kolmogorov-gdz-10-11-2008 (Алгебра и начала математического анализа 10-11 класс - Колмогоров), страница 49

Тогда ис- 1 1 1 комая площадь Я = 2 12 — = 24-. 92322: 24 — . 6 3 з' 27661 Построим фигуру, ограниченную линиями [у[ 2х — хз. Эта фигура симметрична относительно оси абсцисс. Верхная часть фигуры описывается функцией у - 2« — хз. Тогда площадь искомой фигуры 3 12 Я = 2) (2х — х ) 1(х = 2 х 2 2 1 1 8 2 =212 — — )=2 -=-=2-. 3) 3 3 3 Я23221 2-. г з' ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ ДЛЯ РЕ)ПЕНИЯ ЗАДАЧ АЛГЕБРА (7 — 9 классы) ь ЦРЕОВРАЗОВАНВЯ АЛГЕБРАЫЧЕСЕИХ ВЫРАЖЕНИЙ Для решения маогих задач нэ раэличаых раэделов математики веобходвмо выполнять алгебраические преобразования. Цель этих преобразований — эамена сложных н громоздких выражений более простыми н неглавными.

Напомним основные приемы н способы ореобреэований. Сзойстза стазеней е действительными иокааатезлжи а* з" э"~г (а ь>" ".ь* е*:аг л г (э")г = л*г Ю-$ Формулэг солрюаелвеге умножения аэ- Ьэ (э — Ы(а+Ы аэ- Ьэ (а- Ы(ээ+ аЬ+ Ьэ) аэ+ Ьэ (е+ Ы(еэ — аЬ+ Ьэ) (а+ Ь>э = лэ+ 2аЬ+ Ьэ (л — Ыэ = ээ — 2аЬ + Ьэ (а+ Ыэ = аэ+ ЗаэЬ+ ЗеЬэ+ Ьэ (л — Ыэ = аэ — ЗаэЬ+ Звйэ — Ьэ Иаюипдвиае аорвай миагочлюэе Миогочлеи одной перемевнон А а„х" + э,,л" '+ ...

а,х+ а (где л, а, ... э — некоторые коэффнцневты) легко разложить ва мно'ккгелн, если иэвасппа все коран х, х,, х„этого миогочлева, по формуле А э (х-х).....(х-х„). Свойства эиюулз чиаюг (вгаражеззз) )>)э(з(ЬЗ)(-а)=)э) З)(аГ=ээ,4) (аь( ~а) ~Ь(,5) !й (ь о). Воронь в-й епвюги и его свойства Для любых а > О, Ь> О, ватуралыюго з (л > 2) н целого Ь выполюпатся равенства: () Ф ь=",й Я 2> т~Л= /л(й>0); З): аэ =(;/е)', 4) ~)- = — (Ьеб) э„' ;lь б>Ф = Ф '(й О) осюшке фарахан ллл Згмшзз газет П. ФУНКЦИИ И ЕЕ СВОЙСП?А Пусть даны два множества действвтельвых чисел Х и У и указан закон Г, по которому кззгдову числу х б Х ставится в соответствие едннствеююе число уб У.

Тогда говорят, что задана фушшкл у йх) илн у(х) с областью определенна (О.О.)Х и областью нзмеяевия (О.И.)К Прв етом величину х называют независимой переменной (или аргументом функции), величину у — за. висимой переменной (нли значением функции). Точка пересечения с осью Оу равна значению функции )(х) прн х = О, т.е. у(0), Точки пересечения с осью Ох (нх еще называют нулями функции) являются корялмл уравнения )(х) О.

Функция называется ограялчевяой снизу, если все значения функции не мевыпе векоюорого числа л, т.е. у(х) > л. Функция называется ограниченной сверху, если все значения функции ве больше некоторого числа А, т.е. )(х) С А. Если функция ограничена и снизу н сверху, то ова назыеаезся огравнченной. Ограаячеяз сверху Ограничена Пе огрзанчева Оцманчеоа савву Моиотоииосзь — возрастание или убывание функции. Функция называется зозрлстзющей, если ббльшему авачеиию аргумента соответствует ббльшее значение функции (т.е. если з > х„то )(зч) >,Их,)).

Функция называется убывающей, если болыяему значению аргумента соответствует меньшее значение функции (т.е. если х > х, то у(к ) с у(х )). Область определенна функции называется свмметрнчпой. если функция определена и в точке х и в точке ( — х ) (т.е. а точке сямметрнчной точке х относительно начала числовой осн). Фувкцнв называется четной, если при изменении знака аргумента. значение функции ве меняется, т.е.

