1598082982-ec6eac7a67110b7411640c3bff1b0d60 (Конспект лекций по физике в электронном виде (2015)), страница 11

Выберем ось z0;maC  Fт sin α  Fтр ,0  N  Fт cos α , I ε  F R.трC(5.3)Эта система содержит 3 уравнения с 5 неизвестными. Запишем дополнительныесоотношения:Fт  mg ,aC(кинематическая связь – отсутствие проскальзывания).RПосле их подстановки в систему (5.3) получится система уравненийεmaC  mg sin α  Fтр , aC FтрR. IC R(Отсюда мы исключили второе уравнение в системе (5.3), так как оно содержитлишнюю неизвестную N.) Решив эту систему уравнений относительно aC, получимmgR sin α.aC IC  mR2Чем больше момент инерции цилиндра, тем меньше ускорение его центра масс и,следовательно, конечная скорость, что мы и наблюдали в эксперименте.

В частноg sin αсти, для полого цилиндра IC = mR2 и aC , а для сплошного цилиндра2R2g sin αmR2IC и aC . Сплошной цилиндр скатывается быстрее полого.23R1.5.6. Момент импульсаПреобразуем основное уравнение динамики вращательного движения с учётомdωтого, что по определению ε ( ω – угловая скорость тела):dtIε  M ⇒ I d IωdωM,M ⇒dtdtdLMdt– основное уравнения динамики вращательного движения в дифференциальной форме, гдеL  Iω– момент импульса твёрдого тела относительно оси;(5.4)49кг  м2 L  с .При M  0dL0dt– закон сохранения момента импульса: момент импульса замкнутой системыотносительно любой оси не изменяется с течением времени.На самом деле закон сохранения момента импульса ниоткуда не выводится, а является выражением свойств пространства-времени (см.

РАЗДЕЛ 1.1.2).Более подробно закон сохранения момента импульса рассмотрим ДАЛЕЕ.1.6. Закон сохранения импульсаЗаконы сохранения позволяют найти связь между характеристиками механической системы до и после взаимодействия, не вдаваясь в подробности произошедшего процесса. Сначала подробно рассмотрим закон сохранения импульса.Вспомним основные соотношения (см.

РАЗДЕЛ 1.4.8):Импульс материальной точки:p  mvИмпульс механической системы:P   pi  M vCТеорема о движении центра масс:edPFdtЕсли система замкнута, тоdP 0 ⇒ P  const .dtЗакон сохранения импульса: импульс замкнутой системы остаётся неизменнымс течением времени.Замкнутых систем в строгом смысле этого слова в природе не бывает, но во многих случаях импульс системы можно считать сохраняющимся:1.Внешние силы скомпенсированы:Fe0.2. Движение системы рассматривается в течение короткого промежутка времени Δt:eeΔP F , ΔP  F Δt .ΔtЕсли Δt мало, то и ΔP мало и им можно пренебречь. С чем сравнивать эти величины? Речь идёт о влиянии взаимодействий, описываемых внешними ивнутренними силами, на движение отдельных тел, входящих в рассматриваемую механическую систему, при взрыве, ударе и т.

п. Изменение импульсаэтих тел под действием внутренних сил велико по сравнению с изменениемимпульса под действием внешних сил тогда, когда модуль главного векторавнутренних сил, приложенных к какому-либо телу, входящему в систему, много больше модуля равнодействующей внешних сил, приложенных к этому жетелу: Fii Fie .50 dPe F  0  , но проекция главного век3. Внешние силы не скомпенсированы  dtтора внешних сил на какое-либо направление равна нулю:dPx 0 ⇒ Px  constdt– проекция импульса механической системы на это направление (ось x) остаётся неизменной с течением времени.Fxe  0 ⇒ПРИМЕРПружинная пушкаПушка массы M стоит на горизонтальных рельсах и стреляет в горизонтальномнаправлении снарядом массы m, вылетающим со скоростью v (РИС. 5.3).

