1598082982-ec6eac7a67110b7411640c3bff1b0d60 (Конспект лекций по физике в электронном виде (2015)), страница 8

(Следует помнить о том, что векторное произведение антикоммутативно!)Формула (2.4) справедлива и в произвольном случае сложного движения. Тогда v  ωr sin ω, r .Выразим компоненты линейного ускорения (т. е. ускорения точки M), воспользовавшись формулой (2.3):aτ d v d  ωr dωdrr ω  εr ,dtdtdtdt027v2 ω2r 2an   ω2r .rrПолное ускорение dr a  εr   ω   εr   ω ωr   . dt Для сложного движения твёрдого тела(2.5)v  vC  ω r  r C  ,где r C – радиус-вектор центра масс тела (см.масс.РАЗДЕЛ1.4.4), vC – скорость центра28Лекция 31.4.

Динамика материальной точкиДинамика – раздел механики, изучающий влияния взаимодействия тел на механическое движение.1.4.1. Законы НьютонаI закон Ньютона: существуют такие системы отсчёта, в которых материальнаяточка сохраняет состояние покоя или равномерного прямолинейного движениядо тех пор, пока воздействие других тел не выведет её из этого состояния.II закон Ньютона: ускорение материальной точки совпадает по направлению ссилой, с которой действуют на неё другие тела, и равно отношению этой силы кмассе точки:aFm(см.

РИС. 3.1).III закон Ньютона: две материальные точки действуют друг на друга с силами,равными по модулю, противоположными по направлению и направленнымивдоль прямой, соединяющей эти точки:F 12  F 21(см. РИС. 3.2).1mРис. 3.12Рис. 3.2Демонстрация: Тележки1.4.2. Инерциальные системы отсчётаС точки зрения физики покой и равномерное прямолинейное движение суть однои то же.Инерциальная система отсчёта (ИСО) – система отсчёта в которой материальная точка, не испытывающая внешних воздействий, движется равномерно и прямолинейно.I закон Ньютона можно сформулировать так: инерциальные системы отсчёта существуют.Примеры систем отсчёта, которые можно считать инерциальными в условиибольшинства задач:ИСОгелиоцентрическаятело отсчёта – Солнцелабораторнаятело отсчёта – лаборатория (земля)Все тела обладают инертностью – свойством сохранять состояние покоя илиравномерного прямолинейного движения в отсутствие внешних воздействий.29Масса – физическая величина – характеристика тела, являющаяся мерой егоинертности.1.4.3.

СилаСила – векторная величина – мера воздействия на данное тело другого объекта.Каждая сила описывает действие какого-либо объекта.Линия действия силы – прямая, вдоль которой направлена сила.Силовая линия – кривая, касательные к которой в каждой её точке совпадают понаправлению с силой.ПРИМЕРСиловые линии гравитационного поля Земли (РИС. 3.3)mOРис. 3.3Равнодействующая сила (главный вектор) – векторная сумма всех сил, описывающих действие на данное тело других объектов:nF   Fii 1(здесь n – число воздействующих объектов).Принцип независимости действия сил: если на материальную точку одновременно действует n объектов, то ускорение этой точкиnaFi 1im,где m – масса материальной точки, Fi – сила, описывающая воздействие i-го объекта на данную точку.Так как a d2 r, II закон Ньютона можно записать в видеdt 2md2 rFdt 2– дифференциальное уравнение движения материальной точки ( F – главныйвектор сил, с которыми другие объекты действуют на данную точку).

В проекциина оси декартовой системы координат это уравнение представляется в виде трёхдифференциальных уравнений30 d2xm 2  Fx , dt d2 ym 2  Fy , dt d2zm 2  Fz . dt1.4.4. Центр масс механической системыВнешние силы – силы, описывающие действие объектов, не входящих в даннуюeмеханическую систему, на тела, входящие в неё. Будем обозначать такие силы F13.Внутренние силы – силы, описывающие взаимодействие тел, входящих в даннуюiмеханическую систему (обозначение F ).Для любой механической системы из III закона Ньютона следует, что сумма внутренних сил равна нулю:Fi0 .Рассмотрим механическую систему из N материальных точек.Центр масс механической системы – m1точка, для которойCNNmρ0или  mi ri  rC  0 ,i ii 1i 1 mi m2где mi – масса i-ой материальной точки, ρi – радиус-вектор, соединяющий mNцентр масс с i-ой материальной точкой, ri – радиус-вектор i-ой матери-альной точки, rC – радиус-вектор центра масс.

