pogorelov-gdz-11-2001z (Ответы ко всем упражнениям Погорелова по геометрии от седьмого до одиннадцатого класса (Погорелов)), страница 7

Далее, пустьAD=DC=а, тогда:АС12 – а2 = а2 – CC12, 142 – а2 = а2 – 22, а2 = 100 и а = 10(м).Ответ: 10 (м).9. Радиус основания конуса 3 м, высота 4 м.Найдите образующую l.Из прямоугольного ∆BOC по теореме Пифагора получим:l = ВС = OB 2 + OC 2 = 3 2 + 4 2 = 5(м).Ответ 5 м.10. Образующая конуса l наклонена к плоскости основания подуглом 30°. Найдите высоту.Из прямоугольного ∆BОС:CO = BC ⋅ sin30° =l211. Радиус основания конуса R. Осевым сечением конуса является прямоугольный треугольник.Найдите его площадь.Данный прямоугольный треугольник является еще и равнобедренным. Так что высота в нем, проведенная к основанию, являетсяи медианой.

А медиана, проведенная к гипотенузе, равна половинегипотенузы, то есть радиусу, так как гипотенуза равна диаметру.Тогда площадь11S = ⋅ d ⋅ h = ⋅ 2R ⋅ R =R2.22Ответ: R2.5612. В равностороннем конусе (осевое сечение — правильныйтреугольник) радиус основания R.Найдите площадь сечения, проведенного через две образующие, угол между которыми равен α.Так как в осевом сечении ∆АВС — правильный, то AC=AB=2R.Площадь ∆MCK найдем по формуле:11S = MC ⋅ СK sinα = ⋅ 2R ⋅ 2R sin α = 2R2 sin α (так как МС =22=СК = АВ — образующие).Ответ: 2R2sinα.13. Высота конуса 20, радиус его основания 25.Найдите площадь сечения, проведенного через вершину, еслирасстояние от него до центра основания конуса равно 12.Проведем OD⊥MK в равнобедренном ∆ОМК.

По теореме о трехперпендикулярах CD⊥MK. Проведем OE⊥CD в ∆COD.Тогда ОЕ данное расстояние от центра основания конуса доплоскости МСК. ОЕ = 12.Так что в ∆COD: sin∠OCE =OE 12== 0,6.OC 20Тогдаcos ∠OCЕ = 1 − sin 2 ∠OCE = 1 − 0,36 = 0,8.57sin ∠OCE 0,6== 0,75 .cos ∠OCE 0,8Далее, OD = CO ⋅ tg∠OCE = 20 · 0,75 = 15Так что, tg ∠OCE =CD = OD 2 + CO 2 = 152 + 202 = 25 .В ∆ΟΜD по теореме Пифагора:OM 2 − OD 2 = 25 2 − 15 2 = 20, так что МK = 2МD = 40.MD =11MK ⋅ CD = ⋅ 40 ⋅ 25 = 500.22Ответ: 500.SМСК =14. Радиус основания конуса R, а образующая наклонена кплоскости основания под углом α.

Через вершину конуса проведена плоскость под углом φ к его высоте.Найдите площадь полученного сечения.В прямоугольном ∆АСО CO = AO ⋅ tgα = R ⋅ tgα.В ∆ОМК проведем OD⊥MK. Тогда по теореме о трех перпендикулярах CD⊥MK.В прямоугольном ∆OCD имеем OD = OC ⋅ tgϕ = R tgα tgϕ иСD =OCtg α=R.cos ϕcos ϕДалее,в2прямоугольном2222∆ODKпо2теореме22ПифагораDK= OK − OD = R − R tg α tg ϕ = R 1 − tg α tg ϕ .

Так чтоплощадь ∆CMK равна SСМК ==1 2 RtgαR 2 tgα⋅⋅ R 1 − tg 2α tg 2ϕ =⋅ 1 − tg 2α tg 2ϕ .2 cos ϕcos ϕОтвет:581⋅ MK ⋅ CD =2R 2 tgα⋅ 1 − tg 2α tg 2ϕcos ϕ15. Задача решена в учебнике п. 190, стр. 85.16. Высота конуса Н.На каком расстоянии от вершины надо провести плоскость, параллельную основанию, чтобы площадь сечения была равна половине площади основания ?Проведенная плоскость отсечет от конуса подобный конус.

