alimov-11-2007-gdz- (Алгебра - 10-11 класс - Алимов), страница 5

— + — <х< — + —, за 2,. 6 6 !8 3 !8 3 л 2га) 7к 2гуг ° Аналогично у'<Осьзш3«>1 аз — — <т< — + —,(гаХ. 18 3 18 3 — 7« 2яй л 2яй Ответ: функция возрастает при — + — < х < — + —; 18 3 !8 3 л 2лй 7л 2яй функция убывает при †+ †< « < †+ †, Ь н Х . 18 3 18 3 906. Иэсбриить эскиз графика непрерывной функции у = у(х), определенной иа отрезке ]а; Ь], если: 1) а = -2, Ь = 6, у"(-2) = -1,г(6) = 5,г"(3) = О! Г(3) = 0 / (х) > О при — 2 < «< 3; ~(х) с 0 при 3 < х < 6 . 234 Глава 1Х.

Производная в исслсловании функций (№Тя 907-909) Решение: так как на отрезке ( — 2; 6] всшау существует произвопная у(х), то функция принимает на ( — 2; 6) коночные значение. Кроме того, г'(х) возрастает при — 2<х<3 и убывает при 3<к<6, но у(З) <у(6), а это противоречит тому, что „Г(х) убывает при 3<к<6. Ответ: тшшй функции на существует. 2) Анаяогично залаче 90 ! (см.

Ряс. 118) Рнг. Пб 907. При каких значенияк а функция возрастает иа нсей числовой прямой: 1) у =хэ-ах. Решение: у =Зхт -а. Нсобхолимо Зхг -и>0 при вссхк, тс а<0. Ответ; а50. 2) Указание: аналогично 1), необхолимо а — сов х > 0 при всех х.

908. При каких значениях а функция у = к'-2х +ах возрастает «а всей числовой прячойу Решение: у'=Зх' — 4х+а. необходимо у'>О при всех кц й. Это вы- 4 4 полнястся,ссзи ))=16 — 12и<О,тс. и> —.Ответ: а> —. 3 3 909. При каких значмшях а функция у = ах'+За' — 2х+5 убывает на всей числовой прячойу Рсшснищ у'=Зах'+бх-2. Необходимо у'<0 при всек «е й .

Зто вы- аолияется, если а < О и Р = 36+ 24а < О, т с. и 5 -!5 . Ответ: и < -1 5 . 850. Экстремумы функции Основные пенятня: Точка х, называется точкой максимума (мнянмума) функции /(х), если существует такая окрестность точки кь, что лля воск х и х нэ этой окрестности выполняема неравенство у(х) <у (х„)(у (х) >Я(хь]). Точки минимума и максимума называются экгшргмияьиьи н точками.

Теорема 1 Если х — точка экстремума лнффсрснцнрусмой функции у"(х), то у"(х, ) = 0. 950. Экстремумы функции ()Ьуй 910-913) 235 Теорема 2 Пусть функция 1(х) лиффсренцируемв на интервале (и; Ь), х и (аг Ь) и /'(хг ) = О, Тогда: а) если при переходе через точку х, /"(х) меняет знак с еплюса» на «МИНУС», тО тОЧКа Хе -тОЧКВ МаКСИМУМа ФУНКЦИИ 3 (Х) ! б) осли прн персхолс через точку х, /"(х) меняет знак с «минуса» на «плюс»,гогочка х — точкачиннмумафуикции /(х). 910 Ответ: хе = -5 к, =1 к» = 5 -точки максимума, к, = -2 «» = 3 — точки минимума. 911.Отвес х» = 7, х» = 4, х, =-3.

-25х» 5-1 хь =1, к» вЂ” — 3 и х» 4 — критические точки. 912. Найти стационарные точки функции. 1), 2) аналогично 3) н 4). 3) у = е'* -2е'. Решение: нсобколимо решить уравнение у' = О, то есть 2е"-2е' =0; 2е'(е'-1)»0. Тк. е'>О, то уравнение равносильно уравнению е' =1, к=О.Ответ: я=О. 4) у=них-соях, Решение: необходимо решить уравнение у' О, ке. и) к к 3к цпх+соях=О: Г2со~х — =О, откуда х — = — ьгугг х= — +лй, 4! 4 2 4 Ьп Х. (нвш; х= — +и(.йц Х. Зк 4 915.

Найти стационарные точки фу икшгн. 2+ х' 1) у= —. Решение: область опрглелсния функции «еО. Тогда к 2хх- +х ! х -2 .г У = = —.Тс. у' 0 при х=а»Г2.Ответ хьй»Г2. х хз 2) Аналогично 1). 3) у=с' '. Решению у'=(х' — 1)е* ' =2хе' '. Таким образом у'=0 равносильно к= О. Ответ: х =О 4) Аналогично 3). 236 Раааа 1Х Производная е нсслсдованнн функпнй (уй)6914-916) 914.

