kolmogorov-gdz-10-11-2008 (Алгебра и начала математического анализа 10-11 класс - Колмогоров), страница 7

соз (-12.5) > соз 7 > сов 4 > сгм 9. Яудстг сов 9 < соя 4 < сов 7 < сов (-12.5). 1 110а) Область определения функции у - — ведается усло- 1 — н» вием: 1-в1п»»0 (делить нв нуль нельзя) или ып»»1, т.е. хе й » — 2кл, где н Е». Поэтому В(у) = 3 кроме точек — + 2кк. 2 2 ьтзшг В, кроме точек — + 2кл, где и Е з. 2 .1» г» 110б) Запишем данную функцию у= шп — — сов — з виде 2 2 д= -1 сов — — в!п — )1 = ч — сое» . Область определения зздветсн 2» .2») Г— 2 2) й Огвоевьи сеозсмэа мк эй условием: — сов х > 0 (подкореннсе выражение должно быть неотрицательным) или свах<0. Значения косинуса не положительны. если аргумент находится во второй или третьей четверти, т.е. э Зз 2 — + 2кл с х С вЂ” + 2кл. где л П 3.

Следовательно. область опредслег ния функции Ю([) - ! — + 2кл; — + 2кл~. [з ээ 2 2 [з зз Ппзп1 — + 2кл: — + 2кл~, где л б 3. [2 2 111а) Чтобы найти обзас1ь значений функции у - эш.т — ~ГЗим х, (1 .,[3 умножим и разделим ее нв 21 у- 2 -з!их- — с1мх). Учтем, что [2 2 1 з (3 Г з х — = соэ- и — = з(п —, тогда у = 21(сов-з(пх — з!и-совх) = з г 3' з 3 = 2[3!пхсоз — — созхз!п —, Используя формулу для синуса раз- 3 3!' ности двух углов, получим: у = 2в!п [х — 2~!.

Область значений 3/ этой функции Е(у) = [ — 2; 2). Ящаз: [-2; 2). 3 1116) При рассмотрении функции у-, учтем, что об- 1+ 13 ласть значений функции 3 - 16 х Е(з) - В. Тогда функцию у можно 3 записать в виде у= —,, Так как 1< 1 е 22< . то легко найти об- 1+1 пасть значений данной функции Е(у) = (О1 3). Яудст1 (О; 2). 111в) Для двиной функции у-Л-соэзх учтем ограниченность функции косинус: — ! Ссоз43<1.

Умножнм все части этого неравенства на отрицательное число (-1). При этом знаки неравенств меняются на противоположные 1 -сов 4х> — 1. Ко всем частям неравенства прибавим число 1: 1 + 1 > 1 — соз 4х 3 1 — 1 или 2> 1- сов 4т>0. Извлечем квадратный корень из всех «сотрицательныз частей неравенства (при этом знаки неравенства сохраняются).

Получвем1 >2 > Й вЂ” соэ4х > 0 нли >Г2> у > О. Итак, сбязсть значений данной функции Е(у) = [О! эГ2). Яхзп11 [О! чгй). 112в) График функции Дх) 2соз ~х<- —" ! получается из гра- 4! фика функции р = сов х смещением на — влево вдоль оси абсцисс 4 Глинн !. Т иеаколет ические функции н растяжением в два раза вдоль оси ординат. ьнвкг: см. решение. 114а) Из рис. 64а учебника вндво, что амплитуда силы тока 2л 2и А =15, период Т=0.4, тогда ю = — = — = 5л. Запишем зависн- Т О.з масть силы тока от времени: 1 = 15в!и (5кП.

Ятддтз А - 15; Т - 0,4; 1 15з!и (5Ш). ж к) 115) Рассмотрим колсбательный процесс «(!) =- 5сов ~ а) Смещение максималыю, если функция косинус имеет мвксн- и з нум, т.е, если ее аргумент равен 2к. Получаем уравнение: — е — = з !2 = 2к. Умножин «сс члены уравнения на —: 3! + 4 = 24. откуд» П гэ 2 (= — иб-. з з в) Смещение равно О, если функция косинус равна нулю, т.с. и ез т и если сс аргумент равен — . Получаем уравнение: — т — = — . Умг' Е 3 2 з2 2 яожнм все члены уравнении на —: 3! е 4 = б. откуда ! — — . е !' 2 2 02222: а) 6-, в! —. т' з' 5 3.

Решение тршоноиегрнчеекнк уравиемий н неравенств 116а) Функдия д — хз на асей числовой оси возрастает. Поэтому уравнение хт= 3 на промежутке х Е ( —; ) имеет только одно решение. Пувдз: одно. к з 1176) На промежутке хЕ ( 2! ~ функция 2 =2яшх возрас- тает. Поэтому уравнение 2з!и х= 1.5 на этом промежутке имеет только одно решение. Жжт: одно. 37 З.ргшг иг и игенонгж ичггни» англии и нг аегнгтн 112в) Отложим на оси ординат значение ~ — ~ и построим угол г, удовле- 2 тз творяющий условиям: ып ! = — — и ! Е 2 Е ~ †; -' .

Этим условиям удовлетворя и г) 2 2~ п а только одно значение ! = — — . Огваг; —— 3' з 119в) На оси абсписс отложим значсинс ~,6) — — н построим угол 1, удовлетворяюг~ чг щий условиям: сов ! — — и ! Е)0! л). 2 Этим условиям удовлетноряет только одно Зт зн значение ! - †. Япгкт: 1Юа) На оси тавгенсов отложим значение (-1) и построим угол г, улоелетворя- г и) ющий условиям: тб ! 1 и ! е [ — -!— г' 2)' Этим условиям удовлетворяет только одно н и значение ! — — — .

