МУ - Квантовые поляризационные состояния фотонов (МУ - Квантовые поляризационные состояния фотонов.pdf), страница 3

Саму измеряемую величину «прохождениефотона» тоже можно обозначить буквой Pфиз.вел. = {1, 0}, котораяможет принимать два значения. ТогдаhPфиз.вел. i = hψ|P |ψi.14(16)5.2.Двулучепреломляющий кристалл“ + 1”Рассмотрим более интересный случай измерения с двулучепреломляющим кристаллом (рис. 10). При попадании одиночного фотона надвулучепреломляющий кристалл компонента, поляризованная горизонтально, не отклоняется, а компонента, поляризованная вертикально, отклоняется от первоначального направления распространения луча (пунктирными линиями показаны фронты элементарных волн).

Поставив два детектора, в каждом единичном акте мы будем наблюдатьэкспериментально срабатывание лишь одного из детекторов. Можносчитать, что до попадания в детектор фотон находится в обоих лучах одновременно: и в верхнем, и в нижнем (принцип суперпозиции).Однако, будучи частицей, фотон может быть зарегистрирован тольков одном детекторе — либо в верхнем, либо в нижнем, т.е. происходитколлапс состояния.“ 1”“ + 1”1”1”“ 1”Рис. 10. Схема измерения параметра Стокса hψ|σ3 |ψi“ + 1”Срабатыванию верхнего детектора припишем значение «+1», а срабатыванию нижнего – «−1».

Обозначим соответствующую физичеc1скую величину Zфиз.вел. , тогда для состояния |ψi =получимc215hZфиз.вел. i = (+1) · |c1 |2 + (−1) · |c2 |2 = 1 0c1+∗∗= c1 c2= hψ|σ3 |ψi,(17)0 −1c21 0где σ3 =– матрица, отвечающая физической наблюдае0 −1мой Zфиз.вел. . Видно, что собственные значения σ3 – числа +1 и −1, аотвечающие им собственные векторы – |Hi и |V i.Величину hψ|σ3 |ψi = |c1 |2 − |c2 |2 также называют 3-м параметромСтокса. Схема на рис. 10 показывает, как этот параметр можно измерить экспериментально, суммируя количество срабатываний верхнего (N+ ) и нижнего (N− ) детекторов и вычисляя отношение (N+ −−N− )/(N+ + N− ) при многократном отправлении на двулучепреломляющий кристалл идентичных фотонов в состоянии |ψi.“ 1”“ 1”5.3.Поворот плоскости поляризации“ + 1”””“ 1”Рис. 11.

Схема измерения параметра Стокса hψ|σ1 |ψiВидоизменим эксперимент, поставив перед двулучепреломляющимкристаллом пластинку, в которой вследствие эффекта Фарадея плоскость поляризации поворачивается на угол −45◦ , рис. 11. Такой по16ворот плоскости поляризации отвечает обычномуповоротуплоскости11Oxy и задаётся унитарной матрицей U = √12. Тогда−1 1111 1c1c1 + c2=√.|ψi −→ |ϕi = U |ψi = √−1 1c2−c1 + c222(18)Получим новую физическую величину Xфиз.вел. , среднее значениекоторой равноhXфиз.вел. i =11|c1 + c2 |2 − | − c1 + c2 |2 = hϕ|σ3 |ϕi = hψ|U † σ3 U |ψi. (19)22Приходим к выводу, что среднее значение hXфиз.вел. i равно hψ|σ1 |ψi,где1=.0(20)Матрица σ1 эрмитова, её собственныезначенияравны±1,асоб11ственные векторы равны √соответственно.±12 11Если бы фотон изначально находился в состоянии √, то12◦при повороте плоскости поляризации на −45 он бы превратилсяв1фотон с горизонтальной поляризацией (вектор |Hi =) и с опре0делённостью попал бы в верхний детектор, и мы бы с определённостьюполучили значение «+1».11, тоЕсли бы фотон изначально находился в состоянии √−12при повороте плоскости поляризации на −45◦ он быпревратилсяв фо0тон с вертикальной поляризацией (вектор −|V i =) и с опре−1делённостью попал бы в нижний детектор, и мы бы с определённостьюполучили значение «−1».Этот пример ещё раз показывает, что каждой измеряемой физической величине можно поставить в соответствие матрицу, собственныевекторы которой определяют такие состояния, для которых исходыизмерения принимают определённое значение.Величину hψ|σ1 |ψi = c∗2 c1 + c∗1 c2 = 2Re(c∗1 c2 ) также называют 1-мпараметром Стокса.

Схема на рис. 11 показывает, как этот параметрможно измерить экспериментально.1σ1 = U σ3 U = √2†11−1110170−11√21−111015.4.Сдвиг фаз+Рассмотрим, наконец, случай, когда перед двулучепреломляющимкристаллом и пластинкой, вращающей плоскость поляризации на угол−45◦ , установлена так называемая пластинка λ/4, которая создаётмежду горизонтальной и вертикальной компонентами поляризации разность фаз π/2 (из-за разных скоростей распространения волн, поляризованных горизонтально и вертикально). Действие такой пластинкизадаётся унитарной матрицей: i 0i 0c1ic1W =,|ψi −→ |χi = W |ψi ==.0 10 1c2c2(21)Получим новую физическую величину Yфиз.вел.

