kolmogorov-gdz-10-11-2008 (Алгебра и начала математического анализа 10-11 класс - Колмогоров), страница 5

Следовательно, произведение (хг — «) (б †.г †.т ) > О и у(х4 > у(х ), т е. Функция возрастает. ьч~: см. решение. 3 83а) График функции у- — получается смещением графика г-2 2 функции у = — на две единицы вправо. Тогда понятно, что Функция х 3 у = — убымюг по всей области определения В(у) - ( —; 3) (1 (3; ). -2 Максимумов и минимумов данная функция не имеет. СШ)ет: см. решение. бба) График функции у = Зэ!и х — 1 получается из графика Функции р - мп х растяжением в три раза адоль сои ординат и смещением па одну единицу вниз вдоль той же оси.

Поэтому Функции у = Зз!и х — 1 и у - мп х имеют одинаковые промежутки возрастании и )бызаниа, точки максимума и точки минимума. Поэтому даннал э э функция возрастает на промежутках ~ —,+ Зия' + 3«п~ (где 2 2 24 Глпеи 1. Т ига«апет ические икпшс !к Зй п Е й) и убывает нв промежутках ! — + 2кл; — + 2кл|. В тачках й й х = — ' 2гл функция имеет максимум у = Зз!п~-+ 2кп~ — 1 = 2 !й й Зй Зап — — 1 3 — 1 2. В тачках х- —, -1-2кп функция имеет миг й (Зй ! Зс иимум у =Зз1п ~ — е 2кл) — 1 = Зебп — -1- 3 ! — 1) — 1 = -4.

Яйбцг: см. решение. Зй йй 86а) Очевидно. что 0 Ь вЂ”, — < к. На промежутке !01 к! Фуакцнв 7 9 88в) Учтем, что функция тангенс периадичва с периодом к, тог- 9« ( 2к! 2« бк да !8 — = 13! к+ — (! и 53 — и 13 — = !у~к 7) 5 йй й к й что 0« — „, — —. На промежутке !О; -) 7 5 2 2) й! й + — ! = !у †. Очевидна, Функция у=-!ах яоз- 2« сс 2к к растает. Сравним числа — и —, найдя их разность: т ь 7 5 Пс ° 5 — «-т Зй 2« = — > О. Получаем — „> —, тогда значения функции 35 35 йп к 9й бс сввзаны неравенством того же знака: !3 — > 13- или 18 — > 13 — . 7 9п бк Щвстс !8 — > 43— 7 87а) Для расположения чисел ав 3,2, 91п 3.8 и ал 1.3 заметим, что 0 < 1,3< к. Поэтому величина аш 1,3 > О.

Дчя чисел 3,2 и 3,8 3 выполнено неравенство к< 3,2< 3,8< — к. согда величины ап 3,2 2 3 и й!и 3,8 отрицательны. На промежутке ~кс х— к~ Функция синус 2 убывает. Поэтому. твк как 3,8 ' 3,2. то в!и 3.8 < з!и 3.2. Следоввтеяьна, расположение чисел следующее: з!» 3,8 < ап 3.2 < ьш 1,3. Яйвдтс з!и 3.8; з!п3,2: ап 1.3. Зк 2« у =-. сазх убывает. Сравним числе — и —. найдя их разность: 7 9 Зй 2« Зй 9 — 2« 7 27« — 14« !Зк 3 се йк — > О. Получаем — > —, тог- 9 53 бз бз 7 9 да звачення функции связаны неравенством противоположного Зй Зп Зй 2« зайка сав†' < соь †, Яййей; саь — < паз †, 9 7 9 2.

Оснввннг гввагтва наний 25 87в) Очевидно, что величины аргументов связаны неравенствах в в в) мн — — <-О,2 <0,5 <1,4 < †. На промежутке 1 — — ' — ' функция 2 2 2) тангенс возрастает. Поэтому тангенсы таких аргументов связаны неравенствами тех же знаков: 15 (-0,2) < (8 0,5 < (й 1,4. Ответ: 28 ( — О,З); 28 0,5; (8 1,4. 1 88а) График Функции у =, -. 1 получается нз гра41ика (х — 2) 1 Функции д= —, сдвигом на две х единицы вправо вдоль осн абсцисс и иа олпу единипу вверх вдоль оси ординат. На рисунке приведен график ланцай Функции.

