kolmogorov-gdz-10-11-2008 (Алгебра и начала математического анализа 10-11 класс - Колмогоров), страница 11

е л» л( = 3 12=3, при х = -21 имеем — -3-( — 2\)2-3.441 = 1323. е л» Щщ)т: 3; 1323. 193а) Учтем, что производная функции ((х) =ха равна Г(х) = - Зх'. Найдем значение этой произвалиой в точке х„: П(2) = 3 ° 22 = = 12 и /(-15). 3 ( — 1,5)2-3.225-625. Яуйзу: 12; 625. 1936) Учтем, что производная линсйвой функции ((х) — -4 — 2х равна П(х) = -2. Вта производная величина постоннная и не зависит ат величины х .

Поэтому П(0.5) =. — 2 и П(-3) = -2. курву: — 2; — 2. Гл»»» й П иээсдэ»я и ее э»леле»ил 194а) Для функции ~(х)-х~- Зх найдем проязводную г"(х), пользуясь определением щкжзводной. Сначала найдем приращение функции: Ь(=)(х + Ьх) — ~(х) - (х+ Ьт)« — З(х+ Ьх) — (хт — Зх) = = ((х + Ьх)з — хз) — З(х + Ьх — х) = (х + Ьх + х) (х + Ьх — х) — ЗЬх = -(2х+ Ьх) Ьг — Здх Ьх(2х+ Ьх — 3).

Найдем отношение »Г а* ат(г — з э а*) щ - 2х — 3 + Ьх. Теперь найдем величину — при а* а Ьх — эО. Для этого подставим значение Ах =О в выражение для щ — . Получаем — « 2х — 3 Э О = 2х — 3. Это и есть производная эх Лг данной функции Дх). т.е. Лх) = 2х — 3. Теперь найдем значения производяой Д(х) в точках — 1: 2. Имеем: Д( — 1)= 2 (-1) — 3=-5 и )'(2)=2 2 — 3=1. ()2дщ: -5; 1. 195») Угловой коаффициснт касательной к функции ~(х) хэ равен значению производной этой функции Й = Д(х) = 2х в пгиюкасаиия ха 1, т.с.

5=ухо 2'( 1) = — 2. Поэтому уравнение касательной р = -2х + 5. Касательная проходит через точку А. лежащую на параболе 7(х) = х«. Координата у = ( — 1)«- 1. поз юму координаты точки А (-1; 1). Подставим координаты точки А в уравнение касательной: 1 = -2 ( — 1) «- Ь или 1 2+ 5, откуда Ь = -1. Подставив эту величину. получаем уравнение касательной у = — 2х — 1. ()Знзт: у = — 2х — 1. 196а) Сначала найдем приращение координаты х(Г) = — Р+Зй ПолУчаем Ьх х(«о+ ЬН х(«а) = (Го+ Ь()з+ 8(Г»+ Ьз) — (-Сот+ 8«е)- -Нт-(г +ь()з)+8((1 +ьН вЂ” «)=Н +г +ь()(г — ( — ьг)+85« = - (2(е+ Ь«) ( — Ь() + 8Ь( = Ь((8 — 2«с - ЬГ).

Найдем сРеднюю скоР»сть зг тела э - — = 8 — 2( — Ьй 'Геперь на)шеи мгновенную скорость э . о Для этого в выражении для средней скорости о величину ЬГ устремим к нулю. Тогда получаем о = 8 — 2( . Теперь найдем значение мгновенной скорости при( б. Имеем: о=й — 2 6= — 4. а Ответ: -4. 1976) На рис. 81.5 учебника приведен график функции р(х). Видно. чю функция в точках т, и х кспрерывна. В точке х функция не является непрерывной.

ЯГВНГ: в точках .т, и хэ непрерывна. в точке х функция нс явлжтся непрерывной. 4. П взводная 193а) Построим график функции !(х)- (х — 1 прв х < — 1 . График этой функ- (1 — х при х > -1 цки состоит из луча и части параболы. Данная функция определена при нсех значениях х, т.е. ()(Г)=( —; ). Видно, что при х- — 1 функция ((х) нс является непрерывной.

