kolmogorov-gdz-10-11-2008 (Алгебра и начала математического анализа 10-11 класс - Колмогоров), страница 46

2 нн. ° - Л:7:!л-т ° (*+ -7Д-Тн = Б: °: (е.*::З. .,Р. °:... ее: ° .Р+) г — 3 ~ = 2. Решением этого уравнения является промежуток 1 С!С 3. Вернемса к старой неизвестной х. Имеем: 1С,(х-2 С 3. Возведем все неотрицательные части неравенства в квадрат. Знак неравенства прв атом сохраняется: 1зх-24 9. Ко веем частям неравенства прибавим число 2 н получим: 3 < х с 11. 'Ягййг: (3; 1Ц. --"'в-ч Ре-*(> е' Ф-«ьл>' Ф л(>'). ° ! «(2 — х) > 0 )х 2)( !)хз> О, т.к. подкоренные выРажепна Радикалов чет- ной степени должны быть неотрицательными. Решеняе первого неравенства Оцхс2, решение второго неравенства: хс-1, х О, х з 2.

Таким образом, ОДЗ уравнения состоит из двух точек: х = 0 н х = 2. Теперь проверим, являются ли зги точки решением даяного уравнения. При х=О получаем: Я+ Лен(0+ ~/2 ° 6 =2 (не 264 Гхиеа б. Задачи лаем!иеннаи и днасми верное равенство), поэтому х = 0 не корень уравнения. Для «= 2 имеем! ч(0 — ч(0+ х(0 +,/4 ° 8 = 2 (верное равенство). Следовательно, х = 2 — единственное решение данного уравнения. Пупам! 2. 1493) Легко правернттн что .т= 1 не является корнем уравнения ч)(х + 1) + 2 ~~(х — 1 = 8фх — 1) . Повтаму разделим все члены чг уравнения на 4 (х-1) . Получим: т ~ ~ + 23( — 8 = О и вве~Цх-1 х — 1 3 ~х ° 1 дсм новую неизвестную ! = ( — . Имеем квадратное уравнение .х - 1 22+ 2! — 8 = О, карпи которого 1, - 2 и ! - — 4. Вернемся к неизвестной х.

Получаем уравнения. З «41 х+ 1 9 а) ( =2 илн =8 или х+ 1=8«-8, откуда х- —. х. — ! т' 3 ««41 х+1 б),! — - -4 или — = — 64 или х+ 1 — 64х+ 64, откуда тх — 1 — 1 63 х= —. 63 9 63 йтйсг: —, —. Т 63 151а) В ЛЕВОЙ Чеетн ураВНЕНИя "!24 » + ч "" = — ~~/» Прнх 12 3 ведем дроби к общему знаменателю; ( ) — "'4 т(х или ч!г (!г+ ) 12« 3 тг —— Тг 4 1 912+»(12тх)=256«ух или (12+«)*=256х'. Возведем обе част т ти уравнения в степень —.

Имеем: (12 ах) = 255" (х) или (12-1- х(- 3 тг = 128( х(, тогда 12 + х = 128х (откуда х = —, ) и 12 -! х = -128х (отщт 12 4 12 4 куда х = — — — — ). Отщт:— 129 43 12Т 43 1543) ОДЗ неравенства т(х — Зх+ 2 > 2« — 5 задается условием хг — 3«+230. Решение этого неравенства хб(; 1)0[2! ).

теперь надо рассмотреть два случая. а) Если 2« — 5 < 0 (т.е, х с 2,5), то леван часть неравенства нсатрицательна, в правая отрицательна. Позтому данное неравенство выполняется. С учетом ОДЗ решение неравенства в атом слу тае х 0 ( ; 1) О [21 2,5). Глава 6. Задачи навчиивнназ т днагти Поэтому имеем диаграмму знаков зтио выражения. Видна, что реше- ние данного неравенства совпадает с его ОДЗ х Е [ ' О~ '-' '(О' ()ЗЬШ ~--10)чи(01 -~ (з~~+ 26 + э/» у+ 2 3 160а) Для решения системы ~ введем (Зх + у = 7 новые неизвестные а з х+26 и Ь з/х-6+ 2. 7огда первое уравнение имеет вид а+Ь 3.

Возведем переменные а и Ь в куб: а = х+ 2у н Ь = х — у+ 2 и сложим эти равенства: аз+ Ь = 2т+ ту+2, откуда 2х+6 аз+Ьз — 2. Тогда второе уравнение имеет Внлч аэ+Ьз-2 7 нли аз+ Ьз-9. данная система принимает вид а -Ь=З з з . Из первого уравнения выразим Ь-3 — а и подставим а +Ь =9' во второе: аз + (3 — а)з - 9 нли ал Е 27 — 27а + Заз — аз - 9 или 9аз— -27а+!8-0 или аз — За+ 2-0. Корин этого уравнения а, = 1 (тогда Ь, 3 — а-2) и а -2 (тогда Ь -1). Вернемса к старым неизвестным х и у.

