kolmogorov-gdz-10-11-2008 (Алгебра и начала математического анализа 10-11 класс - Колмогоров), страница 42

2 02!Ни: доказано. 34а) Преобразуем данное выражение, используя формулы приведения и метод вспомогательного угла. Получаем: ! 1 ! ! ! *- ''2.,ЛГ !* ° )'~..эй ! 4,гэ 4(4!вез'со420'- овес'Мэ20') 4 ив(60'-20') дэ ° в 40 Б вэ 40 (З 4 Язви!' дз ' 346) Преобразуем выражение юпэа+ сааза, разложив его как сумму кубов: эш а+ сааза (юп а) + (соз а)з = (Нп а+ сов!и) х х(в!и" а — в!пта созга+сов а) = (з!п от 2з!пса соэзп+ сов!о)— з з . — Зз!пэпсоаза= (з1пза+сааза)2 — — вгп22а= 1 — — в1п22п. Таким 4 4 1. Числ и и ой хивиния ви х гний 2ЗВ образом, яадо найти юп 2а.

Для итого возведем в квадрат равенство юла+ сова-т. Имеем: в!ива+ 2юп асов а+ соева-юз или (юпз а + амп а) + 2а1п а ссе а = юл илн 1 + аш 2а = тл, откуда аш 2а = з . з = !пз- 1. Тогда ашв а + соав а - 1 — -п!из 2а - 1 — — (!из — 1)з. в 4 Щвкт; 1 — — (тз — 1)'. з 4 Зба) Пусть угол а = агсз!и (в!и 10). Этот угол удовлетиоряет двум и и условиям: юп а - и!и 10 и а Е ~ — —; — !. Учитывая формулы привс- 2 21.

денна. подберем такой угол а= Зк — 10. Проверим условии:ып — . а=юп(Зх — 10>-юп(г — 10>-юп 10 (выполнено). Для оценок можх но принять к= 3,14 и — = 1,57. Тогда а =.Зк -10 =3 ° 3,14- 10 = 2 и п1! = 9,42 — 10 = -0,58. Следователю!о, а Е ~ — —; — ~. (>23К21 Зк — 10. 2 2~ 39а) Во всех логарифмах перейдем к одинаковому основанию и.

1у„и ! 1 Получаем: >об и - — - - и, откуда >ой„х — †. диалогично >се„х 1ие„х и ! ! !вз„ и имеем:!об„у = — и!об„х = †. Тогда 1об,и = Ь " с 1 Е„(хус) 1 1 Ь !са„х+Ыа„ус !а„х ! с ! с 1 Ьс+исв ив и Ь с ивс Ь свссиЬ 406) Используем основное логарифмическое тождество и перейдем в основаниях степеней и логарифмов к числу 2. Получаем: раис у~'"" 2 ийвип* (2!ьи 1) ' и2/ю З =2"и* — 2'"** =2! "в' — 2в'"" =0 (было учтено, что >об ЗьО н >оба 2 ь 0). гудат: О. 42) Преобразуем левую часть равенства, т.к. оиа являетсн суммой бесконечно убывающей геометрической прогрессии с первым пв членом Ь, = 1 и знаменателем Ч = -Ьбр (т.к.

р Е ~01 —;, то (бр Е 41 Ь, Е(0; 1) и (Ч ~ < 1>. Получаем: 1 — 13р+ >йвф — тйзр+ ... =' ! -) свеч 1 ! сев р 42 1 вит ! "' !пт сир - ввпп в — сиво 240 Глава д. Задачи яааытаннай т днасти 1 Т ии В 2 а ве узаавз . Видно, что левая ем они —" а иова —" агав(о Д) гаса(" а О) ' часть равна правой. Следовательно, тождество доказано.

028921 доказано. 47) Используем Формулу длн суммы л первых членов аршрметичсской прогрессии. Из условия Я =За получаем равенство: 2, си( - Ц 2а, +и(а — 1) 2 2 ° ты ' ° л нли 2и ттдслг — дт=2а л+ 1 + с(лг — дл. !1еренесем вса иваны в левую часть н разложим сс оа ивожители; (2и,т — 2а,л)+(в(тг — длг) — (сбл — дл) = 0 нлн 2а,(т — л)+ + с((лс — н).(тч н) — а(т — о) =0 илн (т — л)(йи, од(т+ л)) — О.

