kolmogorov-gdz-10-11-2008 (Алгебра и начала математического анализа 10-11 класс - Колмогоров), страница 45

Ягзнгу доказано. ! ху- ху+ уз = 21 д'-2ху+15 = 0 1256) Запишем систему уравнений ('- -' хг- хр+ уг= 21 2 . Умножнм первое уравнение на 5, второе — на 7. у — 2ху = -15 9 Гуруккн Э б) — 1 или хз-х — 3-0 Корни етого урзвнеыия х Заа 1.2 12 А+с 3 1* йз 1* Бз г 2 ' ' 2 1136) В левой части уревпения хз-2х — 3 |Зх — 3| выделим квадрат разнести чисел. Запишем уравнение в виде: (хг- 2х + 1) — 4 = 3 |2 — 1 | или (х — 1)2 — 4 = 3|х — 1 |. Учтем, что аз=|а|2.

Тогда получим: | х — 1 |2- 3 | х — 1 | — 4 О. Введем новую неиавестную 1- -|2-1|. Имеем квадратное уравнение 22-32-4-0, корни кото- рога Г, 4 и 22 -1 (ые подходит, т.к. С г 0). Вернемся к старой ыеизвестной х. Получаем уравнение: |х — 1 |-4, откуда х — 1 = а4 и х - 5. т = -3. ЯХиау: 5; -3. 1 2 113а) Тзк квк леван часть нерзвеыства |хз — 2х| < х неотрицательна, то и правая часть должна быть неотрицательной (т.е.

х З 0). Возведем обе неотрицательыме части в квадрат. При етом знак неравенства не мевяетса: (хз — 2х)2< хз. Запишем неравенство в виде (22-22)2 — хз< 0 н разложим левую часть на множители: (сз- Зт+ х) (хз- 2х - х) < 0 нли (хз- х) (хз- Зх) < 0 илв хз (х — 1) х х(х — 3) < О. Решим зго неравенство методом интервалов. Получаем х Е (1; 3!. Глана д, Зада и ааамщеннаи т днаети [бхз — 5ху+ 5у = 105 Имеем: ~7 1 14 . Сложим уравнения системы: 5хе[7у — 14ху = -105 — 5ху+ 5уз+ 7дз — 14ху = 0 или бхз — 19ух«12уз-О.

Решим это однородное квадратное уравнение. считая величину у посюяниой1 19У 1 5[561У вЂ” Заэи 19У 1 11У а х= У У У = — УУ, т.е. х=Зу и х- -у. Подставим ю 1О 5 зти величины во второе уравнение данной системы. в) Если х = Зу, то получаем: уе — 2 Зу у Е 15 - О или уз = 3 и у, = а э)3 и х, 1= — 3 >ГЗ. е 4 3 б) Если х = -у, то имеем: уе — 2- -у у + 15 = 0 или — — уз+ 15- 0 5 5 5 или Уз= 25 и Узе= аб и Уз« = а4. ИВ(Г(1 (ЗЛ: /3), ( — 3>ГЗ1 — Л), (4; 5), (-4; -5). [[х — 1(+ ! у — 2) = 1 12бб) Из первого уравнения системы ~ ~ 1~ 3 выч~у+~х — 1)~ = 3 тем второе: ~ у — 2[- д = — 2 или [у — 2 ~ у — 2.

Очевидно, что решение этого уравнения у-2 > О, т.с. д З 2. Из второго уравнения [ х — 1 ~ = = 3 — у. 'Гак как левая часть неотрицатсльнз, то и кравея часть неотрицвтельнз, т.е. 3 — у > О, откуда у < 3. Пусть у = 1, решим уравнение х — 1~ 3 — 1. Получаем: х — 1--(3 — 1), откуда х-1в(3 — П или х = 4 — 1 и х = 1 — 2.