Вподобных фигурах отношение линейных размеров равно коэффициенту подобия, а отношение соответствующих площадей —квадрату коэффициента подобия. Так чтоS11l1= K2 = . Поэтому K =. Тогда=KиS22H2Hl = H⋅K=Ответ:2Н2, где l — искомое расстояние..17. Через середину высоты конуса проведена прямая, параллельная образующей l.Найдите длину отрезка прямой, заключенной внутри конуса.MПусть MN — данная прямая.Рассмотрим осевое сечение конуса, содержащее прямую MN. В∆СОВ по условию CO1 = O1O и O1N ||CB. Тогда по теореме Фалеса13ON = NВ, а значит, ОN = R. Так что NA = R.22AN MNДалее, ∆ΑΜΝ ∼ ∆АСВ, поэтому.

Так что=AB CB3R ⋅lAN ⋅ CB 23== l.MN=AB2R43Ответ: l .45918. Образующая конуса 13 см, высота 12 см.Конус пересечен прямой, параллельной основанию, расстояниеот нее до основания равно 6 см, а до высоты — 2 см.Найдите отрезок прямой, заключенный внутри конуса.Из ∆СОА по теореме Пифагора:ОА = CA 2 − CO 2 = 13 2 − 12 2 = 5(см).Проведем плоскость, параллельную основанию и содержащуюданную прямую BD. Тогда проведенная плоскость отсечет от конуса подобный конус. Далее, ∆CO1A1∼∆СОА.ТогдаOA ⋅ CO1 5 ⋅ (12 − 6)O1 A1 CO1==, то есть О1А1== 2,5(см).OACO12COДалее, в ∆BO1D проведем O1M⊥BD.Тогда в прямоугольном ∆ВO1МВМ= BO12 − O1 M 2 = 2,5 2 − 2 2 = 1,5(cм) (по теореме Пифагора). Так что BD = 2 ⋅ BМ = 2 ⋅ 1,5 = 3(см).Ответ: 3 см.19.

Радиусы оснований усеченного конуса 3 м и 6 м, высота 4м.Найдите образующую.Рассмотрим осевое сечение усеченного конуса. Тогда ABCD —равнобокая трапеция с основаниями BС = 2R1 = 2 ⋅ 3 = 6(м) иAD = 2R2 = 2 ⋅ 6 =12(м).60Далее, проведем BМ⊥AD и CK⊥AD. ВСКМ — прямоугольник.Имеем ВМ = СК и ∆АВМ =∆DCK.

ПоэтомуKD = AM=AD − MK AD − BC 12 − 6===3(м). Далее,222в прямоугольном ∆ΑΒΜ по теореме Пифагора:ΑΒ = AM 2 + BM 2 = 3 2 + 4 2 = 5(м).Ответ: 5 м.20. Радиусы оснований усеченного конуса R и r, образующаянаклонена к основанию под углом 45°.Найдите высоту H.Рассмотрим осевое сечение усеченного конуса. Им являетсяABCD — равнобокая трапеция с основаниямиBС = 2 ⋅ ВО1 = 2r и AD = 2 ⋅ AO = 2R.. Далее,проведем BM⊥AD и CK⊥AD. ТогдаВСКМ — прямоугольник и ВС = МК, ВМ = СК. ∆АВМ = ∆DCK.Так чтоAD − MK AD − BC 2 R − 2rKD = AM==== R − r . Далее, ∆АМВ222равнобедренный, так как ∠А = ∠АВМ = 45°.

Так чтоH=BM=AM=R–r.Ответ: R–r.21. Образующая усеченного конуса равна 2a и наклонена к основанию под углом 60°. Радиус одного основания вдвое большерадиуса другого основания.Найдите радиусы.Рассмотрим осевое сечение усеченного конуса. Им являетсяравнобедренная трапеция ABCD, где BC=2R2 и AD = 2R1 = 2 ⋅ 2R2==4R2=ВС.

Далее, проведем BM⊥AD и CK⊥AD. Тогда ВСКМ —61прямоугольник, так что ВС=МК и ВМ = СК. Поэтому ∆ΑΒΜ =∆DCK (АВ = CD и ВМ = СК). Так чтоAM = KD =AD − BC 4 R2 − 2 R2== R222Далее, в прямоугольном ∆ΑΒΜ: АМ = R = АВ ⋅ соs60° = 2а ⋅1.2Тогда R1 = 2R2 = 2а.Ответ: а и 2 а.22. Радиусы оснований усеченного конуса 3дм и 7дм, образующая 5дм.Найдите площадь осевого сечения.Рассмотрим осевое сечение усеченного конуса. Им являетсяравнобедренная трапеция ABCD с основаниями BС = 2R1 = 6 дм иAD = 2R2 = 14дм. Далее, проведем BM⊥AD и CK⊥AD. Так чтоВС = МК и ВМ = СК. ТогдаВСКМ — прямоугольник. ∆ABM = ∆СКD, так чтоKD = АМ =AD − BC 14 − 6== 4(дм). В прямоугольном ∆АВМ22по теореме Пифагора получим:AB 2 − AM 2 = 5 2 − 4 2 =3(дм).