)(-х) = у(х). График четноя функции всегда симметричен относительно осв ординат. Функция называется нечетной, если прн изменевии знака аргумента значение фуякции также меяиется ва протявоположвое, т.е. у( — х) = — у(х). Функция у Ьх+ Ь(где Ь и Ь вЂ” заданные числа) называется линейной фувкцяей. Функция у ах*+ Ьх+ с(где а, Ь, с — числе, а е 0) называется язэдраэпчиой фулкцлеА Пересечение графика квадратичной функции с осью абсцисс епределлется авеном двскримявавта Р Ьэ — бап 1) если Р> О, то графюг пересекает ось Ох в ~мух точках; если Р О, то графвк вээеет только одву точку, принанлежазцло оси Ох, т.е.

касается оск абсцисс; если Р < О, то график ве пересекает осв Ох. э» ° Э Функция у (где э, Ь, с, б — кокоторые чвсла, с е О) веет+ Л зыааегся дробно зюгейвой функцией. Фувкния у ал' (где а. л — векоторью числа; а а О; л — ясное вян рацгюиааьвое число) вааызается сгепеаиой. Прюзерьп у алэ (л 2 — квадратичная фувкцяя, грабюк — ларебвЩ у — (п -1, э обратная иропорцяоиальлая ааввсимосгь, график — пшербола).

Соотпомевяо вида Кх) т 0 (где Кх) — некоторая фузкцяя неремеввой х, а У вЂ” символ сраааевкя, ми орый может совпадать с одним из пяти знаков: >, <, Э, с, ) называется урззиеввиз, если символ т совпадает со знаком, в лераееястзом, если символ т созкадает с одним ва знаков: >, <, з, <. Ременном ураэвеаюг илн неравенства Кх) ч 0 вааываетса любое значение х, прк котором соотношение Кх) т О яваяется верным. Репппь уравнение нли неравеисчяо озвачает найти вса его ресгеиня нля доказать, что реюевий иет.

Областью долусгзмых значений (ОДЗ) уравнения яли знрааевстза Кх) т 0 нааывается область определевюг функции у(х), т.е. те авачевия % прн которых выполнимы зсе операции с выраженнямк, зходящюеи в функцию Кх). Дза уравневиа (илв неравенства) назыааютсв экзнэалеатньппг (нля равноспльвымя), если и:е нх решевяя совпадают нлн они ве имеют реюевий. Эквивалентность уразаевнй (неравенств» обозначают символом: еь. Возможные лреобраэозааюь которые прилепят к рэвлосклыюму уравнению (неравенству): 1) любой члек уразвевяя (неравенства) мо'кво нереиестя в другую часгь, намекав авек этого члена ва протнзюположвый; 2) обе частя уразвевня можно умножить илв разделить ка любое число (влп аырамевне), ве резвое нулю; 3) обе части веравеастаа можно умножать вли разделить ва любое положю.'ельвое число (наи выражение), знак неравенства ирв этом сохравяется1 4) обе часп» верззеистэа можко унаожкть вли разделить ва любое отрицательное чясло (или выражение), анан веразевстза ирн этом меняется иа противоположный.

С ааа а бармрлшлллр ш аа алллч Уравнении Уравнение вида лх+ Ь = 0 (где а и Ь вЂ” некоторые числа) называется линейным уравнением с перемеяной х. Уравнение ахл + Ьх+ с =0 (где а, Ь, с — числа;х — неизвестная) называется квадратным. Норни находятся по формулам: -ь ч(л х, где О Ьь-бас — дискримнвант. Если В>0, то 1.2 тл ь уравнение имеет дав корня (х ах ); если ))шО, то х =лп = — —; если )УсО, то уравнение корней ве имеет. Соотношения между ь корнями (формулы Виста): х + хь = --, х л. = —. АЛГЕЕРА (10 — 11 классы) 1. ТРЕГОИОМЕГРИЯ Таблица 1 Таблица 2 Оююееъю Е е у ее Веюеевевыее Севов мвзтду фуккцжвми едкого улав в(пз а + сове а = 1 «вза !2 а ~а а — '+ зл~ сева ~, 2 с!б а — (а е вл) ежа Фуикцзж суззмы и равиости углов в!и (а х Д) = в)а а сов Д а сов а в)п Д сов(ае0) совасоврав(пав)пД Првобравоааиие сумзмз фушщкй в прелааедалпе в(п а+ в1п Д = 2в)п — савв а Д а — Д 2 г а-Д .

