alimov-10-gdz-2007 (Алгебра - 10-11 класс - Алимов)

САМ СЕБЕ РЕПЕТИТОР Ф А.П. Щеглова ПОДРОБНЫЙ РАЗБОР ЗАДАНИЙ ИЗ УЧЕБНИКА ПО АЛГЕБРЕ И НАЧАЛАМ АНАЛИЗА авторов Ш.А. Алимова, Ю.М. Колягина, под научным руководс гвом А.Н. Тихонова ~М.? Просвещение) 10-11 классы Москва ° «ВАКО» ° 200? УДК 337:167.1:~512+517) ББК 22.1я721 1ЦЗЗ Щеглова А.П. 1ЦЗЗ Подробный разбор заданий нз учебника по алгебре н началам анализа для Ш-11 классов Ш.А. Алимова, Ю.Н.

Колягнна. — М.: ВАКО, 2007. — 352с. — (Сам себе репетитор). !ВВ)«978-5-94665-528-6 Пособие содержит подробный разбор заданий из учебника по алгебре и началам анализа для 10- 11 классов Ш.А. Алимова, Ю.гг. Колягина 18г.г Просвещение). Приводятся основные сведения по каждому разделу, алгоритмы решения типовых задач, ключи, ответы и подробный разбор заданий. Автор — практикующий педагог с большим стажем подготовки абитуриентов к экзаменам. УДК 337:167.1:1512«617) ББК 22.1 я721 15Вг1 978-5-94665-528-6 4З 000 «ВАКО«, 2007 Глава 1 Действительные числа 8!.

Целые и рациомальные числа 2) — = 0,7272... = О, (72); 8 11 1. 1) — =0,666...=0,(6); 2 3 3 75 4) --= — = — 0,75; 4 100 3) — = — = 0,6; 3 6 5 10 5) -8- = — = — =-8 (285714; 6) — = О! 313... = О, (! 3) . 2 56+2 58 13 7 7 7 99 2. Выполнить действие и записать результат в виде десятичной дроби: 2 ! 18 11 29 !) — ч — = — + — = — =0,(29). 11 9 99 99 99 8 2 8.3+2.13 24+26 50 13 3 3 13 39 39 3) -+1,25 = — ь- = — =1.58(3) . ! ! 5 !9 3 3 4 12 4) -+033=-ь — = = — =049(6). 1 1 33 50+99 149 6 б 100 300 300 5) — 1.05 = — — = = — = — = 0,225 .

3 3 !05 3.5.7 3 9 225 14 !4 !00 2 7 5.5.4 40 1000 154 14 5 мио равенства второе, получим: 99х 154, х = — = — . ()таст; х = 1-. 99 9 9 7 7 17 119 6) — 1,7 = — — = — =1,3(2) . 9 9 !О 90 3.Записать в виде обыкновенной лроби: 1) 0,(6). Ралениег пусть х = О,(б), тогда 10х = 6,(6). Вычтем из псрвопг Р---р-.-у-м:9.=6, «=УЗ ~ ~: «-К 2) 1,(55). Регненне: пусгьх= 1,(55), тогда 100х 155,(55).

Вычтем из пер- Глава 1. Дейстантсльные числа (Зй№ 4-6) 3) О 1(2). Ранение: пусть к 0,1(2), тогда 10к =1,(2); 100т =12 (2). Отсы та: !00к-!От=90т 11. к= г~ .Отвст: к= ~ 4) -0,(8). Решенно: пусть к О,(8), тогда 10к — 8,(8). Вычгом нз первого рваеистаа второе, поаучнм: 9к -8, к =-Вг .

Отлет", к = — Вг . 5) -3,(27). Реюеннс: пуль к -З,(27), тогда 100к = -327,(27). Твгнм обра- 324 36 3 зом получаем:99к=-324, ь.= — = — . Ответ: к = -3 в . 99 11 11 6) -2,3(82). Решение: к -2,3(82), тогда 10к -23,(82); 1000к = 2382,(82). Отсюда: 1000г-10т =990т = -2359, к = — =-2 †. Ответ: -2 —. 2359 379 379 990 990 990 4. Вычислить: 1) (2088;18+45: 036): (!959 ь! 195) =~20 —:18+45: —: 31 54 22 91 25 257' /522 ! 25) 27 /29 1 1577 3154 50 = — — + 45 —: 31 — = — + 125; — = — = 4 . ~ 25 18 9! 50 125 ! 50 25 1577 7 11 9 5 7.9 В 11 9 5 7 11 1 19 3 2) — 9+8.