Видно, что Функция возрастает н» промежутке (жж 2) н убывает н» промежутке (2; !. Экстремумов функции не имеет. Яуару: см. решение. 885) Изобразим график Функции у = 4 , .'х ~ — х". Легко проне- рить, что эта функция четная и ее график симметричен относительно оси ординат. Поэтому сначала построим график этой фувкцни при ха О. В этом случае[х[= 2 и функция имеет вид у(х) = 42 — хв. Видна. что Фу кцня возрастает на промежутках ( —; — 2) и [О; 2[ и убывает на промежутках [-2; 0) н [2; Точки хв,„„--2 — точки максимума н у„в„- у(я2) - 4.

Точка хвж =0 — точка минимума и Вудсу: см. решение. 89а) График Функции у=сов[»+ ~ получается из графика в Функции у = соз х его смещением на — влево вдоль оси абсцисс. в 29 Ганне 1. Т нгеномет «чегкие г' нккии Из графика видно, что данная функция возрастает на промежутках Зк тк — + 2хш — + 2кл~. где и Е 2. Функция убывает иа промежутках Л 4 — — 2; — 2 г Зк к 4 4 + 2хл .

Точки максимума хн,„„= — — 2кл и у „„вЂ” 1. 4 Зк точки минимума х„н„- — 4-2кл и у„„,— — 1. 4 Ж~етг см. решение. 90а) Испольауя формулы приведения и чстнасть функции косинус, запишем числа в виде: Згк 7 тк! 7к . 4к . (к 2 ! Зк соз — = сов 2л + — ) = соэ —; э㻠— = э!41! -+ — ) = соа —; 9 г 9) 9 5 !2 1О) !О 5к) Зк 25к . 4к соа~- — ) = сов —.

Теперь сравниваемые числа сав —, з!и —, 9 ) 9 9 5 1к ( 5к) тк Зк 4к Зк соэ †, соз1!- — ' Записаны а виде: сов †, сок †, соз †, соз — . ~ 9) 9 !О 9 9 Видно, что аргументы косинусов лежат в диапазоне О к, где 4!гункция косинус убывает. Расположим зти аргументы в порядке еоз. Зк зк Зк 7 растания О « — — « — — <к. Тогда косинусы таких аргу- 10 9 9 9 Зк ментов связаны неравенствами противоположного анака: соз — » 1С 4к Зк 7к 4к 4к ( ак ! 25к > сов в > сов в > сов †,т.е. з!и — > соа — > соз! †) > соз — . 9 9 9 5 9 ~ 9) 9 25к ( Зк! 4к 4к Пулат! сов — < соа! — — ) < соз — < з!п — .

9 9) 9 5 Зк11 Зк 15к ( тки! 906) Данные числа 19~- — ~, 19 —, с79 —, 79! — — ) предста- 7) З 8 ! 15) вим в виде тзнгеисов с аргументами. расположенными в проиежутк к! кс ~ —: —, т.к. на этом промежутке функция тангенс возрастает. 2 2) Зк! ( Зк ! 2к 15к ( тк! Получаем: Зб~ — ) = 19~- — + л) = Зб —; с19 — = с19! к +— 7) ~ 7 ) 7 а ~, 8) 7к (к ак! З» ( ак! = сгб — = с!91- - — ) = -29 — = 791 — — ).

Тогда надо сравнить а '!2 а) а '! а)' Зк Зк l Зк! ( 7к! числа: 19 —; 59 —; 191- — ): 19~- — ). Расположим аргументы /2. Осиаекмг сесастка кклка 27 л 7» Зл 2» Зк к танкансов в порядке возрастания: — — : — — — — — « — < — . 2 16 8 7 8 2 Тогда тангенсы этих аргунентов связаны неравенепюми того же 7») ( Зл) 2» З» / 7»1 Ик анака: (б~ — — '~< 13~ — — 1 <(3 — < ьб —, т е. (б~- — ~< сгб — < 16~ [, 81 7 8 ~ 16/ 8 э*) з гл 1 !Эл / Ьл ) Зл < 13, '— — ( < 13 — '. СПОЗЗ: (З~- — ) < с(б — < 13[- — ) < 13 —. 7/ 8 16/ 8 [ 7~ 8 91а) Рассмотрим две произвольные точки х, и к из промежутка [О; ).