а — Д мп а — жп !1 2сов — жив 2 2 а Д а — Д сов а + сов Д = 2ссв — савв З 2 а ° Д . Д-а сов а — сов !1 2ып — в!ив 2 2 Фулкиизз цдативзх углов (формулы двойлых узлов) жп 2а 2в1п а сов а ам 2а сов' а — вш' а Обратлые тригонометрические фуикцли Тригонометрические уравнении мп х а х ( — 1)з ытжп в+ хй (! а ) С 1), й Е в совх а х евгсссжа+2хй(1л!с1), йнв збх в х азс!Ел+ай,йбв с!Ех а х вгсю!ба+ тй, йф в П. ПОЕАЗАТЕЛЬНЫЕ И ЛОГАРИФМИЧЕСЕИЕ ФУНЕЦИИ. УРАВНЕНИЯ, НЕРАВЕНСРВА Осиовиыв свойства логарн4ввоп Дла положительных М, Рй а> О, а а 1, Ьаре Ь, -1 и действительных а: 1) вз'е' и = М вЂ” основное логарифмическое тождестчоз 2) !об,(дйз)) !ОЕ,М+ )об, Х; Осени е Фор у ~ хат репсязз зздз 2) ьб,( — ~ = ьб, М-рзб,рф (и! 4) !об, М* а!об, М; ~АМ 5) 1об, П= — переход к новому основанию.

Ьазз Показательные н аогарифинческие уравнения н перавеистна 1) Если лап = ап"!, то !(х) = й(х). 2) Если!об„)(х) = 1об, й(х), то !(х) = а(х). ()(х) < й(з), если 0 < а< 1 1)(х) < й(х), если 0 < а < у 4) 1оа,)(х)> 1об Р(х), то ~ НАЧАЛА МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА Е Пронююдиая Правила вззчиоловив яроваащрпал 1) (У+ бр = Г + и'; 2) (сП = су (где с — постоянная); (г) Р г — ге' 2) (У б) - Га+ УР; 4) ! — ! = 5) Р(4(х)) = )дф. й'„(х) (проианодная сложной функции). П. Пержюбраанап в интеграл Правила вычисления пера ообрааалгх Ц Если У(х) — перзообрааыая для функции ((х), П(х) — пернообразвая для фуыкцни б(х), то У(х)+ 0(х) — перзсобразвая для фуыкцпп )(х) + 2(х).

2) Если г(х) — перзообразыая для фуыкции ((х) н с — постояыыая, то су(х) — пернообразвая для фуыкцми с((х). 3) Еслм г(х) — перзообразная для функцпн ((х) н й, Ь вЂ” постоян- 1 яюе, причем й з 0), то — г(йх о Ц вЂ” переообразиая для фувкцпи ((йх+ Ы. Первообраавыо осиоавззх фуипций П»»а»»м» рад»уа»»»» р»а»»»»»» ГЕОМЕТРИИ (ОТЕРЕОМЕГРИЩ Макею»ревнива уурнюи Пл боковой паве хвоста Б Р * ! (Р, — лерамстр перпеади- кулвраого сечеаии, ! — длине бокового ребра).

Юрьев г Я ! (Я вЂ” плоапщь перпевдакулвраого сечевик); г Я. Ь (Я вЂ” пловпщь освовеааю Ь вЂ” высота праачы) Пирланпл. У'сеновала аарамнда 1 Объем пибамйбМ г Я Ь (Я вЂ” площадь осаовеюаь Ь вЂ” высоте пиреющы). Объем чевиой п Р—, Ь (Я, + Я~ + Б,) (Л вЂ” в 1 те, Я и Я вЂ” плон!еда освовавай уссчЕВВОй Пирамиды). 1 Пло боковой позе хвоста и аанльвой па ы Я -РН з (Р— первмстр основания, Н вЂ” епоФемаЬ Пле боковой позе хвоста вильной чеввой па Б -(Р + Р ) (Р, н Р— периметры осаовеюзй пар»миды).

1 з Еруглззе талл Ппююдр ~м у= яВ»Ь ( — радиус освозааня, Ь вЂ” высоте цнлнввре). Пло ь боковой нове хвоста Яз 2яВЬ. Пло полкой позе хвоста Я„2яВЛ + 2яВз. Венус Объем Ъ' -яВ»Ь ( — радиус основания, Ь вЂ” высота конуса). 1 — з Пло боковой вове аоста Бс »В)(! — обрезуюмея конусе). Пло полкой лове хностн Я„»Н)+ яйз. Рсечеююзгй аоауо Объем ъ'= — яь ()ч е В1В» т !ч) (ь — высота, В и  — радкусы осаоезакй ус»чева»го конусе).

Пло боковой поее хиостл Яз —— я(В! + Вз)! (! — обрезующея усеченного ковуса). СФо(нь ВУвр 1 ~ -»( — 2. 3 Плевр)(И сазерн я 4»Вз ( — релаус сФеРы). .