1598082982-ec6eac7a67110b7411640c3bff1b0d60 (805623), страница 7

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 7)

Декартова система координатzr  xi  y j  ck ,tMOi , j , k – орты декартовой системы координат (РИС. 1.4); они образуют правую тройкувекторов. x  x t  , y  y t  ,z  z t y– кинематический закон движения материальной точки в координатной форме.xКоординатная форма закона движения удобРис. 1.4ней для вычисления, чем векторная форма.Длина (модуль, абсолютная величина) радиуса-вектора:r  x 2  y2  z 2 .6Кроме векторного, используют координатный и естественный способы описания движения.192. Сферическая система координат7zr  r  t  ,φ  φ  t  ,θ  θ  t  ,где φ – полярный угол, θ – азимутальныйугол (РИС. 1.5).Связь сферических координат с декартовыми:tMθ x  r sin θ cos φ , y  r sin θ sin φ , z  r cos θ.yOφxРис.

1.53. Цилиндрическая система координатz ρ  ρ t  ,φ  φ  t  ,z  z t tM(РИС. 1.6).Связь цилиндрических координат с декартовыми:z x  ρ cos φ ,ρ y  ρ sin φ ,z  z.φxЧастный случай: полярная система коордиРис. 1.6πнат [при z = 0 ( θ  )].2Выбор системы координат произволен и обусловливается удобством решенияконкретной задачи. Результат решения задачи не должен зависеть от выборасистемы координат!OyТраектория. Уравнение траекторииТраектория материальной точки – кривая, описываемая точкой при её движении.Для того чтобы найти уравнение траектории, нужно исключить время из кинематического закона движения в координатной форме:(для двумерного движения)x  x t    y  yx .y  y t Сферическая и цилиндрическая системы координат в I семестре практически не используются, арассматриваются здесь для применения при рассмотрении электромагнитных полей различныхконфигураций в задачах II семестра.7201.2.3.

Кинематические параметры1. ПеремещениеПеремещение (смещение) – приращение радиусавектораΔS1t1Δr  r2  r1 ,t22где r1 – радиус-вектор материальной точки, совершающей движение, в момент времени t1, r2 – радиусвектор в момент времени t2 (РИС. 1.7);[r] = м8.Путь ΔS – длина участка траектории (1-2 на РИС.

1.7).Δr ≠ ΔS!OРис. 1.72. СкоростьСкорость – векторная величина, характеризующая быстроту движения.Средняя скоростьΔr,ΔtГде Δt – промежуток времени; Δt = t2 – t1 на РИС. 1.7;м v  .сМгновенная скоростьv Δr dr r  rt  .Δt 0 Δtdtv  lim(В этой формуле представлены различные варианты обозначения производнойрадиуса-вектора по времени. В последующих разделах и главах мы будем писатьdrи т. п.)dtВектор мгновенной скорости направлен по касательной к траектории.Средняя путевая скоростьΔSvпут .ΔtВ дальнейшем под словом «скорость» мы будем понимать мгновенную скорость,если не оговорено иное.Выразим вектор мгновенной скорости через проекции на оси декартовой системыкоординат:ΔrΔx  i  Δy  j  Δz  kΔxΔyΔzdx dydz lim lim i  limj  lim k  i j  k;Δt 0 ΔtΔt 0Δt 0 ΔtΔt 0 ΔtΔt 0 ΔtΔtdtdtdtv  limЗдесь и далее в конспекте лекций квадратные скобки в подобном контексте означают единицыизмерения данной величины в СИ.821dxv,xdtdrdy222! v y  , v  v x  v y  vz ; v dtdtdz vz  dt ;Обратная задачаДано v  t  , найти r  t  .За малое время dt материальная точка совершает перемещение dr  v dt .

