МУ - Квантовые поляризационные состояния фотонов (МУ - Квантовые поляризационные состояния фотонов.pdf), страница 6

Заметим, что |ψi и |ϕi — элементы разных пространств. Двухмодовоепространство состояний состоит из векторовX|Ψi =cnm |nH , mV i,(63)n,mпредставляющих собой линейную комбинацию векторов с определённым числом фотонов в каждой из мод, |Ψi ∈ l2 (Z+ × Z+ ). В частномслучае однофотонного состояния имеем c1 |1, 0i + c2 |0, 1i, т.е. такое физическое состояние, которое ранее обозначалось c1 |Hi + c2 |V i. Состояние без фотонов |0, 0i называют вакуумным.Введём оператор уничтожения âi и оператор рождения â†i фотонов в i-й моде согласно правилу [15]√(64)âi | .

. . ni . . .i = ni | . . . ni − 1 . . .i,√†âi | . . . ni . . .i = ni + 1| . . . ni + 1 . . .i.(65)Обобщением введённых ранее операторов Стокса на случай произвольного многофотонного состояния являются эрмитовы операторыŜ1 = âH â†V + â†H âV ,Ŝ2 =Ŝ3 =i(âH â†V − â†H âVâ†H âH − â†V âV .(66)),(67)(68)Дополнительно также вводят оператор Ŝ0 = â†H âH + â†V âV , которыйпредставляет собой оператор числа фотонов. Заметьте, что сужениеоператора Ŝ0 на подпространство однофотонных состояний c1 |1, 0i++c2 |0, 1i есть единичный оператор. Из коммутатора [âα , â†β ] = δαβ следует, что [Ŝα , Ŝβ ] = 2iεαβγ Ŝγ , т.е.

операторы Стокса удовлетворяют темже самым коммутационным соотношениям, что и матрицы Паули.Рассмотрим двухфотонные состояния |Ψi = √12 (|2, 0i + |0, 2i) и|Φi = |1, 1i. Заметим, что hΨ|Ŝi |Ψi = hΦ|Ŝi |Φi для всех i = 0, 1, 2, 3, т.е.состояния |Ψi и |Φi невозможно различить в обычных поляризационных экспериментах, рассмотренных ранее! Этот пример показывает,что одним и тем же параметрам Стокса могут отвечать различныемногофотонные поляризационные состояния. Заметим, однако, что врассмотренном примере состояния |Ψi и |Φi ортогональны друг другу,и их можно однозначно различить с помощью другого эксперимента,основанного на интерференции фотонов.

Полное восстановление (томография) многофотонных поляризационных состояний рассмотренов работе [16].3315.Квантовые каналыРассмотрим взаимодействие квантовой системы с окружением. Начальное состояние системы задаётся оператором плотности %, начальное состояние окружения – оператором плотности ξ. Начальное состояние системы и окружения – оператор плотности % ⊗ ξ.

Гамильтониансистемы и окружения Ĥ = Ĥsys ⊗Iˆ+Iˆ⊗Ĥenv +Ĥint состоит из гамильтониана системы Ĥsys , гамильтониана окружения Ĥenv и гамильтонианавзаимодействия системы с окружением Ĥint . Для простоты предположим, что Ĥ не зависит от времени, а система взаимодействует сокружением в течение конечного времени t, тогда оператор эволюцииÛ = exp(−iĤt/~). Состояние системы и окружения после взаимодействия есть Û (% ⊗ ξ)Û † и является перепутанным в общем случае.

Еслимы интересуемся только состоянием системы после взаимодействия, тооно получается взятием частичного следа по окружению. В результатереализуется следующее отображение оператора плотности системы:hi% −→ Φ[%] = trenv Û (% ⊗ ξ)Û † .(69)С математической точки зрения Φ – линейное вполне положительное отображение, сохраняющее след (CPT), называемое квантовымканалом [5, 17]. Из теоремы Стайнспринга следует, что для любогоCPT-отображения Φ найдутся ξ и Û такие, что верно (69).Примером квантового канала является дефазировка. В качествесистемы рассмотрим поляризационныеодиночного степени свободы%HH %HVфотона, т.е. матрицу плотности % =.

В качестве окру%V H %V Vжения рассмотрим пространственные моды электромагнитного поляс частотами ω. Базисные состояния пространственных мод обозначим|ωi, тогда hω|ω 0 i = δωω0 . Начальноесостояние системы и окруженияR– оператор % ⊗ |χihχ|, где |χi = dω f (ω)|ωi. Функция f (ω) – амплиобнаружить фотон в моде с частотой ω, поэтомуRтуда вероятностиdω |f (ω)|2 = 1. В результате двулучепреломления при прохождениирасстояния z в среде между состояниями |Hi и |V i возникает набегфаз ω(nH − nV )z/c, где nH и nV – показатели преломления для горизонтально и вертикально поляризованных волн. Изменение квантовогосостояния при распространении фотона в пространстве соответствуетэволюции во времени t = z/c с эффективным гамильтонианомZĤ =dω ~ω(nH |HihH| + nV |V ihV |) ⊗ |ωihω|.34(70)Подставляя оператор эволюцииZÛ = dω exp(−inH ωt)|HihH| + exp(−inV ωt)|V ihV | ⊗ |ωihω| (71)в уравнение (69), получаемΦ[%] =%HHG(t)%V HG∗ (t)%HV%V V,(72)Rгде G(t) = dω |f (ω)|2 ei(nH −nV )ωt – функция декогеренции.