Получаем две системы, используя соотношения х + 26 = аз и х — р + 2 = Ьа. (хийу=) (х + 26 = 1 а) )х +2 8 илн '(х у 6 . Вычтем Уравиениа и полу- З 13 чим13у=-5, откуда у= — — и х =у+ 6 = —. э з' )и+26=8 (х+2у=8 б) 1х 2 1 или ( 1. Вычтем уравнения и найдем: Зу - 9, откуда р - 3 н х - у — 1 - 3 — 1 = 2. Я71мт: ~ —: — — ~, (2; 3). Еи и+и з — +, — =— 1616) В системе 1" + э з з" з сначала рассмотрим пер. ну †-У=О Ен зое уравнение. Введем неизвестную 1- ~ — и запишем уравнен чг 1 3 нне в виде: 1+ — = - нли 21з — 51+ 2 О. Корни етого уравнении з 2, У сечение, «е ненстни и системы 1 1, - 2 и ! — †. Вернемся к старым неизвестным х и у.

Получаем: 2 б» ах Гб.с ! бх 1 — =2 или =4 или х=23 и ! = — или = — нли с з Нее с+у 2 хед у - 23х. Имеем две системы уравнений. )х=2у а) ( „„О. Подставим первое уравнение ва второе: 2ус— — 2у-у-0 илн у(2у — д) =О, откуда у, -0 (тогда х,=О) и у! —— 2 = — (тогда хз = 3). Однако решение х = 0 у = 0 не подходит по ОДЗ (деление иа нуль). )у = 23х б) ( „х у О. Подставим пеРвое УРавнение во втоРое: 23хз — х — 232 = 0 или х(232 — 24) = О, откуда х 0 (не подходит) и 24 х = — (то!да у 24).

22 4 ПУщт: (3! -~, ~ —; 24~. 163а) При решении уравнения 3 4-2мп 2х = (3 х+ с(3 х от функций !йх и с!йх перейдем к функциям з!их и сов х. Получаем: еы» и с 1 3 + 2юп 2х - — '+ — или 3 + 2з!п ум- яли 3+ 2зш 2хиис тиссо .с 2 - —. Введем новую неизвестную ! = зш2х. Имеем уравнение: 2н 2 3 + 21 - — или 2!1+ 3! — 2 = О. Корни этого уравнения ! - -2 и 1 ! — —. Вернемся к старой неизвестной х. Получаем уравнения: 2 2 1 ып.2х= — 2 (решений не имеет) и з!п22= — (решения 2х= 2 ! „е г. н =( — 1)" шсз!п — +ни =( — 1)"- — + хи их=( — 1)" ° — ' + — я, где л Е з). 2 б 12 2 е е ьнтн: (-1)".

— + — и, где и 6 х. !2 2 164а) В уравнении ~ х) з!п.т 4- х = 0 раскроем модуль. рассмотрев два случая. а) Если х Э О, то ) х ) = х и уравнение имеет вид: х з!и х + х = 0 или х (зш х + 1) = О, откуда х = 0 и з!п х -1- 1 = 0 (или з!п х = — 1). Ре- шим зто уравнение: х = — — + 2нн. Учтем, что х Э О.

поэтому л 6 Дс. 2 б) Если х < О, то «) — «и уравнение имеет зкд! — хз!п х + х =. О. Так как х и О, то разаелим все члены урзвнениа на х: -з!и х + 1 = 0 Глпап З. Опдпа» пппмпмлпав и «асм« или ап х - 1. Решепыя этого урвзиеыия х — + 2лй, где й Е з. Уч- 2 тем. что х < О, поэтому решение запишем в виде х- — — 2лл, где з л ЕМ. (2!2!ЗХ: 0; — + 2кл; — — 21щ, ГдЕ л Е М.

в в 2 ' 2 г ! !» па-в 164г) ОДЗ урэввеыия !( = Ип- шдзптая уалозкямив г ) 2 хЗО и -хЗО, откуда х О. ОДЗ даыыого уравнения состоит из едивсгвепкой точки х=О. Легко проверить. что х 0 — корень дэывого урввыеыия. Ядах: О. 16бв) Для решения уравнения 3(1об 61П х)2 Е !об (1 — соэ 2х) 2 иепользуем формулу поиижеыия етепени: 3(1обзэ!их)1+ +1об (2в1пзх)-2 пли 3(1об э!пх)2+1+2!об 61пх 2 илп 3(1об з1лх)2+2!об э1пх — 1-0. Введем ыовую иепзвеатвую 1- )обзЗШ Х.

