alimov-11-2007-gdz- (Алгебра - 10-11 класс - Алимов)

САМ СЕБЕ РЕПЕТИТОР Ф А.П. Щеглова ПОДРОБНЫЙ РАЗБОР ЗАДАНИЙ ИЗ УЧЕБНИКА ПО АЛГЕБРЕ И НАЧАЛАМ АНАЛИЗА авторов Ш.А. Алимова, Ю.М. Колягина, под научным руководс гвом А.Н. Тихонова ~М.? Просвещение) 10-11 классы Москва ° «ВАКО» ° 200? УДК 337:167.1:~512+517) ББК 22.1я721 1ЦЗЗ Щеглова А.П.

1ЦЗЗ Подробный разбор заданий нз учебника по алгебре н началам анализа для Ш-11 классов Ш.А. Алимова, Ю.Н. Колягнна. — М.: ВАКО, 2007. — 352с. — (Сам себе репетитор). !ВВ)«978-5-94665-528-6 Пособие содержит подробный разбор заданий из учебника по алгебре и началам анализа для 10- 11 классов Ш.А. Алимова, Ю.гг. Колягина 18г.г Просвещение). Приводятся основные сведения по каждому разделу, алгоритмы решения типовых задач, ключи, ответы и подробный разбор заданий. Автор — практикующий педагог с большим стажем подготовки абитуриентов к экзаменам.

УДК 337:167.1:1512«617) ББК 22.1 я721 15Вг1 978-5-94665-528-6 4З 000 «ВАКО«, 2007 Глава УП1 Производная и ее геометрический смысл 144. Пропзподплп Основные понятняг Производной функции г"(х) в точке х наи«ется г(хчм — 2(х) Ь ( Производная линейной функции (Ь«+ Ь) = Ь . «(гь)-х(г() 77б.Указание:срслияяскоросп,равна О, = ' ' .Ом.задачуу)7. г -г г 777. Найти среднюю скорость движения точки ив отрезке [1; 1,2), ссаи закон се лвижсния « = «(г) задан формулой: 1) «(г)=2(.решение: О = ' ' = ' =2.Ответ:2.

«(г~)-«(г,) 2 1,2-2.1 г, -г, 1,2-! 1 «(г,)-«(г,) 1,2' — !' 2) ь(Г)=Г .Решение: О = ' ' = ' =2,2.Ответ:2,2. — 1,2 — 1 778. Найти мгновенную сюрость лвижения тачки, сели: 1) г(г) = 2«+1. Решение: мпювсниая скорость О(г) =«(г) = (2ге1)= 2. Ответ: 2. 2) Аналогично 1). 779. Аналогично задачам 777, 778. 780. 1), 2) См. задачу 5 з44. )гь)= '- * *: - ° - г()- /(х+Ь)-Ях) ) Ь 3(хеб) -5(хьй)-3« +5х б«Ь+3Ь) -5Ь = гпп =йш Ь О ЬО Ь ЬО Тс. )'(х)=бх-5.Ответ: бх-5. 4) Аналогично 3).

в44. Производная(№нз 731 †7) 781. Указание: 1) Ь = 4; 2) Ь = -7: 3) Ь -5. 782. Найти мгновенную скорость движения точки, сслн закон ее дшокения г(!) задан формулой: !) з(!) =-! .Решение: ы(!) =«(!). з(т+Ь)-Ц!) =-(г+Ь) — ! =Згь» — Ь . 3, з з, з, 2 2 2 3„, х(!)=Ыш =1ип =И 2+-Ь =Зг, Ь ты Ь А 2 Тогла т.с. г(!)=3!. Ответ: ы(!)= 3!. 2) Аналогично 1). 783. Указание: «(!) =г'(!) =2! (аналогично задаче 782). Тогда ы(5)=!О, ы(10) =20.

