1598082982-ec6eac7a67110b7411640c3bff1b0d60 (Конспект лекций по физике в электронном виде (2015)), страница 13

6.9центральной силы F (силовой центр – точкаO) от точки 1 к точке 2 по траектории l (РИС. 6.9).Работа силы F222111lBα2A12   Fdl   Fdl cos α   Fr dr .Эта величина может зависеть только от r1 и r2, поэтому центральное поле потенциально.

Потенциальная энергияЭто выражение не является определением потенциальной энергии, как ошибочно полагаютмногие студенты.2763Wп 0Wп Fr  r  dr .(6.2)rЧастный случайГравитационное поле (см. РАЗДЕЛ 1.4.5)Пусть материальная точка массы m находится вгравитационном поле тела массы M на расстоянииmr от его центра масс (РИС. 6.10).

По закону всемир- Mного тяготенияGMmРис. 6.10Fr  r    2 ,rG – гравитационная постоянная. Положим начало отсчёта потенциальной энергиив бесконечно удалённой точке: Wп(∞) = 0. Согласно (6.2),GMmGMmGMmWп    2 dr .rr rrr1.8.5. ГрадиентИз определения потенциальной энергииdWп  dA  Fdl ⇒ F  dWпdl.Это записывается какF  Wп   gradWп . – оператор «набла» – оператор векторного дифференцирования  картовых координатахd, в деdlij k ,x yz– частная производная функции трёх переменных x, y, z по x и т.

д.xГрадиент – произведение вектора  на скалярную функцию – векторная функция скалярного аргумента; в декартовых координатахWпWпWп(6.3)gradWп  Wп ijk.xyzНаправление градиента совпадает с направлением наиболее быстрого возрастания скалярной функции. Из II закона НьютонаF  ma ,⇒aFgradWп  gradWп (здесь a – ускорение материальной точки, m – её масса). Материальная точкаускоряется в направлении, противоположном градиенту потенциальной энергии.В точках, где grad Wп = 0, a  0 и материальная точка находится в положении рав-64новесия. Устойчивое равновесие имеет место в точках, соответствующих минимуму потенциальной энергии.ПРИМЕРДана зависимость потенциальной энергии материальной точки в некотором полеот декартовых координат: Wп = axyz, где a – постоянная. Найти силу, с которой поле действует на материальную точку, как функцию координат.Из (6.3) получимWпWп  WпF   gradWп   ijk   a yzi  xz j  xyk .yz  xВидно, что F  0 в любой точке на всех трёх осях декартовой системы координат –там имеет место равновесие (устойчивое при a > 0 и неустойчивое при a < 0).1.8.6.

Потенциальная энергия механической системыЕсли механическая система находится во внешних потенциальных полях, а такжевзаимодействие тел, входящих в эту систему, описывается потенциальными силами, то можно характеризовать состояние системы потенциальной энергией.Потенциальная энергия механической системы равна работе внешних и внутренних потенциальных сил при переходе системы из данной конфигурации вконфигурацию, где потенциальная энергия системы принята равной нулю (конфигурация системы – это совокупность координат тел (материальных точек), входящих в эту систему):Wп  AWп 0   AWп 0 .ПРИМЕРПотенциальная энергия системы двух гравитирующих телРассмотрим систему из двух тел массами M и m, взаимодействующих гравитационно. Расстояние между центрами масс этих тел равно r (РИС. 6.10).

Найти потенциальную энергию системы.Единственная сила, которая здесь учитывается, гравитационная сила - внутренняя и ПОТЕНЦИАЛЬНАЯ. Положим начало отсчёта потенциальной энергии в бесконечно удалённой точке: Wп(∞) = 0. Найдём работу гравитационной силы при удалении тела массой m (или тела массой M) в бесконечность. Она будет равна потенциальной энергии системыGMmGMmGMmWп  Ar    F  r  dr    2 dr ,rr rrrrздесь G – гравитационная постоянная.65Лекция 71.8.7.

Закон сохранения и изменения механической энергииРассмотрим механическую систему; тела, входящие в эту систему, претерпеваютвнешние и внутренние воздействия, описываемые потенциальными и непотенциальными силами, и конфигурация системы изменяется. Изменение кинетической энергии системы (см.

РАЗДЕЛ 1.8.3) равно сумме работ внешних и внутреннихсил:ΔWк  Ae п  Ae нп  Ai п  Ai нп ,где Ae п – сумма работ внешних потенциальных сил, Ai нп – сумма работ внутреннихнепотенциальных сил и т. п. Перенесём работу потенциальных сил в левую частьэтого равенства:ΔWк  Ae п  Ai п  Ae нп  Ai нп .(7.1)ΔWпВ левой части равенства (7.1) стоит сумма изменений кинетической и потенциальной энергии системы. Введём величинуW  Wк  Wп– механическая энергия системы – сумма кинетической и потенциальной энергии.

Соответственно левая часть уравнения (7.1) равна изменению механическойэнергии системы. Т. е.ΔW  Ae нп  Ai нп– закон изменения механической энергии системы: изменение механическойэнергии системы равно сумме работ внешних и внутренних непотенциальныхсил.Закон сохранения механической энергии: механическая энергия системы не изменяется с течением времени, если сумма работ внешних и внутренних непотенциальных сил равна нулю, а все внешние потенциальные силы стационарны (т.