Отнят! — — . 4 ,73 '! 121б) Пусть згсжп ~ — ~ = г. Величина г удовлетворяет двум 2 ~ и н11 . 43 н условиям: г Š—; — и век 3= — †. Находим г=- —. г ' 3' 122а) Пусть агссоз ! — — ! = г. Величина удовлстворнст двум 2! 1 2н условиям! г е [О; к) и сов 3- —. находим г-— 2 3 2н Щв: 3 38 Глава !. Т игиоачет и екие кк ии ! 123а) Пусть агс!З =г. Величина г удовлетворяст двум ус- 43 й й ! й ловням: ге !-л! -~ и !Зг= т .

Находим г = —. в й 92мм: — . в !24) Выражения агсмп а и атосов а имеют смысл, если ~ о ~< 1. 2! 22 Погюму выражения айса!п(--~ и аггеем)~- имеют 3~ )!3 1П Г вЂ” -~и — 41 и ~- =)!- <1. Выражения атосов# смысла не имеют, т.к. й)5 > 1 и ~1,5~= 1,5 > 1. смысл, т.к. и агсв!п 1.5 Щщг: а, г) имеют смысл; б, в) смысла не имеют.

тгг 1! ! й й й чим: агсв!п( — — +агссов-и - — +- = —. Пуййт: —. 2 ! 2 4 З Ы' 12 129б) Для сравнения данных чисел вычислим их: 41 зй й 2й й агссов(-- != — и агс!З!-1) = — —. Очевидно. что — > — —, т е. 2/ 3 4 3 4 * атосам(--) > агсгй! — 1). 2) 129в) Сначала вычислим данные числа: агс2бтз =- и агсмп 1 = 3 й й й = — . Очевидно, что — < —, т.е. ют!З )3 < айса!и 1. 2 3 2 Яуд!и: ага!543 < агсй!и 1. 131) Учитывая определения обратных тригонометрических функций н таблицу значений тригонометрических функций, полу- чаем: ,Гз ! а) 2агса!и( — — + агс!51-1) т агссог — = 2 ° — — + — — + ( 2 ! 3! ! 4~ 2к 3 ! е г1 й 3 б) Загса!и-е 4агссю(- ~ — агсс25)-чЗ) =3 ° — + 4 -к— 2 42 8 4 к 3 2 = -+ Зк — — к = З-к.

2 а 3 126б) Учитывая определения обратных тригонометрических функций и таблицу значений тригонометрических функций, полу- 2. Ремеьье м вговолет оческов аевгмий и «г егнгте та . я аэ э в) агс(3~ — ~ГЗ) + агссоа[- — + агсв1п1 = — + — + — = к. 3 В 2 Э 1 г) асса!и( — 1] — — вгссоз-+ Загс!8 — = -- — — ° — + 3 ° 2 2 2 2 2 [, бг' 2 = — — к.

2л 2, 3 Яхжц: а) — —; б) 2-к! в) л; г) — -к. д 3 2 1Зха» Пусть произвольные числа л, и г принадлежат промежутку [ — 1; Ц и л <лэ. Нада доказать. что агсюп т, < агсв1п л . Обо. значим г =агсэ!пх к г -агсзщл. Тогда т =в1пг, и лэ-юп(, причем г и ! принадлежат промежутку — —; — . Залижем нера- 2 веисгво к <л в виде з1п!,<в!п г . так как ва промежутке ге Е ~--; — Функция з!п ( возрастающая, то из неравенства юп (, < 2 2[ < юп Гэ следУ<т, что Г, < ! или агсз!и г, < агсвщ лэ.

Таким обРазом, утверждение доказано. Ягвхх: доказано. 134а) Учтем, что Фупкциа агсв1п х возрастающая (см. предыдущую закачу). Поатому расположим аргументы арксипусов в порядке возрастания: -0,3 « — 0,9. Тогда арксинусы этих величин 6 связаны неравенствами того же знака: асса!и( — 0,3) <агсз!а — < е < агсз!и 0,9.

Я22)ВХ! агсюп (-0.3) < агсз!и -' < агсв!и 0,9. з 134в) Учтем, что Функция агсссв г убывающая (см. задачу 1326), Поэтому расположим аргументы арккосииусов в порядке убывание: 0,4 > — 0,3 > — 0,8. Тогда арккосииусы этих величин связаны неравенствами противоположного знака: агссоз 0.4 < атосов (-0,2) < < агссоз ( — 0,8). Ядах: атосов 0,4 < агссов (-0,2) < агссоз ( — 0,8).

135а) Учтем. что Функция агстбл возрастающая (см. задачу 133а). Поэтому расположим аргументы арктангенсов в порядке возрастания: — 5 0,7 < 100. Тогда арктангенсы этна величин связаны неравенствами того же знака: агссх (-5) < агс13 0,7 < агс(8 100. ЯХ392: агс(8 ( — 5) < агс(9 0,7 < ага!8 100. 1355) Учтем, что Функция вгссьхг убывающая (см. задачу 1335). Поэтому расположим аргументы арккотангенсов в порядке убывания: к > 1.2 > — 5. Тогда арккстангенсы этик величин связаны неравенствами противоположного знака: агсс(8 в <вгссгб 1,2 < < агсс(8 (-5).