1,5 — 0 2,5 — 15 3 — 2,5 784.Указание: ы, = — '=15, зз = — '=1, ы, = — '=05 1 зш 2-1 ~ 3-2 785. Аналогично задаче 784. но взять Б = —. Тогда !(2хы()-3)= 2)х-1)<2Б=2 — =с. Равенстно С е 2 2 справедливо. 2) йшк! = 4. Решение: необходимо проверить, что для любого в > 0 су! ществует Б >О, такое, что )хз — 4)<е лля воск хи 2, твк что )х-у(<Б. Преобразуем: )г'-4)=!х+У( (х-2(. Таким образом, для любого к>0 можновзвть Б =ш!» —; — .Тогда ~к~-ч)='(х+2))х-2)<3 ш —; — <е.

Равенство справедливо. 845. Прензаеднаи етсиенней функции ((Ь+Ь)') = рй( +Ь)" 787.!) к'. Решение поформулс гдеь= 1,Ь=Оир=б: (х ) =бх',Ответ: бх' 2) (к') =7х'; 4) (хн) =13хн. 3) (хо ) = ! !хи; 786. 1) 1!ш(2х+1) =3. Решение: необхолимо проверить, что для любого ! е > 0 сушссгвусг Б >О,твюю что ((2хч1)-) <е лля всек хе!,так, что )х-!) <Б. Преобразуем: )(2к+1)-3) = 2)г-1!. Тс. лля любого е > 0 мож- 202 Глава Зэ1П. Производная и ее геометрический смысл !ЗЬУЬ 788-793) 788.1) х '. Ремсние:во формуле,гдов= 1,Ь=Оир=-2: (т ') = — 2х '. 2] (х э) =-Зх э; 3) (х ') =-4х э! 4) (х ) =-7х э 789.1) х'.Реиеиие:поформуле,гдей !,Ь Ои р=-: кэ = — х э. 2''( ! г э У 13 ! 3 7 790.1) — =(х ) =-5х т У 33 ! э 3) ~lх) = хй =-х '; 4 / 3 5) — = ху = — х'; 6! — = хй = — ху. 791.1) ((4х — 3)э) =2 4 (4к-3) =8(4х — 3); 2) ((5х+2) ') -3.5 (5к+2)' =-1~5к+2) '; 3! ((1-2х) ) =(-6) (-2) (1-2х) э =12(1-2х) э; 4) ((2 — 5к)') = — 5 4 (2 — 5х) = — 20(2 — 5х)'; 5) ((2к)~) =2 3.(2х)э =24хэ; 6) ((-5к)') =-5.4 (-5к)' = 2500х'.

1 792. 1)~ф2хеу) =((За+7)э ~ = —.2 (2» э.7) э; 3 2! Г, — Зх) =~( — За+7~~ = — 3 — +Зхчу) = — (7 — Зх) э; 1 ' 3 4 4 3! (((Зх) =[(Зк)! =3 — (Зх) ° = — (х) ', '3 1 П эГЗ 4 4 1: ~\5 4) (1/Зх) =((5к)3 ( = 5 — -(5х) 3 = — (х) э . ( 3 3 793. 1) Дх)=х", к, =05. Решении !(т) =(к') =6х' =6(05) =0375. Отвстэ 0,375 945. Производная стевсииой функции 1%№ 794-797) 203 2) Г'(х)=(х ~~ =-2х' =-2 3' = —: 27 1 — 1 — ! э »гээ-(Х)-(* ~ -*-- 2 2 4 4) ~'(х) = ()/х) = (х ' ~ = -х " = — 8 " = — 2 ! 3 3 3 12 4 —, 5) Г!х)=(45-4к) =~(5-сх)гэ = — (5-4х)3= — 1 '=-2; 2 2 6) ~(х) = — ~ =~(Зх+1) э~ =-- 3(Зх+1) э = — 4 - '= — . /Зх+1! ( ~ 2 2 !б 794. указание; у'= 4х', см.

