pogorelov-gdz-11-2001z (Ответы ко всем упражнениям Погорелова по геометрии от седьмого до одиннадцатого класса (Погорелов))

Домашняя работапо геометрииза 11 класск учебнику «Геометрия. 10-11 класс»А.В. Погорелов, М.: «Просвещение», 2001 г.учебно-практическоепособие3СОДЕРЖАНИЕ:§ 20 Многогранники ................................................................4§ 21 Тела вращения ...............................................................52§ 22 Объемы многогранников .............................................82§ 23 Объемы и поверхности тел вращения .....................1074§ 20. Многогранники.1.

Из точек А и В в гранях двугранного угла опущены перпендикуляры АА1 и ВВ2 на ребро угла. Найдите длину отрезка АВ, еслиАА 1=а, ВВ1=b1 А1В1=с и двугранный угол равен α1.Задача решена в учебнике п. 171, стр. 59.2. У трехгранного угла (аbс) двугранный угол при ребре с прямой, двугранный угол при ребре b равен ϕ, а плоский угол (bc) равен γ (ϕ,γ<π).2Найдите два других плоских угла α = ∠ (ab), β = ∠(ас)Задача решена в учебнике п. 172, стр.

603. У трехгранного угла один плоский угол равен γ, а прилегаю-π). Найдите два других2плоских угла α и угол β, который образует плоскость угла γ с противолежащим ребром.щие к нему двугранные углы равны φ (φ <Из произвольной точки S ребра, противолежащие углу γ, проведем перпендикуляры SA на плоскость угла γ и перпендикулярыSB и SC на его стороны. Тогда по теореме о трех перпендикулярахАВ⊥OВ и АС⊥OС.Рассмотрим прямоугольные ∆SCA и ∆SВA. Они равны по катетуи противолежащему углу (∠SCA=∠SBA=ϕ). Тогда АВ=СА.

А значит, ∆АОВ=∆АОС по катету и гипотенузе. Так что ∠AОС =∠AOB.А так как ∠СОВ=∠АОС+∠АОВ=γ, то ∠АОС=∠АОВ=Далее, в ∆АSC SC=В ∆АСО ОА=γ.2ASASи АС =.sin ϕtgϕACACACASAC===и ОС =.γγγγsin ∠ADCsintgϕ ⋅ sintgtgϕ ⋅ tg22225Тогда из ∆SDCSC=tg α =OCγγ⋅ AStg22=.sin ϕ ⋅ AScos ϕtgϕ ⋅ tgγAS ⋅ tgϕ ⋅ sinγAS2== tgϕ ⋅ sin .А из ∆SAO:tgβ =OAAS2 γ  tg γОтвет: α=arctg  2  , β=arctg  tgϕ ⋅ sin  . cosϕ 24. У трехгранного угла два плоских угла острые и равны α, атретий угол равен γ. Найдите двугранные углы ϕ, противолежащиеплоским углам α, и угол β между плоскостью γ и противолежащимребром.Из произвольной точки А противолежащего углу γ угла проведем перпендикуляры АК на плоскость этого угла и AB и SB на другие ребра.Тогда по теореме о трех перпендикулярах BK⊥SB и KC⊥SC.Тогда ∆ΑΚС=∆ΑΚΒ (по общему катету АК и противолежащемууглу ∠ΑΚС=∠ΑΒΚ=φ).

Тогда ВК=КС и ∠BKS=∠СKS (по гипотенузеикатету).Значит∠KSВ=∠KSС=γ.2Далее,имеемSC=SB=AS·cosα, и AВ=АC=AS⋅sinα. Из ∆SCK получаем:SCAS cos αγγ== AS cos α tg и SK =.γγ22coscos22γγAS cos αtgtgKC22==Далее, из ∆АСКcos ϕ = cos ∠ACK =.ACAS sin αtgαKC = SC ⋅ tg6И из ∆ASKcosβ = cos∠ASK=SK AS cos α cos α==.γ cos γASAS cos2 γ cos α  tg 2. , β=arccos Ответ: α=arccos γ tgα cos25.

Докажите, что сечение призмы, параллельное основаниям,равно основаниям.Пусть А2В2С2 – данное сечение призмы. Тогда АА2С2С, АА2В2В,ВВ2С2С – параллелограммы.Значит, АВ=А2В2, АС=А2С2, ВС=В2С2 и т.д., то естьАВС...=А2В2С2... . Что и требовалось доказать.6. Сколько диагоналей имеет n-угольная призма?Так как диагональ призмы – это отрезок, соединяющий двевершины призмы, не принадлежащие одной грани, то из однойвершины можно провести n-3 различные диагонали. Но вершин восновании п, так что общее количество диагоналей будет n⋅(n – 3).Ответ: n⋅(n – 3).7.

Постройте сечение четырехугольной призмы плоскостью,проходящей через сторону основания и одну из вершин другогооснования.7Пусть, например, плоскость проходит через сторону основанияAD и вершину С1, тогда отрезок C1D принадлежит сечению. Далее,возможны два случая: либо AD пересекает ВС, либо нет. Если ADпересекает ВС, то точку их пересечения обозначим F. F ∈ ВС, азначит F ∈ (ВCC1).