, среднее значениекоторой равно“ 1”“ 1”hYфиз.вел. i = hχ|σ1 |χi = hψ|W † σ1 W |ψi.(22)“ + 1”i“ 1”iРис. 12. Схема измерения параметра Стокса hψ|σ2 |ψi“ + 1”Приходим к выводу, что среднее значение hYфиз.вел. i равно hψ|σ2 |ψi,где†σ2 = W σ1 W =−i 00 1011018i001=0i−i0. (23)Матрица σ2 эрмитова, её собственныезначения равны ±1, а соб11ственные векторы равны √соответственно.±i2Если бы фотон изначально находился в состоянии с правой кру11, то после сдвига фаз он быговой поляризацией | i = √i2i1и в итогепревратился в фотон с линейной поляризацией √12с определённостью попал бы в верхний детектор, и мы бы с определённостью получили значение «+1».Если бы фотон изначальнонаходилсяв состоянии с левой круговой11поляризацией | i = √, то после сдвига фаз он бы превра−i2i1тился в фотон с линейной поляризацией √и в итоге с опре−12делённостью попал бы в нижний детектор, и мы бы с определённостьюполучили значение «−1».Величину hψ|σ2 |ψi = i(c∗2 c1 − c∗1 c2 ) = 2Im(c∗1 c2 ) также называют 2-мпараметром Стокса.

Схема на рис. 12 показывает, как этот параметрможно измерить экспериментально.6.Сфера ПуанкареДля начала покажем, что физические свойства квантового состояния |ψi = c1 |Hi + c2 |V i одиночного фотона определяются двумя вещественными параметрами. Несмотря на то, что задание комплексныхчисел c1 и c2 эквивалентно заданию 4-х вещественных параметров, вопервых, общий фазовый множитель не изменяет физических свойствсостояния, во-вторых, имеется условие нормировки |c1 |2 + |c2 |2 = 1.Таким образом, состояние |ψi можно описать двумя действительнымипараметрами, в частности углами на сфере θ ∈ [0, π] и ϕ ∈ [0, 2π]:|ψi =cos θ2 e−iϕ/2sin θ2 eiϕ/2.(24)При такой параметризацииsx:= hψ|σx |ψi = sin θ cos ϕ,(25)sy:= hψ|σy |ψi = sin θ sin ϕ,(26)sz:= hψ|σz |ψi = cos θ.(27)19Величины sx , sy , sz называются параметрами Стокса и полностью характеризуют поляризационное квантовое состояние одиночного фотона |ψi.

Заметим, что состояние (24) является собственным для оператора s · σ̂ = sx σ̂x + sy σ̂y + sz σ̂z .Таким образом, множеству физических состояний |ψi можно поставить в соответствие сферу Пуанкаре (см. рис. 13). Линейной поляризации соответствует сечение сферы плоскостью Oxz. Правой круговойполяризации соответствует точка (0, 1, 0), левой круговой поляризации— точка (0, −1, 0).szsyqjsxРис. 13.

Сфера Пуанкаре7.Матрица плотности ансамбляРассмотренные выше понятия были сформулированы для одиночных фотонов, описываемых векторами состояния |ψi, называемых так20же чистыми состояниями. Рассмотрим теперь ансамбль чистых состояний {pi , |ψi i}, в которомкаждое состояние |ψi i встречается с вероятPностью pi , причём i pi = 1. Тогда среднее значение некоторой физической величины Â по такому ансамблю будет определяться формулой X(28)hÂi =pi hψi |Â|ψi i = tr Â%̂ ,iPPPгде %̂ = i pi |ψi ihψi | — оператор плотности, trM̂ = i hi|M̂ |ii = i Mii— след оператора, вычисляемый как сумма диагональных элементовматрицы оператора, записанного в ортонормированном базисе {|ii}.Матрица плотности % с элементами %ij = hi|%̂|ji обладает следующими свойствами: 1) эрмитовость %† = %; 2) неотрицательная определённость % > 0; 3) единичный след tr% = 1.

Действительно,XX1)%̂† =pi (|ψi ihψi |)† =pi |ψi ihψi | = %̂ ;(29)i2)ihχ|%̂|χi =Xpi hχ|ψi ihψi |χi =i3)tr%̂ =Xipi tr(|ψi ihψi |) =Xpi |hχ|ψi i|2 > 0,∀ |χi ; (30)iXipi hψi |ψi i =Xpi = 1.(31)iОбратно, пусть имеется оператор %̂, удовлетворяющий свойствам(29) P– (31), тогда найдутся вероятности pi и состояния |ψi i такие, что%̂ = Pi pi |ψi ihψi |. Заметим, что в общем случае представление суммой%̂ = i pi |ψi ihψi | не единственно.

Один из способов заключается в том,чтобы в качестве pi взять собственные значения %, а в качестве |ψi i –соответствующие им ортонормированные собственные векторы.Мы приходим к выводу, что статистические свойства ансамбляодиночных фотонов полностью определяются оператором плотности.В этом случае поляризационная матрица плотности имеет вид11 + s3 s1 − is2%HH %HV,(32)%==s1 + is2 1 − s3%V H %V V2где si = hσi i = tr(%σi ) – параметры Стокса в общем случае.Условие % > 0 эквивалентно условию s21 + s22 + s23 6 1, т.е.

матрица плотности задаётся точкой внутри шара на рис. 13. Граница шара(сфера Пуанкаре) соответствует так называемым чистым состояниям %̂ = |ψihψ|, а внутренние точки шара – смешанным состояниям%̂ 6= |ψihψ|. Нетрудно заметить, что состояние является чистым тогдаи только тогда, когда tr(%2 ) = 1.218.Частично поляризованный светСмешанные состояния соответствуют частично поляризованномусвету. В классической теории поля такая ситуация возникает для немонохроматической электромагнитной волны. Напряжённость электрического поля в некоторой точке пространства: E = E0 (t)e−iωt , где ω –средняя частота излучения.