Найтискорость пушки после выстрела.Рассмотрим механическую систему пушкаmснаряд. Будем работать в лабораторнойMсистеме отсчёта.xСчитаем, что в момент выстрела сохраняется проекция импульса системы на гориРис. 5.3зонтальное направление (Px = const); изменением импульса системы под действием трения пушки о рельсы пренебрежём.Запишем закон сохранения импульса в проекции на ось x:0  mv  Mu ;получимmvu.MЧем массивнее снаряд, тем больше начальная скорость пушки и расстояние, накоторое она откатится после выстрела. Проверим это экспериментально.Демонстрация: Пружинная пушка1.7. Момент импульса.

Закон сохранения момента импульса1.7.1. Момент импульсаМомент импульса – векторная величина (псевдовектор), характеризующаяинертность тела в движении.1. Момент импульса материальной точки относительно точкиМомент импульса материальной точки относительно точки (полюса) равен векторному произведению радиуса-вектора этой точки на её импульс(РИС. 5.4):L  rp  .2.

Момент импульса материальной точки относительно осиМомент импульса материальной точки относительно оси:L  rp k .z51Вектор момента импульса относительно оси всегда направлен вдоль этой оси;направление определяется по правилу правого винта. (На РИС. 5.5 p лежит не вплоскости чертежа.)zm ⊙mOOРис. 5.4Рис. 5.53. Момент импульса механической системыМомент импульса механической системы равен сумме моментов импульсовтел (материальных точек), составляющих эту систему:L   Li .(5.5)4. Момент импульса твёрдого тела, вращающегося вокруг неподвижной осиПусть твёрдое тело вращается вокруг оси z с угловой скороzстью ω (РИС. 5.6).

Разобьём тело на малые фрагменты масса,ми Δmi, отстоящие от оси z соответственно на расстояния ri иимеющие скорости vi и импульсы Δ pi Момент импульса i-гофрагментаOiΔmiΔLi  ri ,Δpi  .Момент импульса тела по определению (5.5)L   ΔLi   ri ,Δ pi    ri ,Δmi vi    ri ,Δmi ωri      ω Δm r  Δmi ωri2  ri ωri Iω.Рис. 5.6I0Здесь учтено, что vi  ωri  . Мы получили результат, совпадающий с определением (5.4).2i i5. Момент импульса твёрдого тела, совершающего плоское движениеL  rC P   LC ,где rC – радиус-вектор центра масс тела, P – импульс тела; LC  IC ω – момент импульса, соответствующий вращению тела вокруг оси, проходящей через центрмасс тела перпендикулярно плоскости его движения, IC – момент инерции телаотносительно этой оси.ДоказательствоРазобьём тело на малые фрагменты массами Δmi.

По определению (5.5)52L   ΔLi   ri ,Δpi    ri ,Δmi vi  ,где ri – радиус-вектор i-го фрагмента, vi – его скорость, Δ pi – его импульс. Представим (ср. РИС. 3.4)ri  rC  ρi ⇒ vi  vC  ui ,где rC – радиус-вектор центра масс тела, ρi – радиус-вектор, проведённый из ценdρi ωρi  – скорость idt го фрагмента относительно центра масс, ω – угловая скорость тела. Таким образом,тра масс к i-му фрагменту, vC – скорость центра масс, ui L   rC  ρi ,Δmi vC  ui    Δmi rC vC   rC ui    ρi vC    ρi ui   rC vC   Δmi  rC ,  Δmi ui     Δmi ρi , vC     ρi ,Δmi ui  0, т. к.

