kolmogorov-gdz-10-11-2008 (Алгебра и начала математического анализа 10-11 класс - Колмогоров)

САМ СЕБЕ РЕПЕТИТОР ~ А.Н. РУРУКИН ПОДРОБНЫЙ РАЗБОР ЗАДАНИЙ ИЗ УЧЕБНИКА ПС АЛГЕБРЕ И НАЧАЛАМ АНАЛИЗА авторов: А.Н. Колмогорова и др. рИ.: просвещение~ 10-11 классы МОСКВА ВАКО» ' 2008 Ъ".!К 337:167.1 1512+517] ББК 22.!4а72 Р87 Рурукин А.Н. Р87 Подробный разбор заданий нз учебника по алгебре и началам аншгиза авторов А.Н. Колмогорова и др. длл 10 — 1 ! Гстассов. — Мг ВАКО, 2008. — 288 с. — (Сам себе ренститорй !БВН 978-5-94665-745-7 Пособие сапер:кнт профессиональный подробный разбор заданий н г учебника по Алгебре н начшшн анализа авторов Л.Н. Копчогоршш н лр..ьш 10 !! классов.

Приводятся такке алгоритмы решения типовьн ьшшч. Ответы и решения раюизы па тематическим разде шм в соошстстаин с гопшой учебника. Автор пособия «анлндат физико-математических наук, ггрспадеватель с Зу-.зсгнни сгшксм педагогической дентсзьностн. УДК 337;167.! !512 ° 517! ББК 22.14я72 Учебно-.нешоднчеекое нздинне САМ СЕБЕ РЕПЕТИТОР Рурукин Александр Николаевич Подробный разбор заданий из учебника ПО АЛГЕБРЕ И НАЧАЛАМ АНАЛИЗА авторов: А.Н Комгогорони и др. 10 — 11 классы 1!алогоаая лы отав Обшсроссггггскнуг кгассификатор пролукнин ОК 005-93-953000. Издательство «ВЛКО Г1огошсвно к печати с днапозгпннов 25.03.200!. Форзгаг 70" !00/32.

Печать офсетная Гарнитура таймс. Уел. псч. листов 9. Горак !0000 зкз Заказ Гф 26132. Огггсчапню с гогопыя анаиозптггвов п ОЛО Гаратоаский полиграфкомбинат 4 !0001. гз Сарнтон. ул. Чериышспского, 59. пншзагрнш ьз 000 ВАКО . 2008 !5ВН 973-5-94665-745-7 ОГЛАВЛЕНИИ Г !. ТТНГОНОМКГРНЧУККИК ФУНКНИН 51. Тр ы м трикениефугки з. опар!ум н а............................. 12.0 юмпес й.

фу а!й.. ! 3. Р ю . три мюметрнчео «уран евнй н нерва Г в а 15 ПРОИЗВОДНАЯ И ЕБ ПРИМЕНЕНИЯ 5 4. Производна» .....„........„....., 5 5. При ен ви еирер ост пр из!од ой 5 б. Применена щюизмицюи к и стедоввиню функций ...,,...,,......., Гза а НЕ ПЕРВООБРАЗНАЯ И ИНТЕГРАЛ ! 7. П !нюоб! и 58. Ии реа...... Гаа а!Т. ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ И ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ 1УНКЦИИ $9. Обобнв ние пои» ив степени ... ! 1О.

П «зине.гиа р фм» юнв фу нц и 5 11. Про з однан ю каютечы ой огарифмичеекой фун ции .................. Глава Т. ЗАДАЧН НА НОБТОРКНИК ! 1. Д йсгзителъные е я ........... 5 2. Тожд ениме цреобрмю 5 3. функции 54. У! ов г, неравеаегва, еи емы уран е й и ! Ра енеп 5 5. Произзод зи, п рмюбрю . т трав р ен Гнв ТЬ ЗАДАЧИ НОБЫЩКННОН ТРУДНОСТИ $!.

Ч ела и пресбразо а ырюкений ............,..........................,...,.. ! 2. Злемеитарны функции и ц еюиетва 53.Урез е и, рз не ване е ! 4. Начала ак лиза .......... 12 Зб 51 99 80 .98 107 1!7 !31 15б 1бб 1?3 184 198 221 232 241 255 275 Гален Е ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 5 1. Тригонометрические функции чмслового аргумеыта 1а) Для перевода г!мдусной меры углов в радиаыную надо учесть, ! и и что 1' составляет — радиан. Тогда получаем: 45'-45 ° — = —, 180 180 4 и н н и и 36' = зб — = —,, 180' =! 80 — = и. Стйц21 —; —; к. 180 5 180 4 5 2а) Для перевода радианной меры углов в градусную учтем, что 1ЗО и 180 1 радиан составляет — градусов.