Птщц: — 1. 199а) Функция Д(х)-хз-4х является непрерывной в каждой точке области определения (; ). т.к. является суммой двух непрерывных Функций хз и ( — 4х). Я2622! являегсн. 200а) Функции !(х) = хэ — Зх = 4 непрерывна во всей области определения. Тогда, если х -г х, то Дх) -г Дх ). Поэтому когда х -г 0 д(х) -г Оз — 3.0 + 4 4, когда х -г 2 д(х)-4 22 — 3 2+ 4 2. Щвцг! 4; 2. 2016) Так как 1(х) -4 1.

З(х) — г — 2 при х -4 3, то функция ((х) — Х(г) 1 — (-2) З -4 = — = -3 при х -г 3. (Убщп: — 3. ((х) Г( ) ! г (-2) -1 ггэг 2 ж)За) Функция ((х) = определена и непрерывна при г-3 х Е (- , "3) П (3; ). При х 4 зта функция определена и непрс- 442 згз рывнв. Следовательно.

при х -г 4 Дт) -11(4) = = 30. 4 — 3 203а) Так как функции Дх) хз+ хэ равна сумме функций, то ес производная равна сумме нроиэнодных этих Функций. Получаем: 1"(х)-(зэт«З)'-(хг)'+(хэ)'=2х+Зхт. ()Звю! 2х+Зхэ. жЮа) Так как функция 1(х) = х!(4+ 2х — тэ) равна произведению функций хэ и 4+ 2х — хз, то для нахождения ее производной используем правило нахождения производной от произведении функций.

Получаем /'(х) (хт)'(4+ 2х — хз)+ хе(4+ 2х- хэ)'= - Зхг(4 + 2х — хэ) + хз(2 — 2х) = 12хэ+ бхз — Зхз+ 2хз — 2хг = -Ьхз+ + Ззз+ 12хз. ()2вст: — бхз+ Зх'+ 12хз. ЗЮ6) Так как Фуикциа Дх) =чгх (2хэ-х)-х)(2хз — х) равна 1 произведению Функций хг и 2хз — х, то используем правило нахождения производной от произведении функций. Получаем: Главе 2 П и»леев!ил и ее л имюм ил ~(х) = (х!)'(2хз-х)+х'(2»4 — х)'= — х 1(2»4-х)+хе(2 ° 2х-1) = 2 = х' — — х' + 4х- '— х-' = -5х* — — х' = х'!-5» — — ) = чх1-5» — — ). 2 Отщу: Гх~-5» — -). 2)' Зх-2 210в) Так как функция у - — представляет собой частное ь 3 функций Зх — 2 и 5х + б,то используем правило нахождения производной от частного функций.

Полю!вен! (Зл — 2) (бл 4 З) — (Зх — 2)(бх 3) 3(бл 4 3) — (Зх — 2) Ь у— (Ьх 2) 1Ьл 24 — 1Ь !Е 34 (ь» + 3) (ь - ь) 34 92302; х 4 ! 1 21!б) Функцию у — — — —, + ч» запишем н виде у = — »в 3 х 3 ! — 4х»+хь. !(спользусм правило нахождении проиююдной от сум- мы Функций.

Получаем у'=(-х — 4х " тх-'~ =)-х — )4х ) +1х-'1 = — — 4 ( — 2)х 4- (2 1 -' 1 -з 1 -' 1 3 ! + — х ' = — +Вх +-х * = -+ —,+ —. 2 3 2 3 х' 2»Г» 1 З 1 ЯУДУЗ; — — 4- 3 х 24» 212б) Найдем сначала производную функции Дх) =х - 4,Ы = 1 -~ 2 =х — 4»!. Получаем 7'(х) = 1 — 4 ° — х '= ! — —. Вычислим значенин произволной в данных точках: Г'(0,01) = ! — —,.

— —. 1- Зо,о! 2 2 2 — — =1 — 20 — 19 и ~'(4) 1 — = 1 — — -1 — 1 =О. сд ,/4 2 Я23221 — 19; О. 4. Л и»еоднаа 2136) Найдем производную от фуннции !(2) =. — — х Ь хг.! 12. з з 2 Получаем !(х) — — ° Зхз-1-2х=-2»2-2». Приравняем производную 3 нулю и получим неполное квадратное уравнение! — 2хз+ 2х = О. Разложим его левую часть на множители: -2к(х — 1) О. !ак пан произведение множителей равно нулю, то хотя бы один из них равен нулю. Получаем: х = 0 или х - 1 = 0 (откуда « =!).