(На РИС. 3.4 точка C – центрРис. 3.4масс, O – начало отсчёта.)Как найти положение центра масс системы? Из определения центра масс следуетONNN m r    m  ri ii 1i 1iC⇒ rC m ri ii 1M,Nгде M   mi – масса механической системы. В декартовой системе координатi 1NxC 13 mi xii 1MNN, yC  mi yii 1M, zC m zi ii 1M.В «живой» лекции лучше использовать обозначения русскими буквами:(3.1)Fвнеши т.

п.31Если тело (механическая система) центральносимметрично, то его центр масссовпадает с центром симметрии. Если же тело осесимметрично, то центр масс лежит на оси симметрии.ПРИМЕРНахождение центра масс системы двух материальных точекДве материальные точки массами m1 и m2 находятся на расстоянии l друг от друга(РИС. 3.5).

Где находится центр масс системы?Центр масс C системы, очевидно, долженm1m2Cнаходиться на прямой между материальOными точками. Радиусы-векторы, соединяxxСlющие центр масс и материальные точки,показаны на РИС. 3.5. Введём ось x, как покаРис. 3.5зано на рисунке, и совместим начало отсчёта с материальной точкой массы m1; тогда координата точки массой m2 равна l.

Изформулы (3.1) получимm x  m2 x2m2l.xC  1 1m1  m2m1  m2Теорема о движении центра масс: центр масс механической системы движетсякак материальная точка с массой, равной массе системы, к которой приложена сила, равная равнодействующей внешних сил, приложенных к системе,eMaC  F .ДоказательствоРассмотрим механическую систему, состоящую из N материальных точек. Дифференциальное уравнение движения i-ой точкиmiNeid 2 riFF ki ,i2dtk 1, k ie(3.2)iгде Fi – равнодействующая внешних сил, приложенных к i-ой точке; F ki – внутренняя сила, с которой k-я точка действует на i-ую точку.Просуммируем равенства (3.2) по всем N точкам системы:N miid 2 ri N e N N  Fi    F ki .2dti 1i 1 k 1, k i(3.3)0Второе слагаемое в правой части этого равенства равно нулю, так как оно равносумме всех внутренних сил, описывающих взаимодействие тел, входящих в расi 1eсматриваемую систему.

Первое слагаемое есть главный вектор внешних сил F .Преобразуем левую часть равенства (3.3), учитывая, что ri  rC  ρi (РИС. 3.4):ed 2 rC Nd2 ρmi 2   mi 2i  F ,dtdti 1i 1Nd 2 rCdt 2N mi i 1ed2 Nm ρ F .2  i idt i 132d 2 rCНо aC – ускорение центра масс,dt 2Nm  Mi 1i– масса системы, аNm ρi 1ii 0 , такeкак точка C – центр масс системы. Поэтому MaC  F , ч. т. д.1.4.5. Некоторые силы141. Гравитационная силаСила, описывающая гравитационное воздействие материальной точки15 массойm1 на материальную точку массы m2, находящуюся на расстоянии r от точки массой m1 (РИС. 3.6):F 12  Gm1m2r 12r3(3.4)Н  м2– гравитационная постокг2янная.

Знак «–» означает, что тела притягиваются.– закон всемирного тяготения; G  6,67  1011Om1RmM m2Рис. 3.6Рис. 3.7ЧАСТНЫЙ СЛУЧАЙСила тяжести – гравитационная сила вблизи поверхности ЗемлиFт  mg .Действительно, пусть материальная точка массы m находится вблизи поверхности Земли, т. е. на расстоянии от центра Земли, равном радиусу R Земли (РИС. 3.7).По закону всемирного тяготения (3.4)mMFg  Fт  G 3 r ,Rздесь M – масса Земли.

Модуль этой силыMFт  G 2 m  mg ,RMмгде g  G 2  9,81 2 16 – ускорение свободного падения (вернее, модуль этогоRсускорения). По II закону НьютонаВ данном разделе рассматриваются силы, фигурирующие в задачах I семестра.В этом определении можно заменить слова «материальная точка» на «тело» с поправкой, что r –это расстояние между центрами масс тел.16 При необходимости проведения вычислений с достаточно высокой точностью следует учитывать, что ускорение свободного падения зависит от географической широты. На широтеМосквы g = 9,8156 м/с2.141533ma  mg ,вектор g направлен к центру Земли.

Центры масс всех тел, падающих свободно(т. е. без каких-либо внешних воздействий, кроме гравитационного) вблизи поверхности Земли, движутся с ускорением g .2. Сила упругостиУпругая деформация – деформация тела, которая полностью исчезает послепрекращения взаимодействия, являющегося её причиной. Воздействие деформированного тела на тело, вызвавшее деформацию, описывается силой упругости.Закон Гука (в случае линейной деформации):F упр  kΔl ,где Δl – вектор деформации (РИС. 3.8А), k – коэффициент упругости (жёсткость) деформируемого тела.