+ + + + 36 32 ГО 1В 4.9 4.8 2.5 2.9 4 4 4 4 4 5. Оычнслнть. !) ~ 3 — +024~!5+~5!625-2+ ~ — + — ! — +(5,1625-2387з/ — = / 4 1 / 3 12 / 79 24 ) 215 2 25 ) ~ 16)5 ~ 25 100! 100 5 350 2!5 2975 2 8500 = — — + — -= — =8,5, 100 100 1000 5 1000 7 5 1 36425 51000 58 2) 0,364: — + —;0,125+2- 0,8 + — + — ' 25 16 2 1000 7 1б 125 2 10 52 5 13 — + — +2= — +25+2=13+45 58. 40 2 1О 02. Дейпгвмтсльиые чнслп Основные понятна: )к,есвнкйО (-к, если к < 0 6.

Отлеты: 1) нет; 2) нет; 3) да! 4) нет (т.к. а дробной части асгречаетса с мыь уныло длиннее послсдоаатсльность еднинц). 42. Действвтельиьм числа !№М 7-11) 7. /3! 5507704.. Таким образом, 5 5 < зГ31 < 5 б. 8. Какое из равенств И = х или И = -х являетсв верным, если: 1) х=5 — зГ7. Решение кк. 5>зГз,то 5-зГ7>б,следовательно И=х. 2) х=4-ЗзГЗ. Решение 4<ззб,тк. 4' <(ЗГЗ/ =27,значит И=-.т. 3) я=5-з/10. Решение: 5 > з)!О,тк.

5' >10, значит И = х. 9. Выяснить, наким числом !иррациональным или рационвльнмм) является выражение: 1) РГ8-ф~гГ2)=ЗГ8-ртгГ2-Гй-бГ2=3 2 Г2-9+2 4-бГ2=-!. Ответ: рациональное чисао. 2) (/27-ф-ЗГЗз/=-(2-З,Гзф-ЗГЗ/з=. (2-З,ГЗ/и=-4-27т)2ГЗ=)ЪГЗ-3! Ответ: иррациональное число. 3) (/50+ 4~Г2) Г2 = (5,Г2+ 4,Г2)Г2 = 9 Гг.,Г2- ! 8. Ответ: рациональное число.

4) рГ3+./27):.Г3=~Л -З,ГЗ);,Гз=й,ГЗ:,Г3=8. Ответ; рациональное число. 5) (зГЗ-1/ +(Гзь)/ =3+1-2~ГЗ+3+1+2 Г3=8. Ответ: рациональное число. б) (зГ5 — !/ -(гзГ5+1/ = 5-гзГ5+ 1-4 5-4зГ5-1= -15-Ь Я. Опмт: иррациональное число, 16. !) з/бЗ з/28 = з/7.3' 1Г2' .7 = 3 2 7 = 42; 2)./20. Г5=./2' 5..Г5=2Г5. Г5=!0; 3) з/50: /8 =з/5' 2:~2' 2 =5:2=2,5; 4) /)г:т/27 7= — = —, 2.Г3 г зГз з' 11. Сравнить числовые значения выражений: !) ./3,9ьзГ8 и з/!3+з/!7. Решение: з/3,9<2, Г8<3, следовательно з/3 9+ р8 < 5. С друссй стороны, з/Г! > 1, з/! 7 > 4, значит /!!+з/)7 >5.Ответ:,/39+зГ8<,/!3!+ /Г7.