Тогда получаем: и з з н и !80 5н 5н 180 = 60' — = — ° — = 90', — = — ° — = 25'. Стдек! 60'; 90*; 25'. 2 2 * ЗВ Зз За) Используя таблицу значений тригонометрических функций, н . 2н )121! 2 ! найдем: з!п 0-1- соз — + юп — -04-0- ~ 2 4 '12) 4 2' 4а) Функции з!п а и сов )) ограничены, т е. ) з!и а ! х 1 н ! сов )) ~ 4 1. Поэтому число и.

для которого юла = -0,5 существует. Число )), для которого сол О -03 не существует, т.к. 03 1,7 > 1. Функция ГЗ у не ограничена. Следовательно, число у, для которого 18 1 = — 2,5, существует. !)Здйх: и, у — существуют, )) — це существует. 5) Тригонометрические Функции з!пи и сова связаны основ. ыым тригонометрическим тождеством энга+ солта.= 1. Пронерим выполнение этого равенства длн данных зыачсыий синуса и кссннуса. 7 а) Юлиана- — — и соли- —,, тояпза4 амза- ~- — ! +! — ! = 25 40 5 Е 025 — — — = 1. Поэтому такое число а существует. щь юь еы ьадц!1 могут.

в) Если в!па= — н сова= — — ". то з!пни 4-савла= ! ~ + 3 з ' ~з~ Ы вЂ” = — + — = — я 1. Поэтому такое число и не существует. З1 З В 2 Охдек! ые могут. 6) Функции тангенс и котангенс угла а связаны соотношением !За с!За-1. Проверни выполнение этого равенства для даыных значений таигенса н котангсиса. !. Т пгопомет квеекпе ккцпи чпеловогпо г в!енто 3 5 3) Если 1б а = — — и с(б а = — —, то 18 а. с!б а = ! - - ! ° !( — - ! = 1. 3' Поэтому таксе число а существует. Оувиг! могут. 5 5) -!! в)Если(ба-2,4 не(би- — —,то(ба с1ба=2.4 ° ! ) = 12 ' ' 12 12 — — 1 и 1. Поэтому такое число а не существует. Огваг: нс могут.

73) Сначала нейдем сова, используя основное тригонометрическое тождестпо в!пги совги= 1. Подставив данное значение зш а— =- — 0,8, получаем: ( — 0.8)г 4- созга —" 1 илн 0.64 + созга - 1. откуля Зп сов!и=1-0.64 =0,86. Учтем, что и < а < — в (третья четверть) и значение сова отрицвтечьно.

Поэтому сова — в(0,26 = — 0,6. Те- 83) Для преобразоввния вырюкения созга-созга ' в!п'г! используе» бюрмулу Ллк разности квадратов чисел н основное тригонометрическое тождество. Получаем: савва -созга.в в!ива = =созга+(з!пза)г — (созга)2-созга (в!лги+созга)(з!пги— — созга) = созга+ юнги — созга = 3!пга. Пуда!: вшга. 8г) Длн преобразования данного выражения используем основввп ! нос тригоноиетрическое тождество, учтем, что !б ! — и приве'! вв ! — 1 г дем дроби к общему знамен*гелю. Получаем:, тьдг ! = ° пв'! с ! -( и ! в ви !)+Не с ! 93) В числителе лрсбн используем !(юрмулу дзя косинуса суммы двух углов, в зизмензтеле — для синуса суммы лвух углов.

Тогда нолучаеч: 403пвше 2в + в!позтсв. 0 2к ип(0 2п 0зп) ипо 5к 1 '"2 Ь и 1 2 2 в!па -0,3 В 4 перь найдем 1би = — =— впво -0.5 б 3 4 Яувбг! соз а =. -О,б! 58 и = —; с18 а з' ! 4 3 и ссб а = — = 1: — =— Сна 3 4 3 4 Тливо 1. Т иго«олен ивг «иг 4 ««иии йв) Используем формулу для тангенса суммы двух углов.

