1598082982-ec6eac7a67110b7411640c3bff1b0d60 (Конспект лекций по физике в электронном виде (2015)), страница 12

Кинетическая энергия вращательного движения твёрдого телаКинетическая энергия твёрдого тела, вращающегося вокруг неподвижнойоси, равна произведению момента инерции тела на квадрат его угловой скорости,делённый пополам:Wк Iω2.2ДоказательствоПусть твёрдое тело вращается вокруг неподвижной оси z с угловой скоростью ω(РИС. 5.6).

Разобьём тело на малые фрагменты массой Δmi. Вычислим кинетическую энергию по определению (6.1) (с учётом того, что vi  ωri  ):Wк  Wкi  Δmi vi2 1ω2Iω22  Δmi ω2ri2 Δmr i i 2 , ч. т. д.2224. Кинетическая энергия плоского25 движения твёрдого телаТеорема Кёнига: кинетическая энергия твёрдого тела, совершающего плоскоедвижение, равна сумме кинетической энергии поступательного движения этоготела, движущегося со скоростью, равной скорости центра масс тела, и вращенияМожно сформулировать эту теорему для общего случая сложного движения, если рассматриватьвторое слагаемое как кинетическую энергию вращения вокруг центра масс.2557тела вокруг оси, проходящей через центр масс тела перпендикулярно плоскостидвижения:mvC2 IC ω2Wк .22ДоказательствоПусть твёрдое тело массы m совершает плоское движение.

Разобьём тело на малые фрагменты массой Δmi. Вычислим кинетическую энергию тела по определению (6.1):Δmi vi2 1Wк  Wкi    Δmi vC  ui222,где скорость i-го фрагмента vi  vC  ui , ui – скорость этого фрагмента относительно центра масс тела (см. ВЫВОД ВЫРАЖЕНИЯ ДЛЯ МОМЕНТА ИМПУЛЬСА ТВЁРДОГО ТЕЛА, СОВЕРШАЮЩЕГО ПЛОСКОЕ ДВИЖЕНИЕ). Продолжим преобразования:1Wк 2vC2dρ 1 Δmi v  2 Δmi vC ui   Δm u  2  Δmi  vC  Δmi dti  2  Δmi ω2 ρi2 ,2C2i iздесь ρi – радиус-вектор i-го фрагмента, проведённый из центра масс, и ui ω – угловая скорость тела. Очевидно,mvC2d vC2dt Δm  m – массе тела. Далее:dρi;dtimvC2 IC ω2ω22Δmρ i i 2  2 , ч.

т. д.2IC0, т. к. точка C – центр масс1.8.2. Работа и мощностьРабота – энергетическая характеристика взаимодействия26;[A] = Дж.Wк  Δmi ρi 1. Элементарная работаЭлементарная работа равна скалярному произведению силы на элементарное(бесконечно малое) перемещение точки приложения этой силы (РИС. 6.1): dA  Fdl  Fdl cos F , dl  Fl dl .Вектор элементарного перемещения всегда направлен по касательной к траектории; Fl – проекция вектора силы на это направление.2. РаботаРабота равна сумме (интегралу) элементарных работ по траектории точки приложения силы:A   dA   Fdl   Fl dl .lllТак как работа – это характеристика взаимодействия, допустимо говорить «работа такого-тообъекта», т.

е. источника этого взаимодействия, и «работа силы», т. е. характеристики этого взаимодействия (первый вариант предпочтительнее); например, «работа гравитационного поля Земли» или «работа силы тяжести».2658Здесь l – траектория точки B приложения силы (кривая 1-2 на РИС. 6.1);Графический смысл работы: площадь под кривой Fl(l) равна модулю работы силыF по траектории l (РИС. 6.2).FlABlα10212Рис. 6.1lРис. 6.23. Работа при вращательном движении твёрдого телаПусть сила F приложена к точке B твёрдого тела, находящейся на расстоянии r отоси вращения z (РИС.

6.3А). Элементарная работа, которую совершает эта сила, когда тело совершает элементарное угловое перемещение dφdA  Fdl  Fdl cos α(см. РИС. 6.3Б).zO⊙z⊙rBr dφαBабРис. 6.3Модуль линейного перемещения точки B – длина малой дугиdl  r  dφ ;πdA  Fr cos α  dφ  Fr sin   α   dφ  Mz dφ ;2dA  Mdφ .4. МощностьМощность – энергетическая характеристика взаимодействия, равная скоростисовершения работы;[N] = Вт.59Средняя мощность равна отношению работы к промежутку времени, за которыйэта работа совершена:ΔAN .ΔtМгновенная мощность равна мгновенной скорости совершения работы – производной работы по времениNdA.dtПреобразуем это выражение с учётом определения элементарной работы:NdA FdlFv;dt dtN Fv ,где v – скорость точки приложения силы.1.8.3.

Теорема об изменении кинетической энергииИзменение кинетической энергии механической системы равно сумме работвнешних и внутренних сил:ΔWк  Ae  Ai .ДоказательствоРассмотрим материальную точку массы m, которая испытывает воздействие, описываемое силойF . Точка движется по кривой 1-2 (РИС. 6.4). Элементарная работа на перемещении dldA  Fdl .t1С учётом того, что dl  vdt , где v – скорость материальной точки, работа по перемещению точки потраектории 1-22t21t1mt21A   Fdl   F vdt ,2Рис. 6.4где t1 и t2 – моменты времени, в которые материальная точка проходит соответственно положения 1 и 2.По II закону Ньютона F  ma , а ускорение a t2t2v2dvmv2A   mavdt  m v dt  m  vd v dt2t1t1v1dv, поэтомуdtv2v1mv22 mv12 Wк2  Wк1  ΔWк22(здесь v1, v2 – модули скорости материальной точки соответственно в положениях1 и 2).Теперь рассмотрим механическую систему.