Тогда6 + 14AD + BC⋅ BM =⋅ 3 = 30(дм2).S=22ВМ =Ответ: 30 дм2.23. Площади оснований усеченного конуса 4 дм2 и 16 дм2, черезсередину высоты проведена плоскость, параллельная основаниям.Найдите площадь сечения.Рассмотрим осевое сечение усеченного конуса. Им являетсяABCD — трапеция с основаниями BC = 2R1 и AD = 2R2.62Далее, S1 = πR12 = 4(дм2). Так что R1 =S2 = πR22 = 16(дм2). Так что R2 =4π2π(дм) и ВС=(дм) и AD =8π4π(дм).(дм)MN является средней линией трапеции, так что:BC + AD6.

Но MN – диаметр данного сечения.=2π31Тогда радиус этого сечения R = MN =и площадь2πMN =S = πR2 = π ⋅9= 9(дм2).πОтвет: 9 дм2.24. Площадь оснований усеченного конуса M и m.Найдите площадь среднего сечения, параллельного основаниям.Осевое сечение усеченного конуса представляет собой трапецию ABCD с основаниями BС=2R1 и AD=2R2.Так как площади оснований равны М = πR 22 и m = πR 22 , так чтоR1 =Mи R2 =πm.πТогда, поскольку ΜΝ — средняя линия, тоMN=BC + AD=2M + mπ.Тогда радиус сечения равен R =2А площадь S = πR(=πM + m4π1MN =2) =(2M + m2 πM + m4).2.25. У пирамиды все боковые ребра равны.Докажите, что она является вписанной в некоторый конус.Задача решена в учебнике п.

191, стр. 85.6326. В конусе даны радиус основания R и высота H.Найдите ребро вписанного в него куба.Рассмотрим осевое сечение куба ASD. Тогда в ∆ASD вписанВСС1В1— прямоугольник со сторонами ВВ1 = а — длина ребра куба и ВС=а 2 — диагональ квадрата, являющегося гранью куба.Далее, ∆ASD ∼ ∆BSС так что:BCSO a 2 H − a==,, откудаAD SO12RHHа 2 = 2RH – 2аR. Так что a(2R + H 2 ) = 2RH, иа=2 RH2R + H 2Ответ: а =.2 RH2R + H 2.27. В конусе даны радиус основания R и высота H.В него вписана правильная треугольная призма, у которой боковые грани — квадратыНайдите ребро призмы.Пусть длина ребра призмы равна а.Тогда из равностороннего ∆АВС найдем ОА — радиус окружности, описанной около ∆АВС, ОА=a 3. Далее, рассмотрим осе3вое сечение SO1D.

Так как ∆SOА ∼ ∆SOD, то64OASO a 3 H − a==,, так чтоO1 D SO1 3RHаH 3 =3RH – 3Rа , a(3R + H 3 ) = 3RH , и а =Ответ: а =3RH3R + H 33RH3R + H 3..28. Полушар и вписанный в него конус имеют общее основаниеи общую высоту .Через середину высоты проведена плоскость, параллельная основанию.Докажите, что площадь сечения, заключенного между боковойповерхностью конуса и поверхностью полушара, равна половинеплощади основания.Рассмотрим осевое сечение конуса СОА.Тогда ∆СО1А1 ∼ ∆СОА, так чтоCO1 O1 A1=, так чтоCOOA1CO1CO1= AO .O1A1 = OA= OA 2COCO2В прямоугольном ∆OO1Β по теореме Пифагора:1 2 2Ο1B= = OB 2 − OO12 = R 2 −  R  =R 32Искомая площадь сечения равна разности площадей кругов срадиусом О1В и О1А:S = π ⋅ O1B2 – π⋅ О1A12= π⋅R2 ⋅ 3R 2 πR 2− π⋅=.44265А площадь основания SO = πOA2 = πR2, так что площадь сеченияравна половине площади основания, что и требовалось доказать.29.

Шар, радиус которого 41 дм, пересечен плоскостью на расстоянии 9дм от центра.Найдите площадь сечения.В прямоугольном ∆АОВ по теореме Пифагора:AB= OB 2 − OA 2 = 412 − 9 2 =40(дм). Тогда площадь сеченияS= π⋅AB2 = π ⋅ 402 = 1600π(дм2) = 16π(м2).Ответ: 16π м2.30. Через середину радиуса шара проведена перпендикулярнаяему плоскость.Как относится площадь полученного сечения к площади большого круга?Задача решена в учебнике п. 193, стр. 87.31. Радиус шара R.