просуммируем все малые перемещения, т. е. проведём интегрирование по времени:tr  r0   v t  dt .(1.1)0Здесь r0 – начальный радиус-вектор, т. е. радиус-вектор движущейся материальной точки в начальный момент времени.Выражение (1.1) можно записать и в координатной форме.22Лекция 21.2.3. Кинематические параметры (продолжение)3. УскорениеУскорение – векторная величина, характеризующая скорость изменения скоростиматериальной точки.Среднее ускорение:Δv;Δtмa   2 .сa Мгновенное ускорение:Δv d vd2 r v  vt   2  r  rt  .Δt 0 Δtdtdta  limМгновенное ускорение в проекциях на оси декартовой системы координат:d vx d 2 xa 2, xdtdtdv y d2 y 2 , a  ax i  a y j  az k .a y dtdtd vz d 2 za; zdt dt 2Обратная задачаДано a  t  , найти v  t  и r  t  .tt00v  v0   a  t  dt , r  r0  v0t   a t  dt .Здесь v0 – начальная скорость, r0 – начальный радиус-вектор.

Эти выраженияможно записать и в координатной форме.ПРИМЕР РЕШЕНИЯ ОБРАТНОЙ ЗАДАЧИ91) Равномерное движение: v  constta  0 ; r  r0   vdt  r0  vt .0В этом разделе не приводится пример расчёта скорости, ускорения, модуля радиуса-вектора ит. д. из-за нехватки времени. Простые примеры на эту тему следует рассмотреть на практическихзанятиях.9232) Равноускоренное движение: a  consttt00v  t   v0   adt  v0  at ; r  r0   v0  at dt  r0  v0t at 2.21.2.4. Криволинейное движениеt1При описании движения материальной точки по криволинейной траектории удобноввести систему координат, связанную с траекторией материальной точки (воспользоваться естественным способом описаниядвижения).τ1t21n12Орты этой системы координат: τ – единичный вектор, направленный по касательной ктраектории по направлению движения материальной точки; n – единичный вектор, направленный по нормали к траектории в сторону её вогнутости (см.

РИС. 2.1).Разложим векторы скорости и ускорения по осям естественной системы координат:Рис. 2.1v  vτ τ  0n  vτ ;a  aτ τ  an n .(2.1)Но, по определениюd v dvdτ(2.2) τv .dt dtdtРазберёмся, чему равны слагаемые в формуле (2.2). Любую кривую в любой еёточке можно представить как дугу окружности радиуса ρ – радиуса кривизнытраектории (РИС. 2.2).aρΔαΔlOΔαρРис. 2.2Δl  ρΔα ; Δτ  τ2  τ1 , Δτ  τΔα ⇒ΔlΔl⇒ Δτ  , Δτ  n 10.ρρvvdl dτ dln n.При Δt → 0 dτ  n ,dt ρdtρρПодставляя эти выражения в (2.2) и сравнивая с (2.1), получимv2dvv2dva  τ  n ; aτ , an ; (2.3)dtρdtρaτ – тангенциальное (касательное) ускорение, an – нормальное (центростремительное) ускорение;a  aτ2  an2 .10Следует помнить, что на рис.

2.2 угол Δα мал. При малом Δα Δτ практически параллелен n .241.3. Кинематика твёрдого тела1.3.1. Виды движения1. Поступательное движение – движение, при котором все точки тела движутся в параллельных плоскостях так, что прямая, соединяющая любые дветочки этого тела, перемещается параллельно самой себе.2. Вращение вокруг неподвижной оси (вращательное движение) – движение,при котором все точки тела движутся по окружностям, лежащим в параллельных плоскостях, таким, что центры этих окружностей лежат на одной прямой,называемой осью вращения.3. Сферическое движение (вращение вокруг неподвижной точки) – движение, при котором все точки тела движутся по сферам, центры которых находятся в одной точке, называемой центром вращения.4.

Плоское движение – движение, при котором все точки тела движутся в параллельных плоскостях.Плоское движение = поступательное движение + вращательное движение (см.разделы 1.7.1 и 1.8.1).5. Другие случаи – сложное движение11.Демонстрации: 1) Поступательное и вращательное движение2) Искры от точила3) Циклоида4) Гироскоп12Введённых нами ВЫШЕ кинематических величин недостаточно для характеристики движения твёрдого тела (кроме поступательного).1.3.2.