точка C – центр массdρi  rC , M vC   rC ,  Δmi   Δmi  ρi , ωρi   dt d rC P   rC ,Δmi ρi    Δmi ωρi2  rC P   ω Δmi ρi2  dt0IC rC P   IC ω, ч. т. д.(здесь M – масса тела).1.7.2. Закон сохранения момента импульсаОсновное уравнение динамики вращательного движенияedLM ,dteгде M – главный вектор моментов внешних сил. Если механическая система замкнута, тоdL 0 ⇒ L  const .dtМомент импульса замкнутой системы относительно любой оси не изменяется стечением времени.eM 0 ⇒eЕсли система не является замкнутой, но M  0 относительно некоторой оси –моменты внешних сил равны нулю либо скомпенсированы, то момент импульсасистемы относительно этой оси не изменяется с течением времени.ПРИМЕРСкамья ЖуковскогоСкамья Жуковского представляет собой диск, который может вращаться вокругвертикальной оси – оси симметрии – почти без трения.

На скамье может стоять(или сидеть) человек и выполнять различные действия. Рассмотрим два опыта.Демонстрация: Скамья Жуковского53Опыт 1Экспериментатор стоит на скамье Жуковского, вращающейся с угловой скоростью ω1 (РИС. 5.7А). В разведённых в стороны руках экспериментатор держит гантели.

Затем экспериментатор сводит руки так, что расстояние от гантелей до осиуменьшается (РИС. 5.7Б). Как изменится угловая скорость системы?zzабРис. 5.7На систему человек-скамья-гантели воздействуют следующие внешние объекты:Земля с силой тяжести Fт и опорная поверхность с силой реакции N . Обе эти сиeлы имеют нулевые моменты относительно вертикальной оси z: M  0 . Следовательно, момент импульса рассматриваемой механической системы относительноэтой оси сохраняется: L  const .Момент импульса системы в начальном состоянииL1  I1 ω1 ,где I1 – момент инерции системы относительно оси z в начальном состоянии (сразведёнными руками и гантелями).Момент импульса системы в конечном состоянииL2  I2 ω2 ,где I2 – момент инерции системы относительно оси z в конечном состоянии (сосведёнными руками и гантелями), ω2 – конечная угловая скорость.Так как L1  L2  L ,I1 ω1  I2 ω2 .В проекции на ось zI1ω1  I2ω2 ⇒ ω2 I1ω1.I254Так как I2 < I1 (в конечном положении гантели находятся ближе к оси), угловаяскорость системы увеличивается.Опыт 2Экспериментатор стоит на неподвижной скамье Жуковского.

Ему в руки дают оськолеса, вращающегося с угловой скоростью ω, направленную вертикально вверх(РИС. 5.8А). Затем экспериментатор поворачивает ось колеса вниз (РИС. 5.8Б).С какой угловой скоростью начнёт вращаться скамья?zzабРис. 5.8Момент импульса системы человек-скамья-гантели относительно вертикальнойоси сохраняется по той же причине, что и В ПРЕДЫДУЩЕМ ОПЫТЕ.Момент импульса системы в начальном состоянииL1  I1 ω1 ,где I1 – момент инерции колеса относительно его оси; ω1 – вектор начальной угловой скорости колеса, ω1 = ω.Момент импульса системы в конечном состоянииL2  I1 ω2  I2 ω ,где I2 – момент инерции человека и скамьи относительно оси z, ω2 – вектор конечной угловой скорости колеса, ω2 = ω, ω – конечная угловая скорость скамьи.Так как L1  L2 ,I1 ω1  I1 ω2  I2 ω .В проекции на ось zI1ω  I1ω  I2ω ⇒ ω 2I1ω.I255Скамья будет вращаться в направлении, совпадающем с начальным направлением вращения колеса.56Лекция 61.8.

Работа и энергия1.8.1. Кинетическая энергияКинетическая энергия – энергетическая характеристика движения;[Wк] = Дж.1. Кинетическая энергия материальной точкиКинетическая энергия материальной точки равна произведению массы материальной точки на квадрат её скорости, делённый пополам:Wк mv2.22. Кинетическая энергия механической системыКинетическая энергия механической системы равна сумме кинетическихэнергий тел (материальных точек), составляющих эту систему:Wк  Wкi ;Wк (6.1)M vC2(M – масса системы, vC – скорость центра масс)!2Кинетическая энергия поступательного движения тела: Wк тела, v – модуль его скорости.mv2, где m – масса23.