляризационные состояния фотонов.pdf), страница 2

ϕ1 = ϕ2 или ϕ2 − ϕ1 = ±π, то имеем дело слинейной поляризацией (эллипс вырождается в прямую, рис. 3).yyyyx+x=xtxtttРис. 3. Состояние 35 |Hi+ 54 |V i — пример суперпозиции, реализующей фотонc линейной поляризацией7yyyyyyyxx+x=xtytttyy4 iπ/2e|V i — пример суперпозиции, реализующейРис. 4. Состояние 53 |Hi +x 5xфотон c правой эллиптической поляризациейx=+ytyxtyxx=+tyxttttyyyРис. 5. Состояние 35 |Hi +x 45 ei5π/4 |V i — пример суперпозиции, реализующейxфотон с левой эллиптической поляризацией x=+tyytyxчто амплитудаУмножение вектора |V xi на число |c2 |eiϕ2 означает,xколебания вдоль оси y умножается на+ |c2 |, а сама волна сдвинутапо=фазе на ϕ2 (рис. 4 иy 5).yyТак, если ϕ2 − ϕ1 ∈x (0, π), то c увеличениемвремениz конец векzxxтора E движется против часовой стрелкипо эллипсу в =плоскостиxy+(по кратчайшему повороту от x к y). Такое состояние называют состоянием с правой эллиптической поляризацией [6, 7], поскольку этоttсоответствует завинчиванию буравчикавдоль оси z и положительномумоменту количества движения относительно направления распространения (рис.

6a).Если ϕ2 − ϕ1 ∈ (π, 2π), то c увеличением времени конец вектораE движется по часовой стрелке по эллипсу в плоскости xy (по кратчайшему повороту от y к x). Такое состояние называют состоянием слевой эллиптической поляризацией [6, 7], поскольку это соответствуетвыкручиванию буравчика из оси z и отрицательному моменту количества движения относительно направления распространения (рис. 6b).Если |c1 | = |c2 | и ϕ2 − ϕ1 = π/2, то имеем фотон с правой круговойполяризацией, вектор такого состояния | i = √12 (|Hi + i|V i).8tztt(a)tytxz(b)tzytxРис.

6. (a) Правая поляризация. (b) Левая поляризацияЕсли |c1 | = |c2 | и ϕ2 − ϕ1 = 3π/2, то имеем дело с левой круговойполяризацией, вектор такого состояния | i = √12 (|Hi − i|V i).Совершенно понятно, что складывать можно не только колебанияв горизонтальной и вертикальной плоскостях. Так, например, складывая с равными по модулю коэффициентами состояния | i и | i,будем получать фотоны с линейной поляризацией.

Сумма произвольных состояний также будет допустимым состоянием.2Если pокажется, что |c1 |2 + |cp2 | 6= 1, то нужно будет заменить22c1 → c1 / |c1 | + |c2 | и c2 → c2 / |c1 |2 + |c2 |2 . Как мы увидим в дальнейшем, сумма |c1 |2 +|c2 |2 имеет смысл «количества» фотонов и должна равняться единице, если мы знаем, что имеем дело с одним фотоном. Если же фотон мог где-то поглотиться и мы не знаем, поглотилсяли он или нет, то сумма |c1 |2 + |c2 |2 может быть меньше единицы, ивероятность поглощения есть 1 − (|c1 |2 + |c2 |2 ).Мы увидели, что если отвлечься от условия |c1 |2 + |c2 |2 = 1 и отождествить состояния, отличающиеся лишь глобальным фазовым множителем, т.е. отождествить состояния |ψi и c|ψi, c ∈ C, c 6= 0, топространство векторов состояний будет линейным.