Найти тачки экстремума функции. !) у=2«'-20х+1, Решснне: у =4х-20,тс. у =0 при.т =5.Такяак у <О прн х< 5 н у >О прн х> 5,то х, = 5 -действнтеяьнотачкаэкст- ремума (точка мнннмума). Ответ: х, 5. 2) Аналогично! ). 5 ! 5 «з-25 3) у= — + —. Рмненне: у'= — —,= —,,тс. у'=0 прн х=+5.Ана- 5 х 5 х 5«' логично п,1) убеждаемся, что это действительно экстремальнме точкн.

4) Аналогично 3). 915. Найти точки экстремума н значения функции в зтнх точках. !) у=х'-Зх'. Решение: у'=Зхз-бх=Зх(«-2). Те. точки экстремума «„= О н х, = 2 (эзо действительно точки экстремума, т.к. прн переходе через них пронзволная меняет знак). у(0)=0 н у(2)=-4. Ответ: х = О, у(0)= 0; х = 2, у(2)= -4. 2) Аналогична 1). 3) у = х+мпх. Решение: у = 14созх> О прн всех «в К, тс точек экат- ремуча пет.

4) у = 2созх+х. решение: у' -2мпхч-1. у' = 0 прн Л .т = (-1)' — +яд, Я ц Š— это точки экстремума (прн переходе через ннх 6 5л пронзвоанаа меняет знак). Если Я вЂ” нечетное, то х = — + 2лп, 6 15л) 5л 5к г. у=2саз( — !г — +2зм= — -43+2гм, лцЕ. Если й — четное, то 1б! 6 6 л (л'! л л гх= — +2я~,уч2с — + — +2ян — чЗ+2«ш, пцЕ. Ответ: б ~6) б б 5л (5л) 5л 5л гХ= — +2яп,у=2СΠ— + — +2япч — -КЗ+2ГМ, б (б~ б б л (лЗ л л г «= — +2шг, т=2 — + — +2гш= — -э(3+2лн,лц Е.

б ~63' 6 6 916. Имеет ли точки экстремума функцнк: 1)-3) Уквзвнне: пронзводнаа нигде не обращается в нуль. аналогично 4). 450. Экстремумы функции (№№ 917-920) 237 Рм Л9 Риг. !20 х 1 4) у=- —. Решение: по теореме 1 в точке экстремума у'=О, но 2 х 1 1 у =-+ — >0 при всех «ц К . Тс точки экстремума нет Ответ не имеет 2 х' 917. Указание: аналогично задачам 901 и 906. 1) См.

Рис.119. 2) См. Рис. 120. 910. Найти критические точки функции. — 6» -З.т 1) у=э/2-Зх' . Решение: у =,— —,. = — = =. г'=0 при «=0, 2з)2-Зх' э)2-Зх' кроме того у' не сушссгауег, если 2-3«' = О, т.с. х = 2 )~~ . Ответ: ,=О,,=Ц,К. 2) Аналогично 1). 3) Аналогично 4). 4) у=х' — 1«)-2. Решение: при х>0 у=х'-х-2,тс. у'=2« — 1. При х= г у'=О,те. х= — критичсскаяточка.При хсО у=х'+х — 2, у'= 2«+1, те. « = — !г томе критическая точка. Тк. справа и слева от '2 точки » =0 производная принимает разные значения, то в точке х=0 произмшной нс сущесшует.

Те. х = 0 — критическая точка. Ответ: х = О, =ОХ 9! 9. Найти точки экстремума функции: 1, 1 1) у=«+э/3 х.решение: у =1 — — .Тс. у =0 есин ~=1; 2 /3- х Зэ)3-х 2 73-х =1;,/3-х х= (У; 3-х= (У, х= 275. Зтоточкаэкстрсмума,тк. при переходе через нес производная меняет знак. Ответ: х = 275 . 2) Указание: у'=-(х-1)'т, а — * >О на асей области определения функции. 3] Аналогично задаче 915 п.4).

4) Аналогично залачс 915 п.3). -3(2-х) (3 — г) +2(3-х)(2 — х) 920. 1) Указание: у = (3-х) , т.е. хя - -5 — точка экстремума. (3-.) = (3-.)' х -Зхз -4х 3 2) Указание; у (х -1) ( -!)' х(х-4](х+!) , т.е. х = О, хт -- 4 и «з = -! (х -1) — точки экстремума 3) Указание: у'=3(х-1)ел+ем =(Зх-2)гц. 4) Указание: у'=сазх+соа2г=созх+2соз'х-1=(снях+1)(2созх-!).

