1598082982-ec6eac7a67110b7411640c3bff1b0d60 (Конспект лекций по физике в электронном виде (2015)), страница 9

Знак «–» означает, что деформированное тело сопротивляется деформации – пытается восстановить форму.На РИС. 3.8 представлены разные типы деформируемых тел: А) пружина, Б) нить(сила натяжения T ) и В) опорная поверхность (сила реакции опоры N ).km0mабmвРис. 3.8(На РИС. 3.8 m – масса груза, 0 – положение недеформированной пружины.)Сила реакции опоры всегда направлена перпендикулярно опорной поверхностиот неё, а сила натяжения – вдоль натянутой нити от натягивающего её тела.Вес тела – сила, описывающая действие тела на опору или подвес; по модулю равен силе упругости (по III закону Ньютона P  T или P  N ).Природа упругости – в межмолекулярном, т.

е. электромагнитном взаимодействии (см. РАЗДЕЛ 0.3), однако, при изучении механики это для нас не имеет значения.Демонстрация: Динамометры3. Сила сухого тренияСила трения – составляющая силы взаимодействия соприкасающихся тел, параллельная поверхности их контакта (РИС. 3.9А).

Наличие этой составляющей обусловлено неупругими деформациями тел.Мы рассматриваем сухое трение, т. е. обе соприкасающиеся поверхности являютсятвёрдыми (в смысле агрегатного состояния; вязкое трение рассматривается вРАЗДЕЛЕ 2.9.2).Закон сухого трения (закон Кулона):34Fтр max  μN ,где Fтр max – максимальное значение модуля силы трения – сила трения скольжения, N – модуль силы реакции опоры, µ – коэффициент трения – безразмерная величина, зависящая от материала и состояния соприкасающихся поверхностей.

Направлена же сила трения скольжения всегда против скорости тела относительно опорной поверхности.FтрµNm0аµNFбРис. 3.9График зависимости модуля силы трения от модуля силы F представлен наРИС. 3.9Б. До тех пор пока F < µN, тело покоится относительно опорной поверхности, а F = Fтр (наклонный участок на графике). При F ≥ µN тело начинает скользитьи Fтр = Fтр max = µN.Демонстрация: Сила тренияТрение также имеет электромагнитную природу.1.4.6.

Кинематические связиКинематическая связь – ограничение, накладываемое на движение тела.1. Координатная связьКоординатная связь – ограничение, накладываемое на координаты точек и ихпроизводные при движении тела.ПРИМЕРТело скользит по горизонтальному рельсу.Перемещение, скорость и ускорение тела должныбыть направлены вдоль рельса (РИС. 3.10):r  xi ; y , z  0 ;xv  vx i ; v y , vz  0 ;Рис. 3.10a  ax i ; a y , az  0 .2.

НитьПри решении многих задач нити полагаются невесомыми и нерастяжимыми.а) Невесомая нитьВо всех точках нити модуль силы натяжения одинаков:T  const .35ДоказательствоРассмотрим участок натянутой нити 1-2(РИС. 3.11). По условию невесомости масса этогоучастка Δm = 0.

Участки нити, находящиеся по обестороны от данного участка, действуют на него ссилами T1 и T2 .Δm = 012Рис. 3.11Применим к этому участку нити теорему о движении центра масс:Δma  T1  T2 ⇒ T2  T1 ⇒ T1  T2 , ч. т. д0б) Нерастяжимая нитьМодуль скорости всех точек нити одинаков:v  const .ДоказательствоБудем отсчитывать координаты точекнити по её длине от некоторой точки(например, одного из концов нити).

Рассмотрим участок нити 1-2 (РИС. 3.12). Координата точки 1 равна l1, координататочки 2 соответственно равна l2 По условию нерастяжимости длина этого участка должна оставаться постоянной:Δl = l2 – l1 = const.Модули скоростей точек 1 и 2dldlv1  1 , v2  2 ;dtdt21Рис. 3.12dl2 dl1 d  l2  l1  0 ⇒ v2  v1 , ч. т.

