МУ - Квантовые поляризационные состояния фотонов (МУ - Квантовые поляризационные состояния фотонов.pdf), страница 4

Амплитуда E0 (t) ∈ C2 медленно меняетсясо временем на временах ω −1 , если волна почти монохроматическая,т.е. ∆ω ω. Зависимость E0 (t) показывает, что форма эллиптической поляризации меняется со временем, причём характерное времяизменения формы эллипса – (∆ω)−1 . Средняя интенсивность волныопределяется выражением J = EE∗ = E0 E∗0 , где черта сверху означает усреднение по времени T (∆ω)−1 . Усреднённые по временисвойства поляризации описываются тензором11Eα E∗β = E0α E∗0β ,(33)JJназываемым поляризационным тензором классического электромагнитного излучения [8]. Индексы α, β = 1, 2 обозначают направленияв пространстве,Pортогональные направлению распространения волны.Заметьте, что α ραα = 1.Связь классического и квантового описания сводится к тому, чтоусреднение по времени для классической электромагнитной волны эквивалентно усреднению по ансамблю для квантовых состояний фотонов, т.е.

введённая в квантовой теории матрица плотности %αβ совпадает с поляризационным тензором ραβ . Введённыеp ранее параметры222Стокса определяют степень поляризации:P=s1 + s2 + s3 .1 0Для неполяризованного света % = 21и P = 0. Неполя0 1ризованный свет может быть представлен как равновероятная смесьсостояний |Hi и |V i или равновероятная смесь любых других ортогональных состояний, например | i и | i, или равновероятная смесьвсех состояний на сфере Пуанкаре.Если разброс частот ∆ω = 0, то классическое описание разрешаетлишь поляризационные тензоры вида ραβ = J1 E0α E∗0β , т.е.

такие, длякоторых detρ = 0 и степень поляризации P = 1. Неполяризованныйсвет можно описать классически только статистически, т.е. как серию волн, поляризации которых различны и никак не коррелированымежду собой. Таким образом, cамо существование неполяризованногосвета указывает на его квантовую природу [9]. В квантовом описаниифотон может с разной вероятностью находиться в различных состояниях поляризации с одной и той же частотой.ραβ =229.Квантовая криптографияРассмотрим принцип работы простейшей квантовой криптографической схемы BB84 (названной так по фамилиям авторов и году публикации [2]). Протокол предназначен для секретной передачи классической информации, закодированной бинарным образом, т.е.

нулямии единицами.На передающем устройстве A установлен однофотонный источник,приготавливающий состояния |Hi, |V i, | %i = √12 (|Hi + |V i), | .i == √12 (|Hi − |V i). Состояния |Hi и |V i образуют 1-й ортонормированный базис, состояния | %i и | .i образуют 2-й ортонормированныйбазис. Таким образом, состояния можно переобозначить следующимобразом: |Hi = |0+i, |V i = |1+i, | %i = |0×i, | .i = |1×i, где первый символ соответствует передаваемому биту (0 или 1), а второй –используемому базису (+ или ×).

На передающем устройстве равновероятно выбирается одно из 4-х состояний и отправляется адресату.Для каждого приходящего фотона адресат на приемном конце B использует либо схему, показанную на рис. 10, либо схему, показаннуюна рис. 11 (равновероятно). Схема на рис. 10 однозначно различаетсостояния |Hi и |V i, поэтому обозначим её «+». Схема на рис. 11 однозначно различает состояния | %i и | .i, поэтому обозначим её «×».Щелчок верхнего детектора (0) или нижнего детектора (1) для каждой из схем фиксируется и записывается как результат измерения ввыбранном базисе.Рассмотрим возможный вариант измерений:состояние Aбазис Bизмерение Bсовп.

баз.A и Bбит Aбит B0×+1нет0++0да001+×1нет1++1да1××1да11110×+0нет1++1да0××0да11000+×1нет1×+0нетС вероятностью 12 на передающем и принимающем концах выберутразные базисы (+ и ×) и результат измерения на конце B с вероятностью 12 будет 0 или 1. Если же базисы на передающем и принимающемконцах совпадают, то с вероятностью 1 на конце B зарегистрируетсяименно тот исход (0 или 1), который был использован на передающемконце. Сверка базисов между A и B производится по открытому каналу связи (телефону), однако результат измерения не сообщается! Вслучае совпадения базисов A знает переданный бит, B знает результат23измерения, и они должны совпадать! Таким способом можно осуществить передачу ключа.Допустим, что подслушиватель E внедряется в квантовую линиюпередачи фотонов и пытается измерить их до того, как они будут зарегистрированы на принимающем конце.

Для получения хоть какойнибудь информации подслушиватель E должен измерять фотоны, ановые приготовленные фотоны отправлять к принимающему концу.Если подслушиватель E угадывает базис A, то он может оставатьсянезамеченным. Вероятность угадывания равна 12 . При неправильномугадывании испущенный подслушивателем E фотон будет отличатьсяот фотона, испущенного A, и с вероятностью 12 приведёт к неправильному исходу даже при совпадении базисов A и B:состояние Aбазис Eбазис Bизмерение Bсовп. баз.A и Bбит Aбит B0××+1нет0+++0да001+××1нет1+++1да1×××1да11110×++0нет1+×+1да0×+×1да11010+××1нет1×++0нетНесовпадение показано квадратной рамкой.