е.не зависят явным образом от времени).Консервативные силы – потенциальные силы и непотенциальные силы, работыкоторых равна нулю.Диссипативные силы – непотенциальные силы, работы которых не равна нулю.При наличии взаимодействий, описываемых диссипативными силами, происходит диссипация энергии – переход механической энергии в другие виды энергии.Демонстрации: 1) Маятник Максвелла2) «Мёртвая петля»1.9.

Удар1.9.1. Абсолютно неупругий ударАбсолютно неупругий удар – удар, после которого соударяющиеся тела движутсякак единое целое.При неупругом ударе импульс системы соударяющихся тел сохраняется, а механическая энергия – нет. Происходит диссипация энергии.66Рассмотрим абсолютно неупругое центральное соударение двух шаров. (Центральное соударение – соударение, перед которым шары движутся по прямой, соединяющей их центры.) Массы шаров равны m1 и m2, их скорости до соударения –соответственно v1 и v2 (РИС.

7.1). Найдём скорость u шаров после удара.m1До удара:m2xm1 + m2После удара:Рис. 7.1Закон сохранения импульса:m1 v1  m2 v2   m1  m2  u .Спроецируем это равенство на ось x (вдоль направления движения шаров):m1 v1 x  m2 v2x   m1  m2  ux .Отсюда получимux m1 v1 x  m2 v2 x.m1  m2В этой формуле содержится информация о модуле и о направлении скоростей шаров; u  ux .Найдём долю η механической энергии, перешедшей во внутреннюю при ударе:ηΔWкWк1Wк1  Wк2W 1  к2 ,Wк1Wк1здесь Wк1 – кинетическая энергия системы до удара, Wк2 – после удара, ΔWк – изменение кинетической энергии при ударе;Wк1 m1 v12 m2 v22,22m1  m2  u2  m1  m2  m1 v1 x  m2 v2 x Wк2 222 m1  m2 2 m v  m2v2x  1 1x2 m1  m2 2, m1 v1x  m2v2x .η 1 m1  m2   m1 v12  m2 v22 2Если шары до соударения двигались в одну сторону, то v1x = v1, v2x = v2 иηm12 v12  m1m2 v22  m1m2 v12  m22 v22  m12 v12  2m1m2 v1 v2  m22 v22 m1  m2   m1 v12  m2v22 Если же шары двигались в разные стороны, тоm1m2  v1  v2 2ηПри v2 = 0 m1  m2   m1 v12  m2 v22 .m1m2  v1  v2 2 m1  m2   m1 v12  m2v22 .67ηm2.m1  m21.9.2.

Абсолютно упругий ударАбсолютно неупругий удар – удар, при котором соударяющиеся тела испытывают упругую деформацию.При абсолютно упругом ударе сохраняется и импульс, и механическая энергия системы соударяющихся тел.Рассмотрим абсолютно упругое центральное соударение двух шаров. Массы шаровравны m1 и m2, их скорости до соударения – соответственно v1 и v2 (РИС. 7.2).Найдём скорости u1 и u2 шаров после удара.До удара:m1m2После удара:m1m2xРис. 7.2Закон сохранения импульса:m1 v1  m2 v2  m1 u1  m2 u2 .(7.2)Закон сохранения механической энергии:m1 v12 m2 v22 m1u12 m2u22.(7.3)2222Спроецируем векторное равенство (7.2) на ось x (вдоль направления движения2шаров), преобразуем уравнение (7.3) (подставим v12  v1xи т.

п.) и запишем систему уравненийm1 v1 x  m2 v2 x  m1u1 x  m2u2 x ,2222m1 v1 x  m2 v2 x  m1u1 x  m2u2 x .Решим эту систему самым быстрым способом:m1 v1 x  m1u1 x  m2u2 x  m2 v2x ,2222m1 v1 x  m1u1 x  m2u2 x  m2 v2x ;затем разделим нижнее уравнение на верхнее и исключим u2x:v12x  u12x v22x  u22x⇒ v1 x  u1 x  v2x  u2x ⇒ u2x  v1 x  v2x  u1x ,v1 x  u1 x v2 x  u2 xm1 v1x  m1u1x  m2v1x  m2v2x  m2u1 x  m2 v2x ,m1 v1 x  m2 v1 x  2m2 v2x   m1  m2 u1 x ,u1 x  m1  m2  v1x  2m2v2x , um1  m22x m2  m1  v2x  2m1v1x .m1  m2(7.4)68Частные случаи1.

Упругое соударение шаров одинаковой массыПри m1 = m2 = m из (7.4) получимu1 x  v2x , u2x  v1 x .Соударяющиеся тела обмениваются скоростями.2. Удар шара об упругую плитуМасса плиты намного больше массы шара (m2 >> m1); в лабораторной системе отсчёта плита покоится (v2 = 0). Из(7.4) получим0 m1 1  v1 xmu1 x   2  v1 x (РИС.