Получвем квадратное уревкеыие 322+ 21 — 1-О. кор- 1 ыи которого 1 — 1 п 1 = —. Верыемая к старой веиззеатвой х. Имеем уравнения. 1 з) 1об з!и х - -1. тогда звп х 2 ' —, его решения х = 2 г' ! и (-1)вЗГСБ(П- + ПЛ (-1)" ° — + ЗЛ, ГДЕ Л В 2. 2 6 1 згб) 1обв э!их - —. тогда э!и х - 2 = ч2 > 1 и зто уравнение решез' ний ые имеет. Яхвзх: ( — 1)" ° — + кл, где л е 2.

6 1666) Используем формулу для косыыуаа двойного аргумента: ~а~а~па 1~ — в1п* ~Щ в~п $ в ! 26 ватель этой дроби ыз созз —, Имеем соэ а 2 ~'6 в1п'Я ! „22п аавв 2 аав у ()2222: доказано 167а) Для решеывя уравнения з!и 2х+ (бх-2 исыользуем ре- 212 в эуюавтм момчи 166о. Получаем! — е 16 х - 2 или 226 х+ 16 х + 1+ 16*в + (62 Х 2 + 2262 Х ИЛИ тбэ х — 2(62 Х т 3!6 х — 2 О. Введем новую веиз- ' 2.

У авиение, ие земство и система весгаую ! - (б х и получим кубическое уравнение; гз — 2П 4- 3! — 2 = О. Разложим сто левую часть на множители: (!З вЂ” 2!2+ !) + (2! — 2! = О нли !(! — 1)2-»- 2(! — 1] = О или (! — 1) (!2 — ! 4- 2) = О. Произведение множителей равно нулю, если один из них равен нулю. Имеем уравнения ! — 1 = О (корень ! = 1) и !! — ! 4- 2 = О (решений нет). Вернемся к старой неизвестной х.

Получаем уравнение: (б х = 1, откуе е да х - — 4- ки (где л е 2). ()22ат: — + лл, где л е 2. 4 4 1ОВ) Вырзжение аяш х 4- Ьсоа х умножим и разделим на ~аз»- Ье. Получаем: аз!пх+Ьсозх= ба +Ь !юпх +свах. Ь ~~~ »ь и»Ь в Ь Обозначим -1; -; = осе»р и -г,— —;. -я!пзь Очевидно, вто можно !а»Ь га»» Ь сделать, т.к. выполнено основное тригонометрическое тождество: а' Ь» е»»Ь» сояз»р ч-юпз»2-,, + —,, = —,, = 1.

тогда лвниос выражеа'»Ь а»Ь и»Ь кис имеет вид: !~а тбз (махсоя(»тожхв!И»2)=»(аясб яш(х+»)) = = Аюп (х +»р), где А = !(а + Ь, сов»р = — г; — „. и юп»р = -т;=- " . га' » Ь" Щййх: докыано. 170) Уравнение,/2 (з»п х+ соз х) = 12 х+ с(бх аяпишем в виде: иие с е ! ь/2 (я1п х+ соя х) = -» илн,/2 (а!и х+ соя х) = севе вше в»ее»е Для решения итого симметричного уравнения введем новую неизвестную 1 = мп х "; соя х. Возведем зту величину в квадрат: 12 = аше т + 281пхсоях+о!я х или 1 =(я!и х+соз х)+ 2Б!п хссах или »' — ! = 1.+ 2юп х соя х, откуда з!и х соа х = — . Тогда уравнение имеет 2 вид: 22! = — или»/212 — »/2! — 2 = О. 1'азлажим левую часть 2 » — 1 кУбического УРавнениа ка множители: ( /2 !з — 2ч)2 !) + (42 ! — 2) = О нлн т!2!(!2-2)+ /2(! — /2)=О или»/2!(! — »/2)(1ЬЛ)тЛ(!— — »/2)-О или»/2(! -»/2)(!2т !»/2 4- 1) = О.

Произведение множите. лей равно нулю, если один нз них равен нулю. Получаем уравнения: ! — /2 = О (корень ! = /2) н !ее !»/2+ 1 = О (решений нет). Вернемся к старой неизвестной х. Имеем: 2я!их сов х = юп 2х = е =!2 — 1=2-1 1. Решим уравнение я!п2х=1, откуда 2Х- — ' 2 е + 2кл н х = — + кл. так нак находилось !2 (использоватось возвсдс- 4 ыо Глаза б.

Задачи асэмшгэиои т ности аие в квадрат), то возможны постороняие решениа. Проверка показывает, что и должно быть четным числом, т.е. л - 2м. фогда решения данного уравнения х - — + 2кгп, где т Е г. 4 э Ятйзг! — + югж, где ш Е з. э 1726) Для решения уравнения а1п'сох+ соек"'х 1 выполним оценки юпнв х э ашз х (раненство имеет место только при з!и х = О; а1) и с!и!го«асса!« (равенство будет только при сов х О; 1). Сложим неравенства одного анака.