alimov-11-2007-gdz- (Алгебра - 10-11 класс - Алимов), страница 9

Тк. точна с координатами 10;!) принадлежит касательной, то 1=10 — х„г, откуда х, =х3. Те. касательные: у=-Ох+1 н у = бх+ 1. Из рис. 174 сяедуст, что исигмвя площадь равна г с г Я = /(хг +10))х- /(-ба+1)йт-/(бе+1))х = 268 Глава Х. Интеграл (№№ 1024-1025) (ук 1 "4 /'пг 175 =1 — э(0« +(Зх -«( -(3«+х( =9+30-9+30-27-3-27-3=18. Ответ: 18. г) пп ° . и. 1024.фгггураограиичсналиниямн у=х'4(.у=О «=0 х=(.1(айгцточку (х„; у ) графика функции у = х' +1.

чсреэ которую нужно провести касатстьную к этому графику тач, чтобы она отсекала от фигуры трапецию наибольшей плошали. Решение: общий вид уравнения касагсльной к графнку 7'(х)=хг+1 н точке (х,;уь): у=2т„(г —.т )чх„'+1, у =2хч х+(1 — т„), ои псрссска- ( «о 2 от ось ОХ в точке А ь;01. Тс. необходимо 0<«в <1 (иначе иско- 2«, мая фигура нс трапеция, см. рис 175). Плошадь трапеции 5(х„)=)(2ть.хь(1-«ь ))(т=(хт.х'ь(! — «я Ц =-х„.гх„-г!. Максня мум этой функции досгншстся в тэчкс «я=Я (вершина ггорабачы (1 1) у=-х -в«+1). Ответ: —:1 — . (2 4! 059. Применение производной и интеграла к решению нрантичеених задач 1025. Указание: пусь 5, пройденный телом эа промежуток времени [гб г,) равен Я = ) ь(Г)(г . 269 Упражнения к главе Х (№№ 1026 — 1033) 1026.

Указанисг начато движение соответствует моменту времени г, = О. А остановкасоатвстствуетмоменту времени г,,тс. т(гт)=О,откуда т, =4. Тогда 3 = ) (41 — тт )(г . 1027. 1) у'=3-4х. Решение: функция у(х) сеть псрваобразиая функции 3-4х,тс. у(х) =Зз:-2х'+С Се К. Ответ: у(х) = Зх-2х +С Се К. 2)-6) анаяогично ! ). 1028. 1) у'=я|их, у(0) =О. Решение: у(х) есть псрвоабразная функции ып х, т с. у(х) = — сов х+ С .

Т к. у(0) = О, то С = !. Оз вот: у = -сов я +1. 2)-4) анвпагично 1). 5) Ушзание: у(х) = е' + С, тогда е' + С = 1, откуда С = 1 — е. 6) Указание: у(х)=-с *+С,тогда -е +С=2,откуда С=3. 1029. Указание: у* = -С,агз созгат -С,ы' ми пи, подставьтс зто значение в выражение у +ш у. 1030. Указание; мы ишам период поаурвспада Радия Т. Тогда ио формуле из 159 м(т)=т,.2, тс. 0,999=1 2 ", откуда |об 0999= —, -/т -0' 10 У = — 6928 яет. Ответ: примерно 6928 дсз: |с8,0,999 1031, 1032. Аналогично задаче 4 159.

Упражнения и главе Х 1033. 1) у(х)=сазх,М(0;-2). Решение: первообразиая У(х) =ЫпхеС. Тогда г(О)=ь|п04С=О+С=-2,отскша С=-2.Ответ: Е(х)=з!пх-2. 2) /(х]=мпх, М(-х; 0). Решение: псрваабразиая Е(х) = — созе+С. Тогда У( — и) =-сацг — тг)+С=|+С=О, отсюда С =-1. Огаст; У(х) = — соьг-!. 3) у(х) = —.М(4;5). Решение: псрвообразная Р(х) =2з)к+С. Тоша 1 ,6" У(4)=2зГ4+С =4+С=5,отсюда С =1.

Ответ: У(х)= 2з(х+1. 4) т(х)=с*,М(0;2). Решенно: первообразная г(х)=е'+С. Тогда У(О)=е" +С=1-!С=2,отсиша С=|.Ответ: Е(х) =с*+1. Глава Х. Интеграл ~№тб 1034-1035) 5) Г(х) = Зх' +1, М(1; -2). Решение; первообрвзная Е(к) "- хз + хе С . Тогда Р(1)=2+С -2,отсюда С=-4.Ответ: г(х)=х'+к-4. б) /(х)=2-2х,М(2;3). Реюсние: псрвообрвзнаа К(х)=2х-ха+С. Тогда Г(2)=4-4+С=3,отсюда С=3.