д.dt dtdt0Из этого следует, что равны и тангенциальные ускорения всех точек нити:aτ 2  aτ1 .v2  v1 1.4.7. План решения задач по динамике171. Выбор объекта исследования и его модели: материальная точка, твёрдое тело,механическая система (указать, какие тела в неё входят)2. Выбор системы отсчёта (в большинстве случаев – лабораторная)3. Рисунок (или несколько рисунков)4. Определение воздействующих объектов. Расстановка обозначений на рисунке:сил, ускорений и т. д.5. Запись II закона Ньютона (теоремы о движении центра масс) в векторнойформеАналогичный план подходит и для решения задач по динамике вращательного движения, в т. ч.с использованием законов сохранения. Различия – в законе, на котором основано решение задачи.Подробное обсуждение этого плана и обучение решению задач проводится на практических занятиях.Пример решения задачи по динамике рассматривается на СЛЕДУЮЩЕЙ ЛЕКЦИИ .17366.

Выбор системы координат (можно вводить разные системы координат дляразных тел)7. Запись закона в проекциях на оси системы координат8. Подсчёт числа уравнений и числа неизвестных. Запись дополнительных уравнений (другие законы, уравнения связей и т. п.)9. Решение полученной системы уравнений в общем виде10. Анализ результата и проверка размерностей1811.

Численный расчёт и оценка его результата1.4.8. Импульс. Другая форма II закона НьютонаПреобразуем выражение II закона Ньютона:ma  F dvd v  ⇒ m dt  F ,adt   Fd mv(3.5)dt– II закон Ньютона в дифференциальной форме.В этом выражении под знаком дифференциала стоит векторная физическая величина, характеризующая инертность и движение тела – импульс материальнойточкиp  mv ; p Из (3.5) получимкг  м.с d mv  Fdt ,Fdt – импульс силы. II закон Ньютона можно сформулировать так: изменениеимпульса тела равно импульсу силы.По определению, импульс механической системы равен сумме импульсов тел(материальных точек), входящих в эту систему:P   pi .Импульс механической системы равен произведению массы M системы на скорость vC её центра масс:P  M vC .ДоказательствоИсходя из определения импульса механической системы,P   pi   mi vi   mi18dri d  mi ridt dtРекомендуется контролировать размерности в течение всего решения задачи.37(см.РИС.

3.4)19,vi – скорость i-ой материальной точки. В обозначениях этого ри-сунка ri  rC  ρi . Поэтому0, т. к. точка C – центр массdrdPmi rC   mi ρi    mi  C  M v , ч. т. д.dtdtПреобразуем выражение теоремы о движении центра масс:eMaC  F ⇒ Md M vCeed vCF ,F ⇒dtdtedPF .dteЕсли система замкнута, то F  0 иdP 0 ⇒ P  constdt– закон сохранения импульса механической системы: импульс замкнутой системы остаётся неизменным с течением времени.На самом деле закон сохранения импульса не выводится, а следует из свойствпространства-времени (см.

РАЗДЕЛ 1.1.2).Более подробно закон сохранения импульса будет рассмотрен в ПАРАГРАФЕ 1.6.19Разумеется, в «живой» лекции этот рисунок нужно сделать заново.38Лекция 41.5. Динамика вращательного движения твёрдого тела1.5.1. Момент силыМомент силы20 – векторная (псевдовекторная) величина, характеризующая взаимодействие тел.1. Момент силы относительно точкиМомент силы относительно точки:M  rF  ;A ⊗точка, относительно которой определяетсямомент – полюс; M  rF sin r , F ;M  OНм .Рис.

4.1На РИС. 4.1: O – полюс, A – точка приложениясилы; r и F лежат в плоскости рисунка, M перпендикулярен плоскости рисунка.2. Момент силы относительно осиМомент силы относительно оси:M  rF  k ,z(4.1)вектор21 момента силы относительно оси всегда направлен вдоль этой оси;направление определяется по правилу правого винта.Один из способов определения момента произвольно направленной силы относительно оси показан на РИС. 4.2. На этом рисунке изображено трехмерное твёрдоетело и вектора и линии, лежащие в трехмерном пространстве. Здесь z – ось, относительно которой рассчитывается момент силы; k – орт этой оси; A – точка приложения силы F ; плоскость xy – плоскость, проведённая через точку A перпендикулярно оси z; O – точка пересечения плоскости xy с осью z, т. е.

