МУ - Квантовые поляризационные состояния фотонов (МУ - Квантовые поляризационные состояния фотонов.pdf)

КВАНТОВЫЕПОЛЯРИЗАЦИОННЫЕСОСТОЯНИЯ ФОТОНОВУчебно-методическое пособиеМОСКВАМФТИ2017Министерство образования и науки Российской ФедерацииФедеральное государственное автономное образовательное учреждениевысшего образования«Московский физико-технический институт(государственный университет)»Кафедра теоретической физикиКВАНТОВЫЕ ПОЛЯРИЗАЦИОННЫЕСОСТОЯНИЯ ФОТОНОВУчебно-методическое пособиеСоставитель С. Н. ФилипповМОСКВАМФТИ2017УДК 530.145Рецензент  Доктор физико-математических наук, профессор В.И. МанькоКвантовые поляризационные состояния фотонов : уч.-метод.пособие / сост.: С.

Н. Филиппов. – М. : МФТИ, 2017. – 36 с.Рассматриваются вопросы квантового описания поляризационных состояний одиночных и перепутанных фотонов. Вводятся параметры Стокса, сфера Пуанкаре, чистые и смешанные состояния,матрица плотности ансамбля и подсистемы, перепутанные состояния. Излагаются принципы использования поляризационных состояний света в квантово-информационных приложениях: квантовойкриптографии, сверхплотном кодировании, квантовой телепортации.Рассматриваются общие принципы динамики открытых квантовыхсистем.

Вводится понятие квантового канала, приводятся примерыдефазирующего и деполяризационного каналов для поляризационных состояний фотонов.Предназначено для студентов и аспирантов, специализирующихся в области теоретической физики, оптики и квантовой теории информации.УДК 530.145© Федеральное государственное автономноеобразовательное учреждениевысшего образования«Московский физико-технический институт(государственный университет)», 2017© Филиппов С.

Н., составление, 2017Содержание1. Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .42. Поляризация классическихэлектромагнитных волн . . . . . . . . . . . . . . . . . . .43. Квантовое описание поляризацииодиночных фотонов . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . .64. Унитарное пространство . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105. Измерения и наблюдаемые . . . . . . . . . . . . .5.1. Поляроид . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5.2. Двулучепреломляющий кристалл . . . . . . . . . .5.3. Поворот плоскости поляризации . . . . . . . . . .5.4. Сдвиг фаз . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . ................. 11. 12. 15. 16. 186. Сфера Пуанкаре . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197. Матрица плотности ансамбля . . . . . . . . . . . . . . . . 208. Частично поляризованный свет . . . . . . . . . . . .

. . 229. Квантовая криптография . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2310. Двухфотонные перепутанные состояния . . . . . . . . 2411. Сверхплотное кодирование . . . . . . . . . . . . . . . . . 2712. Измерение в базисе состояний Белла . . . . .

. . . . . 2813. Квантовая телепортация . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3114. Поляризация произвольногомногофотонного состояния . . . . . . . . . . . . . . . . . 3215. Квантовые каналы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34Литература . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . 3531.ВведениеПоляризационные состояния электромагнитного поля служат своеобразным связующим звеном, наглядно показывающим связь междузаконами классической электродинамики, справедливыми для волнбольшой интенсивности, и законами квантового мира, определяющимиповедение одиночных фотонов. Этому способствуют как компактноетеоретическое описание, так и (в большей степени) относительно простые экспериментальные методы работы с оптическими поляризационными состояниями. Именно при помощи поляризационных состоянийвпервые были продемонстрированы такие сугубо квантовые явления,как нарушение неравенств Белла [1], протокол квантовой криптографии [2], квантовое сверхплотное кодирование [3], квантовая телепортация [4].

Таким образом, изучение квантовых поляризационных состояний необходимо для успешного освоения квантовых информационныхтехнологий, особенно в области квантовой коммуникации. Кроме того, основные принципы и постулаты квантовой механики (пространство состояний, принцип суперпозиции, физические наблюдаемые иизмерения) находят своё простое выражение в экспериментах с поляризацией одиночных фотонов.

Учёт дополнительных степеней свободы(например, частотный спектр) позволяет демонстрировать с помощьюполяризационных состояний динамику открытых квантовых систем ипознакомить с понятиями матрицы плотности и квантового канала,активно используемых в квантовой теории информации [5].2.Поляризация классическихэлектромагнитных волнРассмотрим плоскую монохроматическую электромагнитную волну с частотой ω, распространяющуюся со скоростью света c вдоль осиz. Волновой вектор k k z, k = ω/c.

Вектор напряженности электрического поля E ⊥ k и поэтому имеет нулевую компоненту Ez = 0.Из уравнений Максвелла следует, что векторная функция E являетсягармонической функцией переменной (kz − ωt), называемой фазой: ExE1 cos(kz − ωt + ϕ1 )(1)E =  Ey  =  E2 cos(kz − ωt + ϕ2 )  ,Ez0где ϕ1 и ϕ2 — сдвиги фазы для горизонтальной и вертикальной компонент поля.4cyEyxExzttz=0=0Рис. 1. Слева: напряжённость поля в зависимости от координаты z при фиксированном времени.