Ответ: Р(х) =2х — х +3. г !034. 1) ) 2гй =2з~, =4+2 =6; 1 2) )(3 — х)й=~Зх — х ~ =6 — 2+6+2=12; 1 2 г ! (з „~Ь...Ь ~".3 (,,~И,~ ь, 4) )(2к-Зх')й=(х'-х'~ =0-(1+1)=-21 5) )((хбх=)х гбг=-х)( =-(2'-1 )= — = —; 4 ~, 4 4 4 2 ей г 6) Указание: ) —, = ~ х '~й . ~к )х 7) Ухазание: ) ссзхгй = з(их)гз 1035. 1] Уюзание: 5 =)г 6сй =)гх)гсй. 5( 2) Увюанне: б = ) соз хгй . ! ! 3) Указание: б = )(2-х)й-) х'гй.

Сч. рнс. 176. 4) Указвнисг б = ) (05х+ 1 5)й - ) 2хггй . См. рнс. 177. \4 )з Провара ссйа) 1. Указание: нроверьте, что Р'(к) = Г(х) при всех хн К . 2. Увазанис: Щ=хг+хг -Зх+С; Р(1) =-2. 271 Упражнения к зяапе Х ()бьй!036-1037) Рпи!76 Рис. 177 3. 1) )Зх'й=-х'~ =!2 — =11-; 2) ) —,= — ~ 4 )з 4 4,х' х)з 4 2 4' 3) )сояхзй=язпх("=1-0=1; 4))в)п2кзй= — оов2~ =-1. 4.

1) Указание: 5 = ) (х' ах-6)й; -з з 2) Указание; Я = ) 10зй -) (ха + 17й . -з -з 1036. 1) )(Зх'-бх'~!)х=(х' — Зх'~ =1 — 2=-1; з з 2) ((бк — 5х)й= -х --х =24-10- --- =15; )2 2 ~, )2 2~ '\ ! 3) ) lл~ 3 — ~бх=)(Зхб-7х з ~Ыс=~ 2хз -1«х)~ =!6-28-(2-14)=0; х з Чв «) )«нх)1- — )й=» «х)-16 ' = зх -3 )бх ~ =48-3.32+45=-3; з 5) ) з)хе)й =) (х+1))з й = — (к+) )зз = — (8-1)= —; в в 3 1, 3 3 6) ) 72х-Ззй=)(2х-37)ззй=-(Зх-З))з~ =-(27-1)= —; 1,1 1 26 3 1, 3 3' 1037. 1) Ухазание: (- к+ — = -я) х+— Ь '( 272 Глана Х. Иитсзрал (№Уа 1038-! 039) .(.. Х Рлг 178 Ри )ка 2) Указание: (-ып з.— — от= — ео.

х —— ';,3' ~' 3) 3 "( 3(,' 3) Указание, ) За!п(Зх — бк)х = -соз(Зх -б(, . 3 4) Указание: ) йсоз(4т-!23)х=2яп(4т-!2( . е 1038. Решение: найдем координаты точек пересечения графиков функций и 4к. )' =4х, 4к =1, озкуда х48 )г . Тогда (см, рис, 178) /2' ! з)у ~ ! 1 1 1 5=)схсй+)-з)х=2тз)зе)пз( =-+)п1-1п-=-+!п2.Ответ: — е!п2. 'о й 2 2 2 ' '2 2) Аншюгично 1), см. рис. ! 79. 3) Указание: найдем точки пересечения: х' = 2 72х, к = Ох, х(хз -8) = О, т.с. к=О и к=2 См.рис 180. Аналогично!). 4) Аналогично 3).