Угловые кинематические параметрыВведём величины, характеризующие вращательное движение твёрдого тела в целом, а не отдельных его точек. Такие величины будут аксиальными векторами.Векторыполярные(истинные)имеют точку приложения,,,аксиальные(псевдовекторы)не имеют точки приложения,,,(Здесь F – сила, p – импульс, M – момент силы, L – момент импульса.)1. Угловое перемещениеПусть твёрдое тело вращается вокруг оси z. Точка A этого тела находится на расстоянии r от оси вращения (РИС. 2.3).

За некоторое время тело повернулось так,что точка A переместилась по дуге окружности радиуса r в положение A . ПриНа практических занятиях рассматривается поступательное движение, вращение вокруг неподвижной оси и плоское движение. Сферическое движение и общий случай сложного движения и влекционном курсе будут затронуты мало.12 Движение гироскопа демонстрируется не как пример выполнения закона сохранения моментаимпульса, а лишь как пример сферического движения твёрдого тела.1125этом отрезок OA (точка O – центр окружности, по которой движется точка A) повернулся на угол Δφ.Это движение характеризует вектор углового перемещения Δφ k ( k – орт осивращения z). Векторная величина Δφ вводится лишь для малых угловых перемеzщений.

Направление Δφ выбирается по правилуправого винта.Можно записатьΔφ  Δφz k ,Δφz ≷ 0.Любой поворот твёрдого тела можно характеризовать скалярной величиной – углом φ. Можно задатьзакон вращательного движения твёрдого телаφ  φ t  .OЕдиница измерения углового перемещения в СИ[φ] = рад (радиан – безразмерная величина);Aπ1 рад . (При проведении численных расчё180Рис. 2.3тов следует обращать внимание на единицы измерения углового перемещения!)rΔφ2. Угловая скоростьУгловая скорость – векторная величина, характеризующая быстроту и направление вращения;ωdφрад 1с .; ω dtс3.

Угловое ускорениеУгловое ускорение – векторная величина, характеризующая быстроту и направление изменения угловой скорости;dω d 2 φрадε 2 ; ε   2  с2 .dt dtсПри вращении вокруг неподвижной оси Δφ ω ε k ( k – орт оси вращения); знаки проекций этих векторов на ось вращения могут быть различны.4. Частота вращенияЧастота вращения – скалярная положительная величина, характеризующаябыстроту вращения, равная числу оборотов тела вокруг оси вращения за единичный промежуток времени;νωоб 1с .; ν  2πс265. Период вращенияПериод вращения – скалярная положительная величина, характеризующая быстроту вращения, равная времени, за которое вращающееся тело совершает одинполный оборот вокруг оси вращения;T1 2π; [T] = с.ν ω1.3.3.

Связь между линейными и угловыми кинематическими параметрамиПусть твёрдое тело вращается вокруг оси z с угловой скоростью ω и ускорениемε . Точка M отстоит от оси вращения на расстояние r; её скорость равна v(РИС. 2.4А).zΔSt + ΔtΔφrz⊙⊗MOtаMбРис. 2.4(Значки ⊙, ⊗ на РИС. 2.4 означают направление вектора, перпендикулярногоплоскости чертежа – соответственно «на нас» и «от нас».)За время Δt точка M переместилась в положение M  по дуге длиной ΔS (РИС. 2.4Б).Тело за это время совершило угловое перемещение Δφ;ΔS rΔφ ω r,ΔS  rΔφ , v ΔtΔtгде ω – среднее значение модуля угловой скорости за время Δt. При Δt → 0v  ωr ,а соответствующее векторное равенствоv  ωr (2.4)(направление можно проверить по РИС. 2.4А). Здесь квадратные скобки означаютвекторное произведение векторов.

Характеристики

Список файлов лекций