kolmogorov-gdz-10-11-2008 (Алгебра и начала математического анализа 10-11 класс - Колмогоров), страница 44

Знаменатель равен нулю, если 22 е уз — 1 = О (окружность радиуса 1 с центром в начале координат). Построим эти линии. Линии разбили координатную плоскость ва ряд областей. Легко проверить, что координаты тачки А (О; 2) О' -2* удовлетворяют неравенству , , к О. А О' + 2' - ! Далее используем метод интервалов: при переходе в каждую соседнюю область знак выражения,, меняется на противопох' + р — ! -1 х ложный.

Штриховкой показаны искомые точки. При этом точки окружности не входят, т.к. знаменатель дроби не должен равняться нулю. Щват: см. решение. 94в) Так как абе части неравенства Чх + д >(х( неогрицательны, то возведем их в квадрат. При этом знак неравенства е ме яется: хзуэ! )2. у~~ш что (тР= .= 22.

Тогда получаем: д>хл- х. Построим множество таких точек. Щветг см. решение. 96е) Сначала вместо неравенства в!и х > юп у рассмотрим равенство мп х - мп у н найлем более простую связь между переменными х и д. Перенесем все члены в правую часть и преобразуем ее в про- нзведенне. Получаем: О - в!и у — э!и х или 2а1п — соэ — = О. р-к д к 2 2 Рассмотрим лва случая: Г»аеа д. Задачи нааыю»ннаа т дна»ми 252 а) в!и — = О, тогда — - ял, откуда у - х+ 2хл (л 6 2). и» и 2 2 у» у-»» б) сов — =О, тогда — - — +пй, откуда у--х+к(22» 1), 2 2 2 где 2 Н х. Построим прямые д-х+ 2хп и у — хек(22 т 1). Зги прямые разбили координатную плоскость на отдельные квадраты.

Напри(д и) мер, координаты точки А ~ : ( удовлетворяют неравенству (2 2) юп х > вш у. Поэтому все точки этого квадрата также удовлетворяют неравенству. Учтем метод интервалов: лри пересечении границ знак неравенства меннется нв противоположный. Искомые точки отмечены штриховкой. Так квк неравенство строгое, то границы в требуемое множество точек не входят. атее»2 ом. решение. Обвс) Для равенства ппп(х; д) = 1 рассмотрим два случая. з) Если х < у, то наименьшее из чисел х и у число х и оно равно 1, т.е. х 1. б) Если х>у, то наименьшее из чисел х и у число у и оио равно 1, т.е. д =.

1. Таким образом, надо построить прнмую х 1 (если х<у или 1 ад) н прямую у=-1 (если х > д или х > 1). Итак, множество точек угла АЕС удовлетворнют равенству шш (х; у) = 1. ЯтдсХ: см. решение. 3. У чгчил, яс есьстеа и системы 223 б 3. Уравнения,неравенства н системы буа) Чтобы квадратное уравнение хз — 2(а — 1) х + 2а + 1 = 0 имело решение, недо чтобы его дискриминант О - 4(а — 1)2 — 4(2а + 1) = 4(аз — 4а) =4а(а — 4) был неотрицательным. Решая это неравенство, находим а 6 (; 0) О [4; ). По формулам Виста произведение корней уравнения равно свободному члену 2о+ 1.

Если корни имеют разные знаки, то 2а + 1 < О, 1 т.с. а < — —. 2 Теперь найдем значения а, цри которых оба корня данного уравнения положительвы. Рассмотрим квадратичную функцию у = хт — 2(а — 1)х + е 2о + 1. Ее граФикам является парабола, направленная ветвями вверх. Если точки пересечения (корни уравнения) х, и х„положительны, то выполняютсн дэа условия; значение функции при х-0 положительно (т.е. у(0) > 0) и абсцисса вершины параболы положительна (т.е. х,> 0).

Запишем эти условия через коэффициенты уравнения: 2ат 1 >0 и а — 1 > О, откуда и > 1. Учитывая, что уравнение имеет корин при а 6 ( —; 0[ О [4: ), находим 1 а > 4. Аналогично находим, что при — — < о < 0 корни уравнения от- 2 рицательны. Отвдт; имеет реп~ения при а 6 (-; 0) О [4; ); корпи имеют разные знаки при а 6 '[=-: ); корни положительны при а 6 [4; ) 2)' 1 н отрицательны при а 6 ~ — —; 0~.