Так как т и л (т.е. т — л а 0), то получасы 2а, ! 4(ов + л — 1) — — О. Теперь 2, -и( -а — 1) О найдем сумму Яи „=- ° (т + л) = — ° (си + я) = О. 2 г Отнет: О. 50а) Запишем данную сумму в виде." ( — 19 1-99+ ..т 999.. 9: = — (10 — 1+ 10 9( — ) 91 1( К1(1О -1) 9 — [(10+10 1-...— 10") — л) = — — л~ = 9) Ю! ! +11ч-.. а111..1 = — ! а...+ 10ч — 1") = 1(1О"'- 1О ) !О" а- Ва — Ю 1О"'-оа — 1О 9( 9 ) 81 81 505) Обозначим искомую сумму я-х+2хг+Зхчл-. ьлгч умНажнн Зту СуММу На Хс ЯХ = Хз+ 2ХЗ+ ... + (Л вЂ” 1)Х" Ч. ЛХа '.

ВЫЧтСМ ИЗ Псрзата раасиетаа ВтОрОЕ: Я вЂ” ЯХ = (Х -1- Хз+ ХЗ+ ... + г ) — Лга ' ИЛИ Я(1 — х)= )-лх" .('- ) .. " ---- ".- -"'-( - )'"" а — 1 а — 1 1— 40) Если числа х, у, г (в указанном порядке) образуют геометрическую прогрессию, то их можно записать в виде: у хд и г = хдг (где 1 — знаменатель прогрессии).

Так как чисза х е у, у 1- г, г + х образуют арифметическую прогрессию, то выполняется ес свой. ство: удвоенный средний член равен сумме соседних с иим членов, те. 2(у + г) - (х+ у) + (г+ х) или 2у ь 2г - 2х + у + г или у - г - 2х. 11одставим выражения для у и г и получим: хд+ хдг-2х нли дг+ д — 2- О.

Корпи етого квадратного уравнения: д = 1 и д = — 2. 02(вк: 1; -2. гы 2. Эхсмсима иис иииии и их сиоисмеа ш" '» — (и и 1)х" ч»- х Разделив на (1 — х), найдем сумму Я = ( —.) ( "' — (и 4 1)х" 1) «(их»а — ( .» 1) " ° 1) Щют» Я- (. -1)» (х — 1) й 2. Элементарные функции н ия свойства 6[-. 51в) Область определении функции у = задаетсв усло»б 2« ([х[ — х > 0 виями: [ 2 . Решении первого неравенства — любые знв[152х а 0 чения х. Из второго неравенства получаем 2х а — и (где л Е зй от- 2 и и куда х а — л.

Цтвбу: х и — и, где и Е и. 4 О.бх 51в) Область определения функции д=, задается ус)«» -1 ( — 1 < 0.5«Я 1 павиями [ 2 . Решан этн неравенства, пояучасм» [х -1>0 е [-21 2] 1),»(1 1, откуда х Е (-2; -1) О (1: 2). ! обь: (-2; -П ш И; 2). 51д) Область определения функции у = (одэ „,«сов х задаотся ус- совх > О 26!г х > 0 или ловиямн [2вшха1 соя х > 0 61пх > 0 Первым двум неравенствам а!пх и— 2 и и и ния П(у)= ~2яи; — и 2лл)»»[ — и 2ял; — «2ял~, где л е х.

6» [б 2 и (и и Пулат» [2лл1 — ь 2ял~о( — 4-2ял; — и 2ял), где л е з. 6 ) [б 2 соответствуют углы х, расположенные в первой четверти. т.е. и 1 и 0<« < †. В этом промежутке ашх- —, при х= †. Учтем перно. 2 2 6 днчность функций синус и косинус. Получаем область опрсдсле- Глони Б. Задачи иооышенноа и двое ни 242 52б) Так как область определеии» функции у = ~(х) — отрезок [-1; 2!. то область определенна функции у=!(х-~-1) задается условием: — 1 э х+ 1< 2. Вычитая из всех частей неравенства число 1, найдем: — 2< и< 1.

Отвал: [ — 2: 1!. 53а) Для нахождения области значений фуншьии у=совгх — совх обозначим г=совх, где гЕ[ — 1; 1!. Тогда функция имеет внд у = гэ — г. Схем»- тично изобразим график атой функции (парабола!. Видно, что при изменении г в промежутке [-1; Ц функция у мени- ! ется в промежутке ~- —; 2 что и нв- --; 21. плетен обчастью значений данной фувкции. Яэлех ббб) Найдем область определения функции [(х)=!оу (х+ +,]х 41]) Она задается условием х+ )х241 ь О. реьчаи эю пе[ г равенство, получим х Е й — симметричное мнч жество. Найдем ](-х) = !об„~ — х+)Г( — х )41) = !об,(-и+ч(х -1~= (-г. 47е!)(",(г -!) = 1об, + 4ечи ! = — !об„(х4 4]х + 1) = -г(х).