2) 41-т/г,! и зГ!0-з/33. Решение: сравним числа з/!! ь,/3,1 и Глава !. Дейсгвитсльные числа ()Гг) й 12 — 13) /ЮО +,/2 1 . Очевилио, что х/П +,/31 > х/ЮО +,/2 1, следовательно ,/й-,23 >,/ГОО-,/33 . о:,/й-,/21 >,/ю-,/31. 12. Вычислить: и/~~.л) л./г!л-л).л) л.,тйг-ы »Ьг.-~,/т) =/гь-л!.и) .ля= . 3) =Хлл'л-Ж. =Гв'1-'г! п)- .и. ОЗ. Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия Основные поивтнпг Поотеловатсльносгь Ь,, Ь„,Ь„называется геометрической прогрес- сией, если Ь„„= Ь„) тле Х, гле Ь„» О 4» О . Свойства: Г. Ь„,=Ь,.О"; 22 Ь„Аи =Ь„', Ь„Аы =Ь„',с=12...„л-!: 3 . Сумма первых и членов геометрической прогрессии.' лЬ„если д = 1 5„= ьД-Д 1-е 4'. Если 141<1,тосущсьтвует Иглу, =У,причем 5= —. Ь, 1-е 13.

Является ли геометрической прогрессией послеповатевьность: !) Ь„=-5 . Решение: Ь„=-5г" =-25" =(-25Н25) ', тс. )) =-25; е = 25. Опит: ܄— геомотричссипг прогрессия. 2) Ь„=2»". Решение: Ь„=2и =8' =й 8"',те. Ь =$, О =а. Очвст: Ь„- геометрическая прогрессия. 83. Бесконечно убываюгвая пюмстричсская прогрессия 1дь)!з 14-17) 7 !4. !) Решение: Ь, =Ь,О', тс. 88=)5 2', откуда Ь, =11. Следовательно, 5 — Ьз г= =3! 11=341.0твст: 5 =341.

ЬЬ(1-4') 11(1-32) 1-4 1-2 2) Рсюсниш Ь, =ЬР', тс. 88=11.4з, откуда 0=2. Слсдоютсльно, 5, = — -*= — =31.11=341.0твст: бг =341. Ь Ь(! -Ог) ! 1(1-32) 1-4 1-2 ! 1 1 ! 15.Укашнас: 1) 4= —;2) 4= —; 3) Е= —; 4) 4= —. 5' 3' 3 2 Ь, -20 1 !б. 1) 4 = — = — = †. 'Р)! < 1, значит прогрессия бсск убывающая. Ь, 40 2 4 Ь>> 1 ! 2) ! = — "= —,тс. 7=5-, Я<1,значитпрогрсссиябеск.убываюшмг. Ь, !б 2 -30 3) 4 = — ' = — = -2. Ц > 1, прогрессия пс является беск.убывающей. Ь, 15 4), тс.

! = †. !4(<1, прогрессия беск. убивающая. 1 3' 1 !7.!) Рассмотрим гвомегричсскую щюгрсссию Ь„= —. В данной прогрсс- 4" ! 1 син е = —, )д( < 1, значит прогрессия бесконечно убывает и Бш — = 0. 4 4" 2) Рассмотрим геометрическую прогрессию Ь. =(0,2)". г) =0,2, т.с. !4( < 1, значит прогрессия бесконечно убы шее и Бш (0,2~" = О. 1 3) Решение: )пп 1+ — = 1+ 1пп †. Прогрессия Ь„= — явлается бсско- 7" ~ " 7" 7" 1 1 .

! печно убывающей, следовательно Бш~1+ — =! +!вп — = 1+0 =1. 7'~ "- 7" /3)' 4)решение: Бш -~ -2 =-2+!ен — . Прогрессия Ь„= — являет- ~ 5! сябесконечиоубыаающей,тс. Бш — — 2 =-2+Бе — =-2+0=-2. Глава 1. Действительные числа (№ Гй! 8-20) 18.!) Решение: 5 = — = = — — †. Ответ 8 = —. Ь, К 1-9 1 8 3 12 12 йЮ 2)Решение: Ь, =69»,откуда Ь, =!. Я= — =15.Опмт; Я=!5. = Х=' 3)решение: 5= — = = — = — =6,75.Ответ: 8=6,75.

Ь 9 9 27 1-9 ! )»' 4»г 4 » -1 2 2 4) Решение: Ь, = !49, откуда Ь, = -1 . 5 = — г — » = †. Ответ: 8 !!+ф 3' ' 3' 19. Найти сумму бешюиечной убывающей геометрической прогрессии: !)6;1; —;.... ! 6 Ренмвне: Ь, = 6, Ь, =1, те. 9 — — . 5 = — = — 72. Огвет 72. Ь, 1 6 36 2) -25; -5; -1; ....