рве, 102. 795. Указании (г~) = 2х, (хэ) = Зх' !что соотасг- ствует рисуиау) и (х ' ъБ' 796. 1] ( —, =((243х) ') =-6(2+Зх) '; 1(2гЗх)э ) 2) = ((3-2х) ') = 6(3-Зх) '!(3-2х! ! 3) ()ДЗх-2)э ~ =~(Зх — 2)1 ~ = 2(Зх — 2) э; '4) ~ДЗ-14л) ~ ((3-!4х)э() =-4(3-14х) г; 5) ~ ! =~(Зх-7) э ~ = -(Зх-7) э; 1 Зх-7 ! 6) =((1-2х) э ~ = — (1-2х) э ~( а! ~ 3 Х Рэээг !02 797. 1) Указание: у"(х) = Зх', аналогично 2). ( ЗЗ 2) /(х)=)эхэ .

Решение: 7'(х)=1,'эхэ = ху =-х э = —. те. 204 Глава У[И. Проииюдивя и ее геометрический смысл (№№ 798-802) 2 гг- 2 8 8 — =!,отвула 9» =-, х= —.Ответ: х= —. 3((х 3 27 27 798. Указание: мгновениаа скорость равна я'(3) . Аналогично задаче 793. 799. Прв каких значениях х выполняется равенство У'(х) = 7'(х), если: 1) Г(х) = (2х- 1) . Решение: .Г (х) = 2 2 (2х-1) = 4 (2».-1) .

Таким образам 4(2х-1)=(2х-))», атвуда 2х-1=0 вли 2х-!=4, я=05 илн х 25. Огшт: х=0,5, х=2,5. 2) Указание: 5"(х) = 3 З(Зх+2)', аналогично!). 800. 1) Указание: /(х) = х» +1, 7(х) = 2х (см задачу 780). 2) Указание: Дх) =1-х, /'(х] = -2х (см. »влачу 780). 801. Указание» реши»а уравнение Г (х) = Дх), т.с. 3 =з!Зх-7. 2 Зх-7 046. Правила днфференцнревйнии 1( (Г(х)+В(х)) = г (х)+В (х); 2'. (су(х)) с('(х) дяялюбой постоянной се К; 3'.(г(х) В(х)) = /"(х)В(х) Г(х)В'(х)! 4 (х) 1 Г (х)В( ) (х)В (х) В(х) ) В (х) 5'. 7 (8(х)) = г"(В(х]) В'(х) .

802.!) .г'+х. Решение: но свойству Г (х»+х) =(х )+х'=2х+1.Ответ 2х+1 2) (х'-х) =(х') +(-х) =2х-1; 3) (Зх') = 3 2 х = бх; 4) ( — 17х') =-!7 2.х=-34х; 5) (-4х ) =-4 З.х» =-12х»; 6) (05х') =05 Зх =15х» 7) (1Зк'+26) =13(х») +26(х ) =!3 2х+26.0 26»; В) (Вх -!6) (Вх») -(16) =!бх-0=16х. 046. Лравнла днффсрснннроаання 13ЫЬ 803-807) 205 803. 1) (Зхз -5«+5) =(Зх ) 4(-5х) +5'=6»-5; 2) (5«'+ ба — 7) = (5»') +(6«) -7'=10»+61 3) (к +2«з) =(хз) +(2«з) =4«з+4»; 4) (хз -3»з) = (х') +(-3«з) = 5хз -6«; 5) (х'+5«) =(х') +(5х) = Зх'+5; б) (-2хз+1Зх) =(-2«') +(18«) =-6«'+18; 7) ( х'-Зх +6«+1) = (2х') +(-Зх') +(бх) +1'=6»' -Ох+6; 8) (-Зх'+2х'-к-5) =(-Зх')+(2»') +(-к) +(-5) =-рхз+4«-1.