Таким образом, A иB по незащищенному каналу связи открывают базисы измерений, идля совпадающих базисов проверяют на совпадение часть результатов измерений B и приготовлений A. Обнаружение ошибки в этой части означает подслушивание. Вероятность ошибки при подслушиванииравна 25%. Таким образом, квантово-механический принцип суперпозиции позволяет обеспечить секретную коммуникацию.На практике ошибки могут возникать не только в результате подслушивания, но и вследствие шумов. Поэтому устанавливается некоторый порог ошибок (pcut < 25%), в пределах которого связь являетсясекретной и допускает процедуру исправления.10.Двухфотонные перепутанные состоянияРассмотрим поляризационные степени свободы системы, составленной из двух фотонов, и пренебрежем пространственно-частотнымихарактеристиками электромагнитного поля.

Базисными векторами составной системы являются состояния H1 H2 , H1 V2 , V1 H2 , V1 V2 , т.е. мы24имеем дело с пространством состояний C4 . Определим тензорное про>>по праи |χi = dH dVизведение векторов |ψi = cH cVвилуcH d H  cH dV cHdH|ψi ⊗ |χi =⊗=(34) cV d H cVdVcV dVи обобщим его на матрицы(A ⊗ B)ik,jl = Aij Bkl ,(35)где ik и jl – мультииндексы.Если оператор  действует только на степени свободы 1-го фотона (оператор действует в C2 ), то в пространстве состояний составнойсистемы этому оператору нужно поставить в соответствие операторˆ где Iˆ – тождественный оператор. Аналогично, если оператор ⊗ I,B̂ действует только на степени свободы 2-го фотона, то в пространстве состояний составной системы этому оператору нужно поставитьв соответствие оператор Iˆ ⊗ B̂.Математическое свойство( ⊗ B̂)|ψi ⊗ |χi = Â|ψi ⊗ B̂|χi(36)показывает действие локальных операторов Â⊗B̂ на факторизованныесостояния |ψi⊗|χi.

С точки зрения физики это соответствует описаниюневзаимодействующих подсистем.Для краткости записи знак тензорного произведения часто опускают, например: |Hi|Hi = |Hi ⊗ |Hi.Согласно квантово-механическому принципу суперпозиции произвольное чистое двухфотонное поляризационное состояние задаётся вектором|Ψi = c1 |Hi|Hi + c2 |Hi|V i + c3 |V i|Hi + c4 |V i|V i,(37)P4где ci ∈ C, i=1 |ci |2 = 1.В общем случае |Ψi =6 |ψi|χi ни для каких |ψi и |χi.

В этом случаеговорят, что состояние |Ψi является перепутанным (также используют термины запутанный, сцепленный, зацепленный). Примером перепутанного состояния является состояние |Ψi = √12 (|Hi|V i + |V i|Hi).25Смешанное двухфотонное поляризационное состояние задаётся матрицей плотности%HH,HH %HH,HV %HH,V H %HH,V V %HV,HH %HV,HV %HV,V H %HV,V V (38)%= %V H,HH %V H,HV %V H,V H %V H,V V  .%V V,HH %V V,HV %V V,V H %V V,V VОператор плотности первой подсистемы определяется выражениемXIˆ ⊗ hi| · %̂ · Iˆ ⊗ |ii =: tr2 %̂,(39)%̂1 =iгде суммирование ведётся по ортонормированному базису второй подсистемы.

Процедура редукции матрицы плотности на подсистему –взятие частичного следа по другим подсистемам. Аналогично, оператор плотности второй подсистемы определяется выражениемX%̂2 =hi| ⊗ Iˆ · %̂ · |ii ⊗ Iˆ =: tr1 %̂.(40)iˆ = tr(Â%1 ), а средНетрудно убедиться, что среднее значение hÂ⊗ Iiнее значение hIˆ ⊗ B̂i = tr(B̂%2 ). Таким образом, среднее значение локального оператора определяется редуцированной матрицей плотности подсистемы.Смешанное состояние % называют перепутанным, если его невозможно представитьв виде выпуклой суммы факторизованных состоPяний, т.е. % 6= i pi |ψi ihψi | ⊗ |χi ihχi |.Для матриц 4 × 4 справедлив простой критерий перепутанности:матрица плотности % отвечает перепутанному состоянию тогда и только тогда, когда её частичное транспонирование%HH,HH %HV,HH %HH,V H %HV,V H %HH,HV %HV,HV %HH,V V %HV,V V %Γ = (41) %V H,HH %V V,HH %V H,V H %V V,V H  0,%V H,HV %V V,HV %V H,V V %V V,V Vт.е.

%Γ имеет отрицательные собственные значения [10, 11]. Геометрические свойства перепутанных матриц плотности рассмотрены в [12].Существует несколько способов приготовления перепутанных двухфотонных состояний. Одним из наиболее распространенных являетсяспонтанное параметрическое рассеяние на нелинейных кристаллах ссинхронизмом типа II, где два рассеянных фотона в паре всегда поляризованы ортогонально, и принципиально нет никакой возможностиразличить состояния |Hi|V i и |V i|Hi, т.е. реализуется квантовое состояние √12 (|Hi|V i + |V i|Hi) [13].2611.Сверхплотное кодированиеВ данном разделе показывается, что квантовая перепутанность является ресурсом для передачи информации.