Пусть для определенности «>х,. Для функции /(т) = = «4+ Зх найдем Разность /(х ) — Дх,) =(хк Ь 3«к) — (хк+ Зх,) = - (х' — хк) э 3(х — х ) = («2-«2) (хк е «-) + 3(х, - х )- (х„— х ) (« +х,)(хкк+хл)+3(хз — х,)-(х — х,)[(х +х,)(х1-1-хл)еЗ[ О. Это произведение положительно, т.к. «> х, и величина х -х, > О. Второй множитель также положительный, т.к. х, > х, э О. Следовательно, Дхз) — )(х,) > О, т.е. /(х ) > /(«1).

Так как ббльшему значению аргумента «1 соответствует ббльшсе значение функции Дх ), то функция Дх) возрастает на данном промежутке (по опрслелению). 923227 доказано. 916) Рассмотрим две точки хг и х из области определения функции В. Пусть для определенности х > х,. Для функции Дх)- =-«з — 2х рассмотрим разность /(хз) — /(х,) =(-хз — 2хл) — ( — х — 2х) (хз — хэ) + 2(х, — хг) - (х, †.т ) («2 э х, т, + «2) э 2(х, †.т ) = = (х, †.к )(хле х,хэ+ хт+ 2) < О.

Это произведение отрицательно. т.к. «2 >.тг и вели ~ива « — «. < О. Второй множитель «1.1- «1«2.1- ' «2+ 2 = («~ + — к 1 + — хл — 2 > О при всех х и х . Следовательно, 2/ 4 1 1 Д«1) — /(«,) < О, т.е. /(х ) < Дх,). Так кан ббльшему значению аргумейта х соответствует меньшее значение функции Дх ).

то функция Дх) убывает на асей числовой аси (по определению). увдт: доказано. 92а) Если хс — точка максимума, та в некоторой окрестности атой точки выполняется неравенства /(хк) Э /(х). т.с. значение функции в точке х„самое болынае. Так как фуикпия /(х) четная. то справедливо равенство /(-хе) = Дт„). Подставим это соотношение в неравенства и аолучнм: Д вЂ” х„) > /(х), которое означает, что значение функция в точке (-х„) самое большое. Следовательно, точка (-«) также точка максимума.

йтв:2: доказана. 92г) Если функция /(х) возрастает на промежутке [а. Ь), то для », и «2 нз этого промежутка (т.с. а < х, < «„< 6) выполниетси нера- Глава !. Т племен<ля ичгс иг п<чии венство Дх,) < Дхт), т.с. 56льшему значению аргумента соответствует балыков значение функции.

Умножим нсе члены неравенстве а Х х, < хзСЬ иа отрицательное число ( — Ц. При этом знаки неравенств меняются ив противоположные: — а > -х, > — х, > — Ь. Такое неравенство ознвчвег. что рвссмзтрпваемые точки ( — «,) и (- х,) нз промежутке [ — Ь; -а], причем — х, > -хт. Так квк функция Дх) четная, та неравенство ((х,) < г(х ) можно запысеть в виде /( — х,) < Д вЂ” хл). Тогде видно, что большему значению аргумента ( х,) соответствует меньшее знвчеыие функции Г( — х ). Сдедавзтельно, блункцпя Дх! иа промежутке [ — ь; -а] убывает.

Яхйатл доказано. 93в) Опишем свойстве функции р(х), изображенной нв рпс. 57а. Область определения функции 7)(у! - [-8; з), область значений функ. цин Е(р)- [-2; 5]. Точки пересечения с осью абсцисс имеют клклрдпннты (1; 0), (5; 0), точка пересечения с осью ординат имеет координаты (Ол 2,5). Промежутки зывкопостоянства: р(х) > 0 при э Е Е [ — 8; 1) и у(х) < 0 при х Е (1; 5]. Фушлция возрастеот нз промежуткях [ — 5; -1] и [3; 5] и убывает на промежуткзх [ — 8; — 5] и [ — 1; 3]. '!ачкв мвксимумв функции хья„= — 1 и у„„-у(-1)-3.

Точки инни мумя функции х„чь = — 5 и у„,.ь, — — у( — 5) = 1; х, „„=- 3 и у„вь = р(3) = - -2. Других особенностей данная функция не имеет. ЬЧДСТ: СМ. РЕШЕНИЕ. 93б) Опишем свойства функции у(х), изобрвженной иа рыс. 575. Область опрсделени» функции ()(у) (-; -2) О ( — 2; ), область значений функции Е(р) = ( —; 2) О (2; ).