Ьг 1 -25 125 Решение; Ь, = -25; Ь, -5, те, 9 = — г = -. 5 = — = — = -31,25. Ь, 5 1-Я 4 Ответ: -31,25. 20. Записать бесконечную периодическую десятичную гщобь в виде обыкновенной дроби. !) 0,(5). Решение: рассмотрим последовательность; а, = 0,5; а, = 0,05; а, =0 005; ... Таким образом даиую периодическую дробь можно предствшпь в виде суммы бесконечной убывающей геометрической прогрессии 0,5; 0,05; 0,005; ..., где Ь, = 0,5, а»у = 0,1 . Следовательно, сумма равна Я==- — '= —.Опыт. 0,(5)=-. Ь:, 0,5 5 ! -»у 1-0,1 9 9 2) 0,(8).

Решение: прело»евин дробь в виде бесконечной убывающей шомстричесяой прогрессии; О 8; 0 08; 0 008; ... (см. и.!). Ь, = 08, 4 =О! . Ь, 0,8 8 8 Т.е. Х= — ' — '= —.Опыт: О,(8)= —. 1-9 1-01 9 ' 9 3) 0,(32). Решемие: представиы лрсбь в виде бесконечной убывающей геометрической прогрессии: 0,32; 0.0032; 0,000032; ... (см. п.!), Ь, = 0,32, бз.

Бесконечно убываюшая геометрвчсская прогрессия (№№ 21-25) 9 9=001.Те. 5= — = — = —. Ответ: 0 (32)= —. () 032 32, 32 1-д 1-001 99 ' ' 99' 4) 0,2(5). Решение: рассмотрим последовательность: а, = 0,2; а» =02+005; а, =02+005+0005; а» =02+005+0005+00005, Те. данную дробь макао пргдствшпь в виде суммы бесмшечной убывающей геомстрнческой орогресснн 0,05; 0,005; ...

н числа 0,2. Таким обра- зом 0,2(5)=0,2+ — '=-+ — = —.Опнт: 0,2(5) 0,05 1 5 23 23 1-0',1 5 90 90 90 21. ! ) Указание: д = -2, Ц >1 . Следовательно, не является. 2) Указание: д = 4, Ц >! . Следовательно, не является. 3) Увязание: Ь. =-8 — 1, д= —, 19!<1. Тс. Ь„анлястсв бесконеч- 3) 3 ной убывающей геометрической прогрессией.

г' 4) Указание: Ь =-3. --, д = —, 1д(<! . Те. Ь„являстсл бссконеч- 2,1 2 ной убынпошей пкшстрнчсс»юй прогрессней. 22. 1) Решение: Ь =1)д',аткуда (ь =»Г2. Я = — =2 Гг. Ответ: 2 Гг, Гг 1»ггг 2)решенне: Ь, =Ьд,откуда 1) =»ГЗ. 5= =2»ГЗ(ге ГЗ)=2ГЗ+б ,Гз гЗ/ 23. 1) Решение: 5 = — — 30, отснща Ь, 30((-Я) 24. Ответ: 24. 1-У 2)решенне: 5= — = — Зб,отсюда!-д 20:30=7',Ответ: )3. 20 1-»! 1-д =гз.

3-2" . (3 ) . 3 24.1) йш — й — ! =-!+1нп — 1. 2* " ( 2" ~ — 2" 3 '+2 . 9.3+2 . ( 21 . 2 2) 1вн =Иш Г 9+ — „=9+ 1пп — „=9, 3" — 3" --( 3" ) — 3* 6"+У . 5 +25"+! .( 2 ! ) . 2 . ! 3) 1вп =1пл, =бпла!+ — „+ — ~=!+)пп — +!пп — =1. 5 5»" "4 5" 2У ~ 5' 2Т 25. Указанне: высота фнгуры равна сумме бесконечной убываюшей геометрической прогрессии а+~~~ге аа/ +.... Глава 1. Дсйствнтсльныс числа (№Яе 26-27) ти радиусы Я„Я„... Я„осгвльнык окрулгносгей н показать, что Оь . они образуют бесконечную убыва- ( юнгую гсонстричсскую прогрессию.