Для i-ой материальной точки, входящей в эту систему,Ai  Wк2i  Wк1i .60Просуммируем это выражение по всем точкам:A   Ai  Wк2i  Wк1i  Wк2  Wк1  ΔWк , ч. т. д.В этом доказательстве мы не делали никаких различий между внешними и внутренними силами и их работами, поэтому подразумевается, что A = Ae + Ai.1.8.4.

Потенциальная энергия материальной точкиПоле (в математике) – величина как функция радиуса-вектора (или координат).Задать силу как функцию радиуса-вектора материальной точки, воздействие накоторую описывается этой силой, значит задать силовое поле.Поле в физике – физический объект (см. РАЗДЕЛ 0.1 и, более подробно, 3.1.1).Поле потенциально (сила потенциальна), если работа поля при перемещенииматериальной точки по замкнутой траектории равна нулю (иначе говоря, циркуляция силы по замкнутому контуру равна нулю):A11  0 , Fdl  0 .LВ этом случае работа поля по перемещению материальной точки не зависит отформы её траектории, а зависит только от начального и конечного положенияточки.ДоказательствоПусть в потенциальном поле материальная точка пе32 ремещается из положения 1 в положение 2 сначала потраектории 1-3-2, а затем по траектории 1-4-2 (РИС.

6.5).Работа по замкнутой траектории 1-3-2-4-114A13241  0Рис. 6.5по определению потенциального поля. Но, согласноопределению работы,A13241  A132  A241  A132  A142 ⇒ A132  A142 , ч. т. д.Изменением потенциальной энергии материальной точки при перемещенииточки из положения 1 в положение 2 называется работа потенциального поля, совершаемая при этом перемещении, взятая с обратным знаком:пΔWп12   A12.Потенциальная энергия материальной точки – работа потенциального поляпо перемещению материальной точки в данное положение из точки, где потенциальная энергия принята равной нулю, взятая с обратным знаком:Wп 01Wп   A  пWп 0Fdl Fdl .1Физический смысл имеет изменение потенциальной энергии. Сама же по себе потенциальная энергия определяется с точностью до произвольной постоянной.При ответе на вопрос, чему равна потенциальная энергия, нужно обязательноуказывать, где выбрано начало её отсчёта (нулевой уровень).61ПРИМЕРЫ РАСЧЁТА РАБОТЫ И ПОТЕНЦИАЛЬНОЙ ЭНЕРГИИ1.

Работа силы сухого тренияПусть материальная точка B скользит по шероховатой плоской поверхности по траектории l,соединяющей начальную и конечную точки 1 и 2(РИС. 6.6). Сила трения F тр постоянна по модулю(Fтр = Fтр max, см. РАЗДЕЛ 1.4.5) и всегда направленапротивоположно элементарному перемещениюBl21Рис. 6.6dl , т. е. F тр , dl  π . Элементарная работаdA  F трdl  Fтрdl cos π  Fтрdl ,работа при перемещении из точки 1 в точку 2A    Fтрdl  Fтрl .lВидно, что работа силы трения зависит от длины траектории, соединяющейначальную и конечную точки, следовательно, сила трения не является потенциальной.2.

Работа силы упругостиПусть пружина жёсткостью k растягивается из состояния с деформацией x1 до деформации x2 (РИС. 6.7). В промежуточном положении x сила упругости F упр  kxi .Элементарная работа при увеличении деформации на dl  dxidA  F упрdl  kxi  dxi  kxdx ;полная работа при растягивании пружины от x1 до x2x2kx 2A    kxdx  2x1x2x1 kx 2 kx 2   2  1  .2  2dxk0x1xx2xРис. 6.7Эта работа не зависит от того, каким образом пружина переходит от деформацииx1 к деформации x2, значит, сила упругости потенциальна. Изменение потенциальной энергииkx22 kx12ΔWп12   A .22Положим начало отсчёта потенциальной энергии в положении недеформированной пружины: Wп(0) = 0; при этом потенциальная энергия деформированнойпружины62Wп kx 2.23.

Работа силы тяжестиПусть материальная точка массы m перемещаетсяиз точки 1 в точку 2 по траектории l (РИС. 6.8).Элементарная работа силы тяжести Fт  mg намалом перемещении dl1mh1dA  Fтdl  Fтdl cos α  Fтdh  mgdh(знак «–» появляется из-за того, что изменениевысоты отрицательно). Полная работаldhα2h20h2A    mgdh  mg  h2  h1  ,hРис.

6.8h1где h1 – высота точки 1 над нулевым уровнем, h2 – высота точки 2. Эта работа независит от формы траектории l, а определяется только высотой начального и конечного положений материальной точки массой m, следовательно, сила тяжестипотенциальна. Аналогично, любое однородное поле будет потенциальным.Изменение потенциальной энергииΔWп12  mg  h2  h1  .Положим начало отсчёта потенциальной энергии на нулевом уровне: Wп = 0 приh = 0, тогда потенциальная энергия тела массы m в однородном гравитационномполе (поле тяжести)Wп  mgh 27.4. Поле центральных силЦентральная сила – сила, модуль которойзависит только от расстояния от точки,называемой силовым центром, направленная вдоль радиуса-вектора, соединяющегоцентр силы с точкой приложения силы:1OrF  f r  .rПусть материальная точка B движется в полеРис.