Ягщц! 0; 1. 2146) Найдем производную от функции )(х) = хз-!-1,5хг и получим Г(х) — Зх»+ 1.5 2х = Зкх+ Зх. Решим неравенство !'(х) < О. Имеем: Зхг+ Зх< 0 или Зх(х+ 1) < О. Решение этою неравенства — 1 <» < О или»О(-1; 0). Щнат: ( — 1; 0). х — Зх 215а) Для нахождения производной функции Пх) х ис- 1+4 ' пользуем правило нахождения производной от частного функций. (» — Зх) (! 4 4» ) - (»» — 3 )(1 г 4»*) (1+ 4х ) (3» — ЗЦ1+4х') — (х — 3 ).4.3 ' Зх 12хг 3 Ш '. ЗО ае» (1 4»' ) '(1-4 ') -Вх' 48» г 3»*- 3 О -8»г+ 48х" Зх - 3 Ответ: (! 4 ') (! 4») (3 2156) Ланную функцию !(х) = ! — + х )(2 — з)х) запишем в «нлс !(х) = (3» '+ хз) (2 — «х ). Используем ирам!но нахождения произ- волной от произведения функций.

получаем: Пх) .(З.тч-1-хг)'х ! х(2 — хг)4.(3» ' -хл)(2 — к))'=(3.( — 1)х 2+2х)(2 — х *)+(Зг '4 х»)х х( — х ') =(-3»1+ 2»)(2 — х ') — — х -'(Зх ' 1-х»)=--бх »еЗ» *+4»вЂ” 2 2 2 ! 1,' -2 3 -) 3 -2х( — -х - "— — х( = — 6» - — 'х ' + 4х — -х-*. 2 2 2 2 Отнет: — бх з — к ' 4х - -х). -! 3 2 г 2166) Найдем производную функции !(х) = 2х4 — ха. Получаем: Г(х) = 2 4»4- Зх' — Вхх(1 — хл) — Вхз(1 - хл) (1 + хх) = Вхх(1 — «) П + +х)(1+хх). Прнрввнясм пронзволную нулю. Имеем уравнение Глава 3. П изеодиал к се л олененка Зхэ(1 — х)(1тх)(1+хэ)= О. 'Гак кзк при всех значениях х выражение 1+ хэиО, то разделим обе части этого урэвнения на 8(1+ хэ).

Получаем уравнение хэ(1 — «) (1 + х) - О. Так как произведение множителей равно нулю, то хотя бы один иэ них равен нулю. Имеем уравнения: хэ= 0 (корень х = 0); 1 — х - 0 (корень х = 1) и 1 + х = 0 (корень х - -1). Язввз: О; 1; — 1. 217а) Найдем производную функции 7(х)-хэ-бхэ — бЗх. Получаем: 7'(х) = Зхэ — б 2х — бЗ = 3(хэ — 4х — 21). Решим неравенство !'(х) < 0 или 3(хэ- 4х — 21) < О. Корни этого клал(ихнего трсхчлена х, - -3 и т = 7.

Поэтому решение неравенства х Е (-3; 7). Язввз: ( — 3! 7). 218а) Например, такой функцией будет /(х) = хэ+ Зх + 7, т.к. !'(х) 2х е 3 — данная функция. язвцс: х'+ зх+ 7. ллОа) Представим сложную функцию Л(х) = мм Зх в виде Л(х) =З(7(х)). Чтобы найти значение данной функции И(х) сначала вычисляют се аргумент /(х) Зх, а затем находят косинус такого аргумента, т.с. Л()) = соз ! или Л(х)-сов х (т.к. безразлично, какой буквой обозначен аргумент функции). ЯЗЗВЗ: Л(т) пм х, Г(х) = Зт.

221а) Предсшвим сложную функцию Л(х)- (3 — 5х)э в вндс Л(х) = =З(((х)). Чтобы найти значение данной функции Л(х) сначала вычисляют значение линейной функции /(х) 3-5х, а затем находят пятую степень этой величавы, т.е. И([) = 7 илн Л(х) = хэ (т.к. безразэичпо, какой буквой обозначен аргумент Функции). Ятом!: И(х) и', 7(х) = 3 — 5х. 222а) Область определения функции у =т9 — х задается усло- Г 2 энем 9 — хэ> 0 (подкорениое выражение должно быть неотрицательным).