804.Узмханне: (3(г — 2)з+1) =3 2(«-2),см.рнс.103. А / У ! 805. 1) (кз+ —,~ =(х') +(« ') =2х-3« "; У=3(-2 +! />= зх- 1 Л , з 1, !РЗ сЬН. и!'=(! !,(,-/.з,з,',—: 2 2 806. 1) 2'!х ! = (х' - 2» + 1) = 2х - 2. то~да 7'(О) = — 2 а у(2)= 2 2) ЗТ«!=(х 2«) =Зхз 2. Тогда 1(О)--2, а у (2)-!О 3! 7 !х) ( «'+«) -3» +2х.Тогда /(О)=О,а г'(2)- 4! 7'!«!=(х +»+1) =2х+!.Тогда з' (О)=1 а / (2)-5 807. 1) Г"!х! =! -+†, ) = (»-з) а(„-з) х-з 2 -з ~ ( ) 5 'зх к'! 27 з !х)= зн«+ +!) = «з +(х '/ = х з «У(3) .Г'(1) =--. 2 3) /"(х)= — — = х ' -2!х з) = — х *+бт /'(3)=- +— / (1 ) = 4.5 . з з) ~ з — 3 — 3 —, !4 4) /'(х) хз х з хз+ х з /(3)= — /(1)=3 2 3)3 2 2 808.

1) у = —, к, =! . Решение: у' = —, . Тя. значение у' в точке х = х-1 (х -1) 1 нс определено, то функция в этой точке ие лиффсрснцнруема. 2) у=,х, =3. Решение: у'= Зх — 5, (Зх-5)(х-3) -2(Зх-5Х» ЗУ (х — 3) (х-3) Т.к. значение у в точке х = 3 нс шцкделено, то функция в этой точке не диффсренцируема. 1 3) у=э)хь),х=О.Решение: у = .Тк.значение у вточясх=О 2з)хь! определено, следовательно, функция в этой точке днффсренцирусма. 1 4) у = ) 5х, к = 4.

Решение: у = — . Т к. значение у' в точке х = 2 5-к 4 оп рея ам но, следовательно, функция в этой точке диффсренцирусма 809.1) /(х)=!х — 2хг=Зх — 2=0.Тогда х =-,откуда х + —. 2 Г2 3 ))3 ' 2) /!х)=(-х +Зх+1) =-2х+З=О.Тогда 2х=З,откуда х= —. 3 2 3) /(х)=(2х'+Зк'-12х-3) =бх'+бх-12=0. Тогда х'+х-2=0, откуда х, =1, х, = — 2. 4) /!х)=('+гхт-7х )) =3 '+4,-7=0. Т ( -43 -7)=О, 7 откупа х =1, к = —. 3 5) /1г) = (Зх' -4х' -12х') = 12х' — ! 2х' -24х = О. Тогда ! 2х(х -2)(х + 1) = О, откуда .т, = -1, х, = О, хз = 2. 6) / (х) =(г'ч4хк -йхт -5) =4х'+12хз -1бх= О. Тогда !2х(х'-х-2)=0; 4х(х-4)(х-1) = О, откуда х, = -4, х, = О, х, =1.

206 Глава Ч1рл Произмшная н се геометрический смысл !РОЖ 807-809) 846. Прядива дифференцирования !№№ 810-8!4) 207 810 !) ((«з — кз(х'+к)) = (х' — х) (ха +х)+ (х' -«)(«з +«) = = (2х-!)(х' с«)+ (хз -х/!3«'+1)= 5«' -4х' + Зх — 2« . 2! ((«423/«) =(«+2) «/х+(х+2(«з) = Е/х+ — (х+2)«з = —. 3) ~х-1)/«) =(х-1) '/х+(к-1)(/«~ ц»х+3'-.") = — "'. 2 /х 2 /х 811, !) «'!«)=((х-1)"(2-х) ) =((х-1) /(2-«)з а((2-х) )(х-!)' = =8(х-1)'(2-х) +7 (-!)(2-х)»(х-!) =8(х-1) (2 — к) -7(2 — «)"(л.-!)", у ° У'!!! =О.