Тачки х= 2тй,йп Х не являются экстремальными,т.к. ари нсрсяодс че- рез них произвцаиая нс меняет знак. 5) Указание; у'=(кЗ-х ]! е * = — е 3-х 3 6) Указание: у'=м== й*-х) = —. 2э]е* —.т 2з]е' — ! 921. Пост!юить эскиз графика функции у = у"(х), непрерывной на [а; Ь], сслн; 1] а=-б,б=б;у(-б)=-6,Д6) =1;у"'(х)>0 при -6<к<-4,](х)<0 при -4<к< — 1,4<к<6,/'(-4)=0,7'( — 1) =О, г"(4) =О. Решение:изус- ловил следует, что точки х, = -4 н х, = 4 -точки максимума, а хе = -!в точка минимума. Примерный вил графика изображен парис ! 21. 2] Аналогично П.

См. Рнс. 122. 922. Исследовать на экстремум функцию у = (х+ !)" с ', гле н — натуральное 235 Глава 1Х. Производная в исследовании функций ()(еУО 920-922) 151. Производная в построении графиков функций (Яюнэ 924-926) 239 Рггс. 221 Рис. 122 число.решение: у =л(х+1) ~е '-(х+!) е =(х+1) ~е *(и-х-1)= =(х+1) е '((н-1)-х). Нули производное -точки хг -1 и хе =н-!. Если и = 24+1, то прн переходе через точку хв = -! производная энаг не меняет, следовательно хе=-! не явяяется экстремумом, а точка «,=л-! -точквмвксимумв Если л 24,то хе=-! -точквминииума, а хв =л-! — тачка мвгшнмумв. Ответ: хв =л-1 — очке мвкснмумв и еелилчегно,тол =-! -течквмнннмума.

251. Применение производной к поетроениво графиков функций 924. Аналогично задачам 906, 921. 1) См. Рис. 123. 2) См. Рнс,!24. 925. См. Рис. 125. 926. 1) у = х' -Зх' + 4. Решение: область определения функции хн К . Нвйц дом экстремальные точки: у'=Зхз-бх =Зх(х-2), т.е. хв =0 и х = 2. Р .223 Р . Ггг Рвс.

/25 Глава 1)С Произвсднал н исследовании функций !Уф 927) 240 Таблица 2 х<0 х 0 0<к<2 х 2 хь2 х 3 0 0 0 лиа) 4 Строим таблицу (см. табл. 2). Эскиз графика иа рнс. ! 26. 2) Указание: у'=-Зх'+ 3, х = ! -точка максимума, х, = -1 — точка минимулла. 3)Указание: у'=-Зк'+йх-4=0 ари «л =2 и хл —- -уУЗ. х, =2 -точка максимума, к, = -Ц вЂ” точка минимума. 4) Указание; у'=Зх'+12х+9=3(хл+4хлЗ)=3(х+ЗКх+1), х, =-3— точка максимумц хл = -! — точка минимума. 927.!) Указание: у =-(х' -4); у =-4х(х — 4).

См. рис.! 27. 2) Указание; у = (т' -1) +1 ! у' = 4х(хз - 1). См. Рис. 120. 3) у = — х — х . Решение: область определения функции хи )2 . Най- 1, 1 4 24 -Зх+4 -)б Рнс. !27 Рис. ! 24 Ри«720 Рнс !20 !51. Произвомгал в построении графиков функций (№№ 928-93!) 24! 1, 1 дом точки персссчснив графика с осью ОХ: — х — х = О, 4 24 — х (б — х ! О, откупа х= О, х=+чб. у'=х — зт х =у х (4 — х ).

з( Строим таблицу (табл. 3). Таблица 3. Эскиз графика см. иа рис. 129. 4) Аналогично 3). 928. 1) Указание: у=О при т=(,хфф ГЗ; у'=Зх — бх=Зх(х-2). См. рис. 130. 2)Указание: у=(хз-9)(х'-1),следовательно у=О при х=ЗЗ и к=21. См. рис. !3!. 929. Указание: точки экстремума — купи функции 8(х) . 930. Аналогично задачам 926, 927. 931. 1) у =Зх+ —. Решение: область определения функции х и О. Найдем 1 Зх 1 нули функции: Зт = —; 9х 41= 0, те. график функции нс пересекает г Зх 9х' -1 осьОХ.

у =3 — = —,те. х4ф (г' -точкиэксгрсмума. Зх Зх Рг . 139 Рг з 231 Глава )Х. Пронзводнав в наследовании функций (Хт 937) 242 Таблица 4 .<-Нз х=-Пз -!Гз О О-О О -а О енз «=!Гз . >!Гз 2 «г -2 Стронм таблицу (см. табл. 4). Эскиз графика нарве. 132.