Итак, решении системы: (4 — 1; 1), (1 — 2; 1), где 1 0 [2; 3). Пудах: (4 — 1; 1), (1 — 2; 1), гДс С Е [2; 3), 128б) Для решения симметричной системы уравнений х+у+ ау = О 1 з з з 12 введем ковыс неизвестные а.=х+у, Ь=ху и х'+у +х у' =12 .учтем, что ха+ уз=(х+ у)Э вЂ” Зху(х-1 д) = па — ЗЬа. Тогда система [а+Ь= 0 имеет вид ~ з 3 Ь Ьз 2. Из нервогс уравнения выразим Ь вЂ” а ),.а — ЗаЬ+ Ь = 12' н подставим во второе уравнение: аз — За( — а)+ (-а)з= 12 или Заз.—. = 12. откуда а - а2. Теперь нейдем Ь = а2.

Ворвемся к старым неизвестным х и у. Получаем системы уравнений. [х + у = 2 э) ~ Из первого урввнсния у-2 — х и подставим во [ху = — 2 второе: х(2-х) — — -2 или 0 = х'-2х — 2. Корни этого уравнения х, = 1 Я,ГЗ, тогдз У, т = 2 — х = 2 — (1 т,ГЗ) = 1 7,)3. [х+у=-2 б) '[ . Из первого уравнения выразим у = — 2 — х и код[лу = 2 З..У енени», не венсенне и еиемелм ставим во второе: «(-2 — «)- 2 или 0-хе т 2х Е 2. Это квадратное уравнение (и система) решений не имеет. П сх2 (1+,(3: 1 —,Га), (1 —,Гз; 1+,(3).

)(«*+ 1)(д'+ 1) =10 1204) В первом уравнении системы ~... 1, рас- ~(х — у) (ху т 1) = — 3 (х +у +хауз+1=10 краем скоОки2 (( )( „1) 3 . Введем новые иеиавестные а-х-у, Ь-ху+1. Учтем, то «у-Ь вЂ” 1 и «2+уз-(х — у)" + 2ху = = ае+ 2(Ь вЂ” 1) ат+ 2Ь вЂ” 2. Тогда система имеет вид: 2 от+ 2Ь вЂ” 2+(Ь вЂ” 1) +1=10 (а +уз=10 или ( .

Умножим второе аЬ = — 3 (аЬ = -3 (а'+ Ьт= П) уравнение на 2: 1 Ь . Сложим п МЫ: 2 2 а +2аЬ+Ь =4 )(аеЬ) =4 или а — 2аЬ+Ь =16 1(о Ь) 10' вычтем уравнения снсте- (с+ Ь= 22 уда (а — Ь = 24' Далее вздс рассмаереть четыре случая. (а + Ь = 2 х †у а) (з Ь 4, откуда а=3, Ь= — 1. Получаем: ', +1 илн «-У=З . Иа первого уравненин выразим х = у+ 3 и подставим «у = -2 во второе: (у+ 3)у = — 2 или у + Зу+ 2 = О, откуда у|= — 1 («2 =2) и у - -2 («2- 1). (а+Ь= 2 (х — у = — 1 6) )~ Ь 4, откуда а -1, Ь 3.

Получаем: ( у 1 3 или х-у =-1 . Из перного уравнения выразим х-у — 1 н подставим «у = 2 во второе: (у — 1)у = 2 или уз — у — 2 = 0, откуда уз- — 1 (хз- — 2) и де= 2 (хе 1). (а + Ь = -2 (« — д = 1 в) )з — у= 4, откуда а 1, Ь вЂ” 3. Получаем: 1«у+1 3 нлн «-д=1 . Из первого уравнения вырааим х у т 1 и подставим ху = -4 во второе: (у+1)д=-4 или уз+у+4=0.

Это уравнение корней не имеет. г оса б. Задами лоемтгммси т мости (атбм-2 (х-дк-3 г) ~ Ь б, откуда а= — 3, Ь= 1. Получаем: ( т( 1 или х — у=-3 . Из первого уравнении выразим х-д — 3 и подставим ао второе: (д — 3)д-О, откуда да= 3 (х = 0) и д = 0 (т,= — 3). Итек, данная система уравнений имеет шесть решений. 0!фа: (2; -И,(1; -2),(-2; -1),(1; 2), (О; 3),(-3; 0). у 5 «у 5 .гу б к у 5 3 запишем в виде 3 ! или 3 2 кг к ° г+ г 1330) Систему гу г у 1 1 у к 1 1 4 3 .