Проведем отрезок FС1. Он пересечет ВВ1 в точке К. Тогда четырехугольник АКС1D будет искомым сечением.Если AD не пересекает ВС, то AD || ВС. Но ВС || В1С1, так чтоAD || B1C1, а через две параллельные прямые проходит единственная плоскость, содержащая их. Эта плоскость является искомымсечением т.к. точки А, D, C1 принадлежат этой плоскости.8. Постройте сечение четырехугольной призмы плоскостью,проходящей через три точки на боковых ребрах призмы.B1C1A1D1K1MBCOANDПусть K, M и N – данные точки.Возможны три случая:1) Точки K, M, N расположены так, что MN || DC и KM || MN.Тогда плоскость, проходящая через точки K, M и N параллельнаплоскости грани ABCD, т.к.

две пересекающие прямые KM и MNпараллельны грани ABCD. Проведем прямую ON || AD. Тогда онабудет принадлежать плоскости сечения. Так как иначе она пересекала бы и грань ABCD, то есть и AD, что неверно.Тогда четырехугольник KMNO – искомое сечение.2) Точки K, M, N располагаются так,что КМ || ВС, но MN не параллельно DC.Тогда через точки M и N проведем прямую а, которая пересекает прямую DC внекоторой точке S.C1B1KMDBCNDOТогда S принадлежит сечению. ЧерезKточку S проведем прямую b || KM. ТогдаASb принадлежит сечению и b || BC, т.к.Xb || KM и КМ || ВС.

Тогда АВ пересекаетпрямую b в некоторой точке Х. Тогда Х принадлежит сечению.8А также можно соединить точи К и Х отрезком, который пересечетА1А в некоторой точке О. Тогда точка О тоже принадлежит сечению. А значит, четырехугольник OKMN – это искомое сечение.Общий случай:3) Когда точки К, M, N располагаются так, что MN не параллельноDC и KM не параллельно MN. Тогда прямая ΜΝ пересечет прямуюDC в некоторой точке F, прямаяМК пересечет прямую ВС в некоторой точке X. Точки Χ и F принадлежат плоскости ABCD, а также искомому сечению, значит,плоскость ABCD и сечение пересекаются по прямой XF. Тогдапрямая АВ, или прямая AD, или обе эти прямых пересекают прямую XF. Допустим АВ пересекает XF в точке S.

Тогда точка S принадлежит и плоскости АА1В1В, а также сечению. Проведем прямуюSК. Она пересечет ребро АА1 в точке О. Так что ΜΝΟΚ – искомоесечение.9. У призмы одно боковое ребро перпендикулярно плоскостиоснования. Докажите, Что остальные боковые ребра тоже перпендикулярны плоскости основания.Боковые ребра призмы параллельны между собой, так что поскольку одно ребро перпендикулярно основанию, то значит, и остальные боковые ребра тоже перпендикулярны основанию. Что итребовалось доказать.10. В прямой треугольной призме стороны основания равны 10 см,17 см и 21 см, а высота призмы — 18 см.

Найдите площадь сечения,проведенного через боковое ребро, и меньшую высоту основания.Данным сечением является прямоугольник BHH1B1 со сторонами ВВ1=18 см и ВН; где ВН — меньшая высота ∆АВС.Далее, площадь основания с одной стороны равна:S = p( p − a )( p − b)( p − c) == 24(24 − 10)(24 − 17)(24 − 21) = 84 (см2).912С другой стороны S = AC ⋅ BH , так чтоВН =2 S 2 ⋅ 84== 8 (см).21ACТогда искомая площадь сечения равнаS1 = BB1 ⋅ BH = 18 ⋅ 8 = 144 (см2).Ответ: 144 см2.11. Боковое ребро наклонной призмы равно 15 см и наклоненок плоскости основания под углом 30°. Найдите высоту призмы.ΒΟ — перпендикуляр к основанию, так что ∆АВО — прямоугольный. Значит, BC=AB⋅sin∠BAC=l 5⋅sin30° =7,5 (см).Ответ: 7,5 см.12.

В наклонной треугольной призме расстояния между боковыми ребрами равны 37 см, 13 см и 40 см. Найдите расстояние между большей боковой гранью и противолежащим боковым ребром.Пусть сечение MNK перпендикулярно боковым ребрам призмы.Тогда в ∆MNK:MN = l3см, ΝΚ = 37см и MК = 40см.Искомое расстояние равно высоте, проведенной в ∆MNK кбольшей стороне, то есть NH, где NH ⊥ MK.Площадь ∆MNK с одной стороны равна:S= p(p - a)(p - b)(p - c) =45(45 - 40)(45 - 37)(45 - 13) = 45 ⋅ 5 ⋅ 8 ⋅ 32 = 240 (см2).10С другой стороны S=NH=1MK·NH, так что22S2 ⋅ 240== 12 (см).40MKОтвет: 12 см.13. Основанием призмы является правильный шестиугольниксо стороной а, а боковые грани — квадраты.

Найдите диагоналипризмы и площади ее диагональных сечений.Диагональные сечения призмы — это прямоугольники АА1D1Dи АА1С1С. Далее, АА1=a, AD=2a (диаметр описанной окружности) иАС=а 3 (по теореме косинусов из ∆АВС).Так что площади сечений равны:S = АА ⋅ АС = а · а 3 =а2 3 и11S2=AA1 ⋅ AD = а · 2а = 2а2.Диагонали призмы вычисляются по теореме Пифагора:AD1= AA12 + AD 2 = a 2 + 4a 2 = 5a 2 = a 5 = d1 ,АС =AA12 + AC 2 = a 2 + 3a 2 =4a 2 = 2 a = d 2 .Ответ: S1 = a 2 3 ; S2 = 2a2; d1 = a 5 ; d2 = 2a.14. В правильной шестиугольной призме, у которой боковыеграни — квадраты, проведите плоскость через сторону нижнегооснования и противолежащую ей сторону верхнего основания.Сторона основания равна а.