Имеем: О 'б О (л Зл( (гл Зл( 5« л .3 рл Отщу: 1. 51п 2а-2в!васева-2 5 '( 5(= )1 ( лг 5 1! (!2 25 144 !!9 сов 2() =савв () — миг () = ( — — ( 13 ( 113) 169 169 169 ' яп (а — ()) = Ип а сов () — сов а в1п () - — ' ~- — ! — ~- — ~ ' — = 5 ~ 13( (, 5~ !3 Зб 1б + — = —; 65 бЬ сов (а + ()) = соз а сов () — в!и а 51о () = Н -! - — ! — — °вЂ” 5) (, 13) 5 13 29 65 43 ЗЗ 55 65 24 119 15 ()хйаг: в!и 2а- — —, сов 2() = — —; в)п(а — ()) = —, сов(а ! 25 ' 169 ' 65 ЗЗ ' ())- — —. ЬЬ 11а) Используем формулы дла синуса и косинуса разности двух углов. Получаем: 2 виппер — в (и — Р) 141 отвей-( Ми й- овпвшр) (и -р) -гв! и вр пеипеб ° в1пии 5 — 2в!вив! 5 106) Для угла а найдем соб а. используя основное тригонометрическое тождество.

При этом учтем, что — < а < и (вторая четверть) 2 и значение соз а отрицательно: сова = -91 — в!и а = - !1 — ~ —,' ~16 Г9 3 = — )(1 — — = — (( — = — —. Лля угла () найдем в!п (). Учтем, что 25 25 Ь вЂ” < () < к (вторая четверть) и значение в!и () положительно: ввп () = 2 =91 — сов () = 1 — ( — — ( =)(1 — — =)( — = —. Итак, имеем: 12) )( 169 )4 169 13 4 3 12 Ь япа= —. сава= — — и в1п() = —, сов()= — †. Теперь легко вычис- 5 Ь 1З' !3' лить, используя формулы двойного аргумента и формулу для синуса разности углов и формулу длл косинуса суммы углов.

Тогда получаем: 1. Т игпвсиет евгение ех пе впгзвеот а в лемма из«вввр+ «н«ипр ' («+Р) «««~ вб" в! ««пб (» б) 11в) Используем формулы для косинуса и синуса суммы двух углов и значснил синус» и косинуса угла †. Получзсм: Г 7 « — 2«( — в«) в2 « — 2(свв — вп⫠— вш — нв«) 7«в! в ! — «в«2(в!в 4 «е«««4 в1п«)-вГ7вп« г" "'" ") «2 42, 2в1п«нта = (ба. 12а) Длн нахождения значений тригонометрических функций используем формулы приведения и поннтие четности и нечет- ности функций.

Тогда получаем: з!и — =з!и к — — =ввп — '; сов — — ~=сов — =сов12к —— 18 (О бк) — 18 (О бк т О 1к) - — с(б (О 12); сЩ (-1.2к) —. с(б (-к — О 2к)— сьб ( — 0,2к) — с12 (0,2к). в в (Щ~: юв-1 сов —,; - с(б (0,1к): — с(2 (0,22). 18а) Для вычисления данного выражения используем формулы приведения и таблицу значений тригонометрических функций.

Палучаемв х 2х 4п тк . х ( х1 ( х) Зв(п — сов — 18 — с(8 — = Зврл — сов~к — -)121 к+ — 1х в 3 3 4 в ~ 3) ~ з)1 хс(б) Зя -- = 8юп- — совЛ(8 — ° с(8~-Л = 8в!и-сов- х х182 с(б-" = 8 ° — ° — °,(З ° 1 = 2(З. 3 4 2 2 ой221 2,(З. 14а) Преобразуем левую часть данного равенства, нспользун Тв .

и формулу для ревности синусов углов: в!и — — в(н — = 2в!и 1 11 2х 12 12 2 тз 1~'в . в и (2 1 (2 псов = 22(п-еозт = 2 †. — = —, Следовательно, равен- 2 4 3 2 2 2 ство верно. ЩИХ: верно. Глава 1. Т иго«сигм иогсииг нации зи 15а) Так как к < а < —, то разделив на 2 все части этого нера- 2 с 3 венства, получим неравенство того же знака — « — — (т.е.

угол 2 2 4 и о и 2 — находится зо нторой четверти). Поэтому еп — э О, соз — < О н 2 2 ( 16 — < О. Используем бермуды половинного аргумента. Получаем: 2и 1 — сои 1 !3) зб ! 141 2 2 2 2б и /22 и з(п — = ( — = —; ! 1 ! — — — . Тогда 13 —, 2б !зб за соз 2 !+ мои !2 а — — а= — и саз — = 2 2 2б 2 Ига '! 2 ь и Ь !с ! и —: - —.— ! = -5.