Справа: зависимость напряжённости поля в фиксированной точке от времени. Здесь и далее будем использовать сокращённыеобозначения: Ex ↔ x, Ey ↔ yyE22Для фиксированного момента времени t = 0 геометрическое местоточекE1 cos(kz + ϕ1 ), E2 cos(kz + ϕ2 ), z(2)E1xE1xпредставляет собой винтовую линию (рис. 1).Для фиксированной координаты z = 0 геометрическое место точекE1 cos(−ωt + ϕ1 ), E2 cos(−ωt + ϕ2 ), t(3)также представляет собой винтовую линию, но с противоположнойориентацией (рис.

1). Для фиксированной координаты при увеличениивремени t конец вектора E описывает в xy-плоскости эллипс (рис. 2).yE2tE1 xРис. 2. Эллипс, описываемый вектором напряжённости поля с увеличениемcвремениyEyxExz5t3.Квантовое описание поляризацииодиночных фотоновЯвление фотоэффекта и другие эксперименты по поглощению света показывают, что электромагнитная энергия поглощается квантами,т.е. порциями ~ω, где ~ ≈ 1,05 · 10−27 эрг·с — постоянная Планка. Кроме того, будем считать, что переносчиками электромагнитной энергииявляются особые частицы — фотоны, несущие квант энергии.Рассмотрим монохроматическую электромагнитную волну с определённой поляризацией. Тогда и все фотоны в волне обладают этойопределённой поляризацией.

Рассмотрим единичный фотон. С однойстороны, единичный фотон ведёт себя подобно исходной волне (волновые свойства), а с другой стороны, фотон может быть поглощён детектором только полностью или не поглощён вовсе (свойства частицы).Таким образом, имеет место корпускулярно-волновой дуализм.Для квантового описания единичного фотона мы можем абстрагироваться от абсолютных значений E1 и E2 , важен лишь вид тойвинтовой линии, которую описывает в пространстве вектор E. Удобнозадать эту форму также вектором, только двумерным, а не трёхмерным, поскольку всегда Ez = 0. Далее, вид винтовой линиии определяетне только соотношение между E1 и E2 , а также соотношение междусдвигами фаз ϕ1 и ϕ2 .

Как и в оптике, нагляднее всего соотношение между фазами можно увидеть с помощью комплексных амплитудE1 ei(kz−ωt+ϕ1 ) и E2 ei(kz−ωt+ϕ2 ) , действительные части которых равныE1 cos(kz − ωt + ϕ1 ) и E2 cos(kz − ωt + ϕ2 ) соответственно.Перейдём на новый уровень абстракции и для описания единичного фотона (вида винтовой линии) будем использовать следующийкомплексный вектор, известный в оптике как вектор Джонса:E1 cos(kz − ωt + ϕ1 )E1 ei(kz−ωt+ϕ1 ) E2 cos(kz − ωt + ϕ2 )  −→ |ψi = p 1,E2 ei(kz−ωt+ϕ2 )E12 + E220(4)в котором намеренно подчёркивается тот факт, что интенсивность настеперь не интересует (мы имеем дело с одним фотоном).Далее заметим, что общий фазовый множитель ei(kz−ωt) присущсамой волне, поскольку мы изначально рассматривали монохроматическую волну.

Само значение ω определяет шаг винтовой линии (λ == 2πc/ω) или угловую скорость, с которой вектор E описывает эллипсв плоскости xy. Сама форма эллипса задаётся лишь соотношениеммежду E1 eiϕ1 и E2 eiϕ2 . По этой причине нас не интересуют сами зна6чения ϕ1 и ϕ2 , а интересует лишь разность фаз ϕ2 − ϕ1 — именно онавкупе с отношением E1 /E2 определяет форму эллипса. Это означает,что физически следующие записи состояния (4) эквивалентны:E1 ei(kz−ωt+ϕ1 )E1 eiϕ11√ 21 2√←→←→E1 +E2E12 +E22E2 eiϕ2E2 ei(kz−ωt+ϕ2 )E1←→ √ 21 2.(5)E1 +E2E2 ei(ϕ2 −ϕ1 )Физическая эквивалентность означает, что все выводимые нами заключения о наблюдаемых экспериментально величинах должны бытьодинаковы для перечисленных выше математических записей состояния.Запишем некоторые состояния в новых обозначениях.с Cостояние1горизонтальной поляризацией (E1 6= 0, E2 = 0): |Hi =.

Cостоя00ние с вертикальной поляризацией (E1 = 0, E2 6= 0): |V i =.1Произвольное состояние поляризации фотона имеет вид c110|ψi == c1+ c2= c1 |Hi + c2 |V i,(6)c201где c1 , c2 ∈ C, |c1 |2 + |c2 |2 = 1, представляет собой суперпозицию состояний |Hi и |V i. Данное математическое описание имеет нагляднуюфизическую интерпретацию: мы имеем дело со сложением гармонических колебаний в x и y направлениях.Если аргументы ϕ1 и ϕ2 комплексных чисел c1 и c2 совпадают илиразличаются на π, т.е.