Введем новые неи*всстиыс а - —, Ь =, с = — и полу- 3' к у г 2 1 1 г а+Ь=— 5 б \ о+с=— . Сложим все три уравнения системы: 3 Ьтс=- 2 чим систему 22 1! 2а + 2Ь + 2с - —, откуда а + Ь 1. с = — . Из этого равенства вычтем б б 1! 5 1 первое уравнение: с = — — — — 1, тогда г = — = 1. Аналогично, вы- б б !! г з читая второе и третье уравнения. найдем Ь = — — —, = — = — и б 3 б 2 1 1! 3 2 1 1 д- — -2; а = — — — = — = — и х = — -3. Итак, система имеет 5 б 2 б 3 единственное решение (3; 2; 1).

Щв51: (3; 2; 1). 130) Пусть дано трехзначное число хдз-100х+ 10у ! г (где х — цифра сотен, у — цифра десятков, х — цифра единиц). Так как сумма цифр числа равна 17, то получаем первое уравнение к+ у+г = 17. Сумма квадратов цифр равна 109, поэтому имеем второе уравнение хтч уг+ гз- 109. если из данного числа вычесть гш 2. У зеииз. зз еезсмеа и сесмелм 495, то получитсв число, эапксанное теми же цифрами, но э сб)мтком порядке, зух 1002+ 10у+х. Тогда имеем третье уравнение: 100х+ 10у+ з- 495- 1002+ 10у+ х или 99х — 992 495 или х - г - 5.

х+ у т з = 17 2+уз+хе= 109 Получаем систему ураввеыий У . Иа третьего (х — г = 5 уравнеыия выразим х *+5 и подставим в первое уравыеыне! г+ 5+у+* 17 или у+22 12, откуда у 12 — 22. Подставим х-з+ 5 и у 12 — 22 во второе уравнение системы! (з+ 5)24(12— — 22)2+22 109 или аз+ 10з+ 25+ 144 — 482+422+аз 109 илы бзз- 382+ 60-0 нли Ззз- 192+ 30 О.

Корни этого уравненыя го з 3 и зз- — (не подходит, т.к. г — цыфра). Теперь найдем х з+ 5 = 8 и у 12 — 22 6. Итак, даняое число 863. Я23222 863. 137) Пусть ! (и) — длкиа эсяалатора, х (и/с) — скорость пассажира стжюнтельыо вскалатора, у (м/с) — скорость эскалатора. Так как пассажир спускается по двнжущемуся эскалатору за 24 с, то получаем первое уравнение: ! 24(хо у). По неподвижному эскалатору пассажир сыускзется за 42 с.

Поэтому имеем второе уран)! = 24(я+ у) невке 1 42х. Получили сне!ему уравнений 1 „. Время, за которое ыассшкир спустится, стоя на движущемся эскалаторе, ! рвано ! . Поэтому из системы исключим ыеремеиную х. Для этого первое уравненве умкожнм на 7, второе — на 4! 7! = 168х е 168у 4! 168 . Вычтем иэ первого уравнения ншрое: 3! = 168у, ! 1сз откуда = 56 (с). ()2ппг: 56 с. з 3 140) Пусть портфель стоил х р., авторучка у р. и книга з р. Если бы портфель стоил в 5 раз дешевле Н, автоРучка — в 2 Раза дешевле — и книга — в 2,5 разе дешевле —, то покупка сшнла ~г/ (2,5/ з З з бы 80 р.