Правило суперпозиции состояний тогда просто отражение линейности этого пространства. Следующий раздел посвящён краткому повторению соответствующей главы линейной алгебры.94.Унитарное пространствоРассмотренные нами векторы |ψi — элементы унитарного пространства C2 .Определение 1. Унитарное пространство — комплексное линейноепространство векторов |ψi, в котором каждой упорядоченной паре |ϕiи |ψi поставлено в соответствие комплексное число |ϕi, |ψi , обозна-чаемое кратко hϕ|ψi и называемое их скалярным произведением, так,что выполнены аксиомы:1. hϕ|ψi = (hψ|ϕi)∗ ;2.

|ϕi, a|ψ1 i + b|ψ2 i = ahϕ|ψ1 i + bhϕ|ψ2 i для любых a, b ∈ C;3. hψ|ψi вещественно и hψ|ψi > 0, причём hψ|ψi = 0 ⇔ |ψi = 0(нулевой элемент пространства).Из аксиом 1 и 2 следует, что скалярное произведение линейно повторому аргументу и антилинейно по первому, т.е.a|ϕ1 i + b|ϕ2 i, |ψi = a∗ hϕ1 |ψi + b∗ hϕ2 |ψi,∀ a, b ∈ C.(7)Мы будем пользоваться конкретной реализацией скалярного произведения, которое легко понять в обозначениях Дирака: каждомувектору-столбцу |ψi поставим в соответствие вектор-строку hψ| по следующему правилу:c1|ψi =(8)−→ hψ| = c∗1 c∗2 = (|ψi)† .c2В последнем равенстве мы использовали операцию эрмитового сопряжения матриц † = >∗ = ∗>, которая осуществляет транспонирование и комплексное сопряжение.Определение 2. Матрица A† = A>∗ размерности n × m называетсяэрмитово сопряженной к матрице A размера m × n:a11 .. .am1···...···†  ∗a1na11..  =  .. ..

amna∗1n10···...···a∗m1..  .. a∗mn(9)Тогда легко реализоватьскалярное произведение векторовd1c1|ϕi =и |ψi =как произведение строки и столбца:d1c2 c1∗∗= d∗1 c1 + d∗2 c2 .(10)hϕ|ψi = hϕ| |ψi = d1 d2c2| {z } |{z} |{z}bracketbraketПо понятной причине векторы-строки h·| принято называть бравекторами, а векторы-столбцы |·i — кет-векторами.Очевидно, что введённое таким образом скалярное произведениеудовлетворяет аксиомам 1 – 3. В частности, норма вектораhψ|ψi = |c1 |2 + |c2 |2 .(11)Пусть |χi = A|ψi, где A — квадратная матрица с элементами aij(для наших примеров матрица размера 2×2). Тогда∗P ∗ ∗P ∗cj aij dihϕ|χi = |ϕi, A|ψi = hϕ|A|ψi =di aij cj ==ij∗ = |ψi, A† |ϕi = A† |ϕi, |ψi ,т.е.|ϕi, A|ψi=ji(12)A† |ϕi, |ψi или кратко hϕ|Aψi = hA† ϕ|ψi.

Из ра-венства (12) сразу следует, что (ÂB̂ . . . F̂ )† = F̂ † . . . B̂ † † . В частности,(A|f i)† = hf |A† .Введём ещё два определения.Определение 3. Квадратная матрица A называется эрмитовой, еслиA = A† .Определение 4. Невырожденная квадратная матрица U называетсяунитарной, если U † U = U U † = I, где I — единичная матрица, т.е.U −1 = U † .5.Измерения и наблюдаемыеРаздел квантовых измерений традиционно в недостаточной мереизлагается в стандартных курсах квантовой механики. Отчасти этосвязано с тем, что в середине XX века возможности эксперимента непозволяли работать с одиночными квантовыми системами, опыты проводились с макроскопическими ансамблями, где главное значение имеют средние значения, а не результаты отдельных наблюдений.

Тем не11менее в связи с продолжающейся миниатюризацией в микро- и наноэлектронике, развитием техники низких температур, созданием“0” высокодобротных резонаторов для электромагнитного поля открылись новые возможности для манипулирования и проведения измерений надотдельными квантовыми системами. Квантовые поляризационные состояния фотонов начали использовать одними из первых,что позво“1”лило продемонстрировать с их помощью ряд интересных квантовыхэффектов.5.1.ПоляроидЕсли на пути фотона поставить идеальный фотодетектор, то он егозарегистрирует с вероятностью 1 («щелчок», рис. 7).