таким образом, получили г( — «) = = -г(х!. Слеловательно, функция 7(х] иечстнан (па определению). Отщт: нечетная. 53в) Дли нахождения области значений функции у= Зсавх— — 4юп х — 1 преабразуеи ее, используя метод вспомогательною угла. (3 4 Получзсмч у = 5(-савх - — в!ох)- 1 = 5(сов чр сов х-в1п р в!и х )— (5 5 3 . 4 — 1-5соэ(х+ф) — 1. Так как совр — и з!и д —, то выполняется 5 5 основное тригонометрическое тождество. Очевидно, чта -1 < соэ (х ! чр) С 1.

Умножим все части этого неравенства на положительное число 5. Прн этом знак неравенства сохраняется: -5<беем(и+ р]С 5. От всех частей вычтем число 1 и получим: — б< 5сае(и+ р)-1<4 или -б< у< 4. что н является абдастью значений Е(у), ьцгюх: [-б: 4!. гез г. Элеленти ние линии и их еееаетее 60в] Докажем, что функция /(х) = юп хг не является периодической. Предположим, что зта функция периодическая с лериодои Т. Тогда должно выполняться равенство Дх + Т) = 1(х) нли мп (х + Т)" = =а!и хе. Перенесем член в левую часть а!и (х+ Т)2 — а1пхе=О н ( еТ) — (е еТ) е е' преобразуем се в произведение: 2э1п соз = О. 2 2 Произведение множителей раино нулю, если один из ннх равен нулю. Рассмотрим зти случаи.

(». т)" (е е Т)' а) тп = О, откуда 2 2 =хи или 112хт18= 2кл или Тг+ 2хТ вЂ” 2хл О. Решаа ато квадратное уравнение, найдем Т - — х = ч х + 2хл . Видно, что Т не является числом (зависит от х) и не может быть периодом. (е+Т)'.. (* ° Т) е е" е б) сов 2 = О, откуда = — + хл илн (х+ Т)е+ 2 2 ° "= ( ° > и+ е- е сь-е — * 11 1-*'. Видно, что Т ис явлистсн числом и нс может быть периодом.

Таким образом. денная функции не ивлиется периодической. Цгепг: доказано. 63а) Сравним числа !о823 и 1обз8. Для етого сначала сравним 3 е числа с числом —. ПолУчзем: 3> 2' -2сег и !об 3>!а822!2- 3 е 3 3 = —; 8< 5* =5 еб н !о698<1об 5/5- —. Имеем: 1об 3» — г' Ь 1 г г >1ой 8. Яудд21 !о623 > 1ой 8. 636) Для сравнения чисел !о6910 н !8 11 учтем, что эти числа 1г 11 положительные и найдем их отношение =!611 169.

Для 1ев„го оценки этого произведения используем неравенство дли среднего арифметического н среднею геометрического чисел: т)!а11 !69 < < 1г!1 е 199 М(11 9) 1и99 1г!ОО 2 = — < — = — = 1. Тек как 6!811 ° !69 <1, 2 2 2 2 2 1211 то н!611 ° !39 <1, тс. — „„, < 1.

откуда 1811 < 1о8910. Ж~: !811 1б 10. 65) Пусть функция д Т(х) возрастает, т.е. если хг>х, то и ((х ) > Дх,). Рассмотрим функцию у(х) г/(х) в точках хг и хт Разность значекий функции в этих точках: у(х,) — р(х ) = АТ(хг)— гаи Гласа д. Задачи ооаншсннои т д ости — й((«1) й(Г(хг) — /(«1)). Второи множитель!(х ) — 1(«1) > О, поэтому знак произведения определяется знаком й: при й > 0 функции у = Щт) возрастает, при й < 0 — убывает. Ягййг: прн й > 0 возрастающая, при й < 0 убывающая функция.

бба) Для функции 1(х) = ах+ Ь нейдем 1(/(х)) = Дах+ Ь) = -а(ах+у)+Ь= а х + Ь(а+ 1). По условию задачи Дг(х)) = 1(х) для любою «, т.е. агх+ Ь(а+ 1) = ах 4-Ь. Для выполнения этого равенства необходимо, чтобы коэффициенты при х и свободные члены )а на 1а(а-!) »0 были Рэвны. ПолУчим Ураввенил: ~Ь(и 41) Ь или ~ Ь Такая система имеет два решении: а = О, Ь 6 А (тогдз У(х)-Ь) в а = 1, Ь = 0 (тогда Д(х) = «). Ягэцг: Дх) = Ь и Дх) = х.