Получаем первое уравнение: — т — т — 80 или 2х+ 5у+ 5 2 2.5 +42-800. Если бм портфель стоил в 2 раза дешевле -, книга— ! 2/' 262 Глана д. Задачи насиженной днаеюи в 3 раза дешевле Н, авторучка — в 4 раза дешевле ~-~, то по- (41 (у1 кулка стоила бы 120 р. Имеем второе уравнение: — ° — + — - 120 з е 2 4 3 нли бх + Зу 4 42 - 1440.

Получили систему уравнений 2х + 5у+ 42 = 800 бх+ Зу+ 42 =1440. в которой неизвестных больше, чем уравнений. Найдем стоимость всей покупки, т.е. х 4- у+ х. Для этого сложим уравнения системы: 8х+8у+82=2240, откуда я+ у+ з = 2240 = — - 280 (р.) Теперь надо определить, что стоит дороже: порте Фель или авторучка (х или у). Для этого исключим переменную х. Нз второго уравнения вычтем первое: 4х-2у= 840 или 2х — у= = 320. Заяншем вто равенство в виде: х — р - 320 — х. Так как стоимость всей покупки 280 р.. то очевидно .т с 280. Поэтому величина 320 — х > О. следовательно, х — у > 0 или х > у, т.е.

портФель дороже авторучки. ьпзв22: 280 р., портфель дороже авторучки. 144а) Тек как левая часть уравнения 1 — тх — х =х — 1 неГ4 2 отрицательна, то и правая чжть неотрицательва, т.е..г-1 Э 0 или х>1. Возведем обе части уравнения в квадрат: 1 — тх — х -х'— Г4 2 е — 2х+ 1 илн у» — х" = 2х-хэ или хук — 1=х(2 — х). Выло учтено, что х > 1 и ) х ~ = х. Так как х н О, то разделим обе чести уравнения на х: ук -1= 2 — х.

Леван часть уравнения неотрицательна. ПоГз этому правая чисть также неотрицательна, т.е. 2 — хвО, откуда ' х< 2. Возведем обе части уравнения в квадрат: хе — 1 = 4 — 4х+ хе з 3 нли 4х = 5. откуда х - †. Корень х - — входит в промежуток 4 4 1 4 х я 2 и поэточу является решением денного уравнения. 3 Отвес." 4' 145б) Для решения уравнения ч10 — х — 43 — х = 1 введем нозГ— зев вые неизвестные а= н10 — х и Ь= тЗ вЂ” х.

Получаем первое урввненае а — Ь-1. Возведем величины а н Ь в куб: аз= 10 — х и Ьз=З вЂ” х. Вычтем иа первого равенства второе. Получим второе (а — Ь =1 уравнение: аз — Ьз= 7. Итак. имеем систему уравнений 1 з з 1а — Ь =7' 3. у неман, не еенемеа и гнгтемы зез Из первого уравнения выразим а-Ь+ 1 п подставим во второе: (Ь+ 1)е- Ьз- 7 илп (Ь+ 1- Ь) ДЬ + 1)з+ (Ь+ 1)Ь+ Ьз) - 7 нли ЗЬз+ ЗЬ+ +1=7 или Ьз+Ь вЂ” 2 О. КоРни всего УРавпенин бе=1 и Ьз -2.

Используя равенство Ьз 3 — т, найдем х=З вЂ” Ьз. Получасме х,= =3-1= 2 и хз-3-(-2)а-11. ()ПЮ2: 2 11. 1466) Так как левая часть уравнения Л вЂ” 2 сов - аш х неотрицательпа, то и правая часть должна быть неотрицательной, т.е. з1пх>0. Возведем обе части уравнения в квадрат: 1 — 2совх = -з!озлили 1 — 2созх=! — совах или совах — 2ссзх 0 илп созхх х (соа х — 2) = О. Так как произведение множителей равно нулю, то хотя бы один из них равен нулю. Получаем уравнения. "сов х -0 и сов х — 2-0 (или соз х -2 и ато уравнение решений не имеет). Решая уравнение соа х - 0 с дополнительным условием з!и х > О, поз лучаем х= — +2вл (где л Е г). 3 Щщге х = — е 2ял (где и е з).