100а) Пусть х, и х корпи квадратного уравнения хз — 4х 1 р --О. По условию х + хз= 16. По бюрмулам Виста: х, 1- х. = 4 и х,х. '- р. Поэтому для нахождении параметра р пало найти произведение корней. Равенство х, ч х„= 4 возведем в квадрат: х,г+ 2х,х, ч т хз=-16 илн (хз+ хз) + 2хх = 16 и используем условие х; + х„з =. 16. Тагла получаем: 16 ' 22 х.

— 1б. откуда «ха =- 0 =- р. аулах: Р = О. 101) Если уравнение ахз+ Ьх т с = 0 нс имеет лсйствительных корней, то выражение охзе Ьх ч-с имеет олин и тот же знак при всех значениях х. Определим этот знак. Выражение а + 6+св Глава д. Задачи вовишенной и дноеми значение выражения а«э+ Ьх+ с при х = 1. Так как по условию а + Ь + с < О, то и величина ахг+ Ьх + с < 0 при всех х. Так квк с— значение выражения ахг+ Ьх -1-с при х -О, то с < О. Жввге с<0.

104а) Вели кубическое уравнение 2хз — хг+х+1 0 имеет ра- Р циональный корень х, то р — делитель свабодвого члена 1 о и 4 — делитель старшего коэффициента 2. Поэтому корни уравне- 1 ! ния наго искать среди чисел а11 — †. Проверим, что х = — —, — ког' о чз 12 рень уравнения: 2 ~ — — ~ — ! — — ~ — — +1 = — — — — — — +1 = 0 — веР- 2 ( 2 2 4 4 2 нос равенство. 1 Разделим уголком многочлен 2хз — хг+ х+ 1 на двучлен х+— 2 (т.е. на х — х ). Получаем: 2х — хг+ х+ 1 «+в з 1 г 2«з ч- «г 2х2 2хт2 — 2«1 .1.

х -2хг- х 2« '-1 2х4- 1 0 Таким образом, левую честь данного уравнения можно разложить на множители: 2хз- хл+ х -1- 1 = (х + — ~ (2хг — 2х ч- 2). Теперь надо 2! решить квадратное уравнение 2хг — 2х+ 2 = О. Оно корней не имеет, т.к. его дискриминант отрицательный. Поэтому данное куби- 1 1 чсское уравнение имеет один корень х - — †. Щавг: — —. 2 г' 105а) Для решения уравнения (х + 1) (х + 2) (х + 4) (х + 5) = 40 изменим порядок умножения скобок: (х 4-1) (х+ 5) (х+ 2) [х а 4) = = 40. Перемножим первые две и последние две скобки: (хл+ бх+ + 5)(«го Ох+8) =40. Введем новую неизвестную с-хе+ бх н получим уравнение: (1+ 5)(ге 8) =40 или ггт 131+40 40 или 1(1+ 13) -О. Корни этого уравнения 1, = 0 и 1 = — 13. Вернемся к старой неизвестной х.

Имеем двэ уравнении. а) «2+ бх= О или«(х-1-б)-0, откуда х,-Ои х --б. 3.У ааисии ис еаистаа и системы 233 б) хг+ бх - — 13 или хг+ бх+ 13 = О, Это квадратное уравнение корней не имеет, т.к. дискриминант отрицательный. Яувву: 0; -б. 1056) При решении уравнения (х — 1)4+(х+ 3)'-242(х+ 1) введем новую неизвестную ! = х 4-1. Получасы уравнение: (! — 2)ит +(1+ 2)4= 242!. Используя бином Ньютона, возведем двучлены в левой части в пятую степень и приведем подобныо члены.

Имеем урапнениес 2(!44 10!" ° 22+ б! ° 24) = 242! или !4+ 40!3+ 80! = 121! или !(!44-40!г — 41)-О. Одно решение сгчевидно 1,-О. Решая биквадратное уравнение !" 4-40Н вЂ” 41 —.О, найдем !г-. 1 (корни ! =. — 1) и !г = -4 (решений иет). Всрненси к старой неизвестной х. Имеем три уравнения; х+ 1 = =0 (откуда х,= — 1), х 4-1 = 1 (тогда х = 0) и к!.