ближайшая к точке приложения силы точка на оси; радиус-вектор r восстановлен из точки O вточку приложения силы; F xy – проекция вектора силы на плоскость xy; M  rF sin r , F xy .Можно пользоваться не этим способом, а напрямую определением (4.1). Тогда r –это радиус-вектор, проведённый из любой точки на оси в точку приложения силы.Следует обратить внимание студентов на то, что момент силы, а также момент инерции и момент импульса всегда определяется относительно какой-либо точки или оси.21 В большинстве курсов общей физики момент силы, момент импульса относительно оси, а такжекинематические величины, характеризующие вращение вокруг неподвижной оси, вводятся какскалярные алгебраические величины.

В нашем же курсе это аксиальные векторы.2039zDhAOxyРис. 4.2Плечо силы – это скалярная величина – кратчайшее расстояние от оси до линиидействия силы (отрезок OD = h на РИС. 4.2); h  r sin r , F xy , M  hFxy .Если линия действия силы F лежит в плоскости, перпендикулярной оси z (т. е.F  F xy ), то получим соотношение, известное из школьного курса физики: M = hF.1.5.2. Основное уравнение динамики вращательного движенияПусть твёрдое тело вращается вокруг неподвижной оси zz(с угловой скоростью ω , угловым ускорением ε ). Разобьём тело на элементарные (малые) фрагменты массамиΔmi (рис. 4.3); расстояние каждого фрагмента от оси вращения равно ri. Запишем II закон Ньютона для i-го фрагмента:eiOiΔmi ai  Fi   F ki .(4.2)k iΔmieЗдесь ai – ускорение i-го фрагмента; Fi – главный векторвнешних сил, с которыми другие тела действуют на i-ыйiфрагмент; F ki – внутренняя сила, описывающая действиеk-го фрагмента на i-ый фрагмент.Рис.

4.3Умножим равенство (4.2) на ri слева векторно:eiΔmi ri ai   ri Fi    ri F ki  . k i (4.3)eeВ правой части этого уравнения ri Fi   Mi – главный вектор момента внешнихiiсил, приложенных к i-ому фрагменту;  ri F ki    M ki – сумма моментов внут k ik i ренних сил, приложенных к нему же.40Преобразуем векторное произведение в левой части уравнения (4.3), используявыражение для ускорения материальной точки (2.5)ai  εri   ω ωri   .Для этого воспользуемся известной из векторного анализа формулой двойноговекторного произведения   0, т. к. r  εr   r ω  ωr   r ω   εr  ω r r   εra bc    b ac  c ab :  ri ai   r i εri    ri ω ωri     εri2           2iiiii22ii ii2.Подставляя этот результат в (4.2), получимeiΔmi ri2 ε  Mi   M ki .k iПросуммируем эти равенства по всем фрагментам твёрдого тела – по i: Δm r2i iieiε   Mi   M kiik ii0(равенство последнего слагаемого – суммы моментов всех внутренних сил – нулюстудентам следует доказать самостоятельно),eε  Δmi ri2   Mi .iiСумма в левой части этого равенства не зависит от взаимодействий, а определяется только геометрией тела и расположением оси вращения.

Введём величинуI   Δmi ri2(4.4)i– момент инерции тела относительно оси. ПолучимIε  M– основное уравнение динамики вращательного движения. Здесь M – главныйвектор моментов внешних сил.Основное уравнение динамики вращательного движения можно записать и относительно подвижной оси, проходящей через центр масс тела (доказать самостоятельно).Демонстрация: Момент силы1.5.3. Момент инерцииЕсли в определении (4.4) положить Δmi → 0, то момент инерции тела относительно осиMI   r 2dm ; [I] = кг·м2.0Момент инерции – мера инертности тела во вращательном движении – скалярная физическая величина, зависящая от формы и размеров тела. Момент инерции– аддитивная величина.Момент инерции тела относительно точки:41MI   r 2dm ,0где r – расстояние от полюса до элемента dm; M – масса тела.Момент инерции тела относительно оси:MI   r 2dm ,0где r – расстояние от оси до элемента dm.ПРИМЕРЫ РАСЧЁТА МОМЕНТА ИНЕРЦИИ1.