Заметим,что G(t) → 0 при t → ∞, поэтому на больших временах матрица плотности становится диагональной, т.е. происходит дефазировка. Действиеканала (72) сводится к сжатию сферы Пуанкаре вдоль направлений sxи sy с коэффициентом |G(t)| и повороту вокруг оси sz на угол arg G(t).Отметим важный случай деполяризующего канала, реализующегося для поляризационных степеней свободы в многомодовом волокневследствие перекачки энергии между модами с разными поляризациями [18]:(73)Φ[%] = q% + tr[%] 21 I,где q ∈ [0, 1] – параметр деполяризации. Действие канала (73) сводитсяк сжатию сферы Пуанкаре во всех направлениях с коэффициентом q.Действие дефазирующих и деполяризующих локальных каналоввида Φ ⊗ Φ на перепутанные состояния изучено в работе [19].Литература1. Aspect A., Dalibard J., Roger G.

Experimental test of Bell’sinequalities using time-varying analyzers // Physical Review Letters.– 1982. – V. 49. – P. 1804.2. Bennett C.H., Brassard G. Quantum cryptography: Public keydistribution and coin tossing // Proceedings of IEEE InternationalConference on Computers, Systems and Signal Processing.

– 1984. –V. 175. – P. 8.3. Bennett C., Wiesner S. Communication via one- and two-particleoperators on Einstein-Podolsky-Rosen states // Physical ReviewLetters. – 1992. – V. 69. – P. 2881.4. Bennett C. H., Brassard G., Crépeau C., Jozsa R., Peres A., WoottersW. K. Teleporting an unknown quantum state via dual classical andEinstein–Podolsky–Rosen channels // Physical Review Letters.

– 1993.– V. 70. – P. 1895.355. Нильсен М., Чанг И. Квантовые вычисления и квантовая информация. – М.: Мир, 2006.6. Фейнман Р., Лейтон Р., Сэндс М. Фейнмановские лекции по физике. Вып. 3. Излучение. Волны. Кванты. – М.: Либроком, 2014.7. Фейнман Р., Лейтон Р., Сэндс М. Фейнмановские лекции по физике.

Вып. 8, 9: Квантовая механика. – М.: Либроком, 2014.8. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Курс теоретической физики. Т. 2.Теория поля. – М.: Физматлит, 2012.9. Липкин Г. Квантовая механика. – М.: Мир, 1977.10. Peres A. Separability criterion for density matrices // Physical ReviewLetters. – 1996.

– V. 77. – P. 1413.11. Horodecki M., Horodecki P., Horodecki R. Separability of mixed states:necessary and sufficient conditions // Physics Letters A. – 1996. – V.223. – P. 1.12. Filippov S. N., Man’ko V. I. Geometrical interpretation of densitymatrix: mixed and entangled states // Journal of Russian LaserResearch. – 2008. – V. 29. – P. 564.13. Бауместер Д., Экерт А., Цайлингер А. Физика квантовой информации. М.: Постмаркет, 2002.14. Schuck C., Huber G., Kurtsiefer C., Weinfurter H.

Completedeterministic linear optics Bell state analysis // Physical ReviewLetters. – 2006. – V. 96. – P. 190501.15. Фейнман Р. Статистическая механика. – М.: Мир, 1978.16. Söderholm J., Björk G., Klimov A. B., Sánchez-Soto L. L., LeuchsG. Quantum polarization characterization and tomography // NewJournal of Physics. – 2012. – V. 14. – P. 115014.17. Холево А. С. Квантовые системы, каналы, информация. – М.: МЦНМО, 2010.18. Gisin N., Ribordy G., Tittel W., Zbinden H. Quantum cryptography// Reviews of Modern Physics.

– 2002. – V. 74. – P. 145.19. Filippov S. N., Rybár T., Ziman M. Local two-qubit entanglementannihilating channels // Physical Review A. – 2012. – V. 85. –P. 012303.36Учебное изданиеФилиппов Сергей НиколаевичКВАНТОВЫЕ ПОЛЯРИЗАЦИОННЫЕСОСТОЯНИЯ ФОТОНОВУчебно-методическое пособиеРедактор О. П. Котова.. Корректор Л. В. СебоваКомпьютерная верстка С. Н. ФилипповПодписано в печать 24.03.2017. Формат 60 × 84 1/16. Усл. печ.

л. 2,25. Уч.-изд. л. 2,0.Тираж 100 экз. Заказ № 83.Федеральное государственное автономное образовательноеучреждение высшего образования «Московскийфизико-технический институт (государственный университет)»141700, Московская обл., г. Долгопрудный, Институтский пер., 9Тел. (495) 408-58-22, e-mail: rio@ mipt.ru_______________________________________________________________________Отдел оперативной полиграфии «Физтех-полиграф»141700, Московская обл., г.

Долгопрудный, Институтский пер., 9Тел.: (495) 408-84-30, e-mail: polygraph@mipt.ru.