1 = -1 (откуда х = -2). Итак, уравнение имеет три корня. ьпщт1 — 1; О; -2. 1076) Легко проверить, что значение х 0 не является корнем б' 11х уравиенив , + , = 2. Разделим числитель и зиаиех'4 2х+ 3 хгт тк 3 б 11 нагель дробей иа х. Имеем: ~+ ~=2. Введем новую 3 б 11 неизвестную ! = х + — и получим уравнение: — + — = 2 илв 442 14 7 б(1+ 7)+ 1Ц!+ 2) = 2(1+ 2)(!+ 7) или 171+ 64 = 2И+ 181+ 28 или э 0=. 2!г 4- ! — 36. Корни этого кшщратного уравнения 1, = 4 и ! =- — —,. Вернемся к старой неизвестной х. Имеем два уравнения. з а) к Ь вЂ” = 4 или хг - 4х + 3 - О, откуда х1 - 1 и хг 3.

а э -з+ 733 6) х + — = — — или 2хх+ Ок + б = О, откуда х к 2 3.4 -З к ъзз 4 1086) Убедимся, что значение х = 0 пе является нарвем уравне«на 2хх+ хг — Зкг+ х + 2 = О. Разделим все члены на кг и сгруппи- 1 2 руем члены: 2кг+ к — 3 + — + =, = 0 или 2 ~ к + —, !+ ~ х т - ! — 3 = к к ! = О. Введем новую неизвестную ! =х+ — и возведем ее в квад- 1 г ' г рат1 И= хг+ 2+ —,, откуда хг+ —, = !г — 2. тогда уравнение имеет вид: 2(Н-2) 1 !-3 =-0 или 2!г+ ! — 7 =-О.

Корни этого уравнения -1+ Ьт — Вернемся к старой неизвестной х. Имеем уравне- 4 255 Глава 8. Задачи иовышеннои т ности 1 ниег 1 = х+ — или О =хз — 12+ 1, корни которого х= х 2 -1*451* 48*24(57 Подставив значения 1, нейдем: х- ', т.е, х . = -1 Ь7 х 4Г43 т 24(57 -1 — 657 2 х)48 т 24ит 8 3.4 8 -1+ (57 з (гвв х 2457 -1 — Ьт * Дв 24(57 8 8 уравнения. -хГ2+ )244(1 есз) корни а) х т»Г22 -1- 1 —,(2 =. О 4221~4Д-2 б) х. —,(2 х .1- 1 т,(2 -. О, корней не имеет, т.к. диск рими вант от.

рнцательный. Г? — 12 4 2442 — 2 2 л 112а) Уравнение тхе- —, = 7 запишем в виде хз+ (1 (3 хе = 7 и в невой части выделим полный кв2драт равности выражений: ~- ) 2 х — 22 — + ~ — ~ 4- — = 7 илн 1х — — ~ о — = 7 илв зхх ~з.х~ 3.. 2 х) Зхх ~1 х х' х' — ~ +6 — — 7 = 0. Введем новую неизвестную 1= и позех~ 34х 2-» лучим квадратное уравнение 14 т 61 — 7 = О, корни которого 1, = -7 и 1 = 1.

Вернемся к старой неизвестной х.Имеем уравнения. х' в) —, = — 7 или 24+ 7х+21 О. Это уравнение корней не 3 имеет, т.к. дискримииант отрицательный. 110а) В уравнении х4+ 4х — 1 = 0 разложим левую часть на множители. используя формулу для разнести квадратов: (хх+ 2хх+ + 1)-(2хз-42+ 2)-0 или (хзе-1)2 — (,(22-,(2)2-0 и и (лев 1+ +тгйх — тГ2)(хз+ 1 — нс22+«~2) -О.

Произведение множителей рав. но нулю, если один вз них равен нулю. Имеем два квадратных 3. У мазал. яа алатас з системы Вгвш: (11 3). 120а) Для доказательства неравенства аз+ ьз+сзгсь+ ос+ ьс используем неравенство между средним арифметическим и сред- а аЬ г— а' аЬ' ннм геометрическим — л ось (а ь О. ь г О). Получзему— 2 2 а' + ь' Ька с а как э к(сгьз (аь!ьаь. имезм1 — гсь, — гьс, — гос. по- 2 ' г * г а +Ь Ькк алеппо сложим зти три неравенства одного знака: — +— 2 2 а* а' + — ЗЕЬ+ ЬС+ ОС ИЛИ Се+ Ьу+Сз > ЗЬ+СС а ЬС. ПРИЧЕМ НЕра- 2 зенстзо становится равенством только прн е - Ь = с.