Если же фотонанет, щелчка не будет.Рис. 7. Фотон поглощается идеальным детекторомПроведем аналогичный опыт, но на пути фотона поставим поляроид. Для макроскопической электромагнитной волны поляроид, ориентированный вдоль некоторого направления, на выходе выдает компоненту волны с поляризацией вдоль этого направления, а перпендикулярную компоненту поглощает.“0”“1”Рис. 8.

Вероятностный характер срабатывания детектора для фиксированного состояния фотонаОпыт показывает, что одиночный фотон (в определённом состоянии |ψi) может как пройти через поляроид и вызвать щелчок детектора, так и поглотиться в поляроиде и не быть зафиксированным12детектором. Причём заранее невозможно предсказать, какой вариантреализуется.

Результат носит принципиальный вероятностный характер (рис. 8).Единственными случаями, когда результат можно предсказать, являются случаи линейной поляризации вдоль и поперёк оси поляроида:в первом случае фотон детектируется с вероятностью 1, во втором свероятностью 0.Дело в том, что поляроид проецирует состояния и может выдаватьна выходе фотоны только с поляризацией вдоль этого направления.Например, если поляроид ориентирован горизонтально, то на выходеиз него все пролетающие фотоны находятся в состоянии |Hi (рис. 9).Действие такого поляроида задаётся проектором11 01 0 =P = |HihH| =.(13)00 0Подействуем этим проектором на произвольное состояние фотона|ψi = c1 |Hi + c2 |V i:c1.

(14)P |ψi = |HihH||ψi = |Hi hH|ψi = hH|ψi|Hi = c1 |Hi =0| {z }числоyxkzwtyxkzwtРис. 9. Действие поляроида, ориентированного в горизонтальном направлении. Фотон либо поглощается поляроидом, либо проходит через него сгоризонтальной поляризациейМы видим, что норма вектора P |ψi равна |c1 |2 6 1. Это указывает на поглощение фотона поляроидом. Действительно, опыт показывает, что вероятность зафиксировать фотон детектором в точности13равна |c1 |2 . С другой стороны, эта вероятность есть не что иное, как|hH|ψi|2 .

Вероятность поглощения равна 1 − |c1 |2 = |c2 |2 = |hV |ψi|2 .Для прояснения связи физики и математики вспомним математическую задачу поиска собственных векторов и собственных значенийматрицы. Для заданной матрицы A требуется найти числа λ и ненулевые векторы |f i такие, чтоA|f i = λ|f i.(15)Поиск собственных значений заключается в решении уравненияdet(A − λI) = 0, а затем решения системы уравнений (A − λI)|f i = 0.Матрица P эрмитова, её собственные значения равны 1 и 0, соответствующие им собственные векторы — это векторы |Hi и |V i.Заметим, что собственные значения матрицы (13) равны 1 и 0.

Этоможно интерпретировать следующим образом. Физической наблюдаемой «прохождение фотона» приписаны два значения: значение «1»,если фотон задетектирован приёмником, и значение «0», если фотонне задетектирован (рис. 8). В единичном акте измерения с одним налетающим фотоном мы получаем одно значение: либо значение «1», либозначение «0». Вероятность исхода «1» равна |hH|ψi|2 = |hψ|Hi|2 , т.е.квадрату модуля скалярного произведения вектора состояния фотона |ψi и собственного вектора P , отвечающего собственному значению1. Аналогично, вероятность исхода «0» равна |hV |ψi|2 = |hψ|V i|2 , т.е.квадрату модуля скалярного произведения вектора состояния фотона|ψi и собственного вектора P , отвечающего собственному значению 0.Cреднее значение физической наблюдаемой «прохождение фотона» есть математическое ожидание:1 · (вероятность исхода «1») + 0 · (вероятность исхода «0») = 1 0c1= hψ|P |ψi ≡ hP i.= 1 · |c1 |2 + 0 · |c2 |2 = c∗1 c∗20 0c2Запись hP i означает среднее значение наблюдаемой, где усреднение ведётся по результатам измерений для фиксированного состоянияфотона |ψi (много фотонов, каждый из которых находится в состоянии |ψi, пропускаем через поляроид и смотрим, щёлкнул ли детектор).Такие средние называют средними по состоянию |ψi, что и подразумевает запись hP i ≡ hψ|P |ψi.