1039. 1) Решение: найдем координаты точек псрсссчсниа графиков х'-бт+9=х +4к+4. 1Ох=5, х= 1/. Тогла (см. рис 18!) .'2 ' 5=)(хе2)тпхе/(х-3)та!гы + = — =1О— (х+ 2)'! ' (т -3)'( 125 5 -з 3, 3, 12 !2. Отвст: 10 —. 5 !2 2) Аншюгично 1). См. рис. ! 82. 273 Упражнения к главе Х (Хз)8 1040-1041) Рм, ИЗ Рш /82 Ри И/ 3 Ргк /84 /'нг /84 Рхг ИЗ 3) Лназогнчно 1). Сч. рис. 183. 4) Решение: найдем «оординагы точек псрссечсннв графиков: т/х = з/4-Зт . з = 4-3х, откуда х = 1. Тогла (см. рис. 184) 8=) /ттй+!ч4 — 3»тй= — х з~ — -(4 — 3»/'т1 = — + — = —.(Зтвст: —. 3 ~т 9 ~~ 3 9 9 9 1040. 1) Указание: уравнение касашльной к графику функции у = хт — 2х+ 2 в точке (О; 2) имеет инл у=-2х+2.

Из рнс. 185 внлно, что ! 8 =/(х'-2»+2//т — /( — 2»ь2(й. т т 2) Указание; уравнение касательной к графику функции у = 4/г в точке г.т 4 (2; 2) имеет вид у =4-», см. рис. 186. 8 =) — тй-) (4-х)й. тх т 1041. 1) у = х' -3»' -9»+1,»=О,Р= б, х< О. Решение: Исследуем функцию у(х) иа экстремум: у(х)=3»т-бх-9=3(х-ЗЛ»з1).

Те, в точке 274 Глава Х. Йитсграл (Ню 1042) (4>0 <0 -9х+1 Рггг. /88 Рггг. Г81 х = — 1 функции имеет максимум, у(-1) в б. Следовательно (ем, рис. в в ( з з т. (к 9х ! 87) 5= (бг(х- ((г -3» — 9х !мг=б- — -х — +х г 1 9 = б+ — + 1 — -1 = 1 75. Ответ: 1,75. 4 2 2) Аналогично ! ). !042. Увазаиис; аналогично заааче 1024, см. рис. !88. Упражнения для итогового повторения курса алгебры и начал анализа 1. Числа и алгебраические иреобразованиа 1043.Найтн25%от32.

Решение: искомоечислоравно 25 00! 32=008. О: О,О8. 1044. Найти число, сели 42% его составляют 12,6. Решение: пусть х — искомое число, тогда О 4?г = ! 2 6. Откупа х =! 2 6: О 42 = ЗО. Ответ: 30, 1045. Какой процент состаыяст 1,3 ог 39? Решение: пусть х — пропел« тогда 39 — = !3 . Откупа х = 13 100: 39 = 3-'/ . Ответ: 3-% . х 1 1, !оо '' ' 3' 1046. Сколько процентов составляет 466 от! 165? Решение: пусть у — про- нент, тогда 466 = — 1 165 . Откуда у = 100. 466: 1165 = 400% . 100 Ответ: 40!Р/ь. 1048. Найти !80% от 7 5.

Решение: искомое число равно !80:100 7 5 =13 5. Ответ: 13,5. 1049. Решение: пусть изначально товар стоил к, тогда поыс первою снижения цены его цена стала «-О 24« = О 76х. После второю снижения цены цена составила 076«-О 5.0 76« = О 38«. Те. новая цена составилв 38% от прежней, значит цена снизилась на 100/ — 38% = 62%. Ответ: 62%, 1050. Решение: масса сплава равна 18 ь 6 + 36 = 60 кг. Тогда 18 кг пинка составляют !8: 60 !00 = ЗО/ сплава; 6 кг олова сотавляют 6:60 100=!0% сллаы;а 36 кг меди 36:60 100=60%.

Ответ: 30 д, ! 0% и 60%. 1051. Решение: пусть « — сюимость товара, тоиа !исходы по перевозке со- 3942 ставляют О 08х. Откуда 3942 = х+ О Ойх, те. х = — = 3650. 1+ 0,08 Ответ: 3650 р. Упражнения лля итогоного повторения (№Л'. 1052-1059) 1052. Решение. обьсч пирамилы равен ~3 ЬЯ, глс й — высота, а 5 — плошадь 1/ основания. Откупа объем новой пирамиды равен: ,(УЗ"'ь.'13 =Х" " ' Те независимо от начальных параметров, объем пирамиды увеличится па 21%. Ответ; 21%. 1653. Решение пусть х -данное число,то«да существует целое число 1, такое чта к = 724 + 68. Откуа я=12 61+12 5+8=12(68 +5)+8. Тк. 61+ 5 и Х, то остаток отделения х на 12 равен 8.