pogorelov-gdz-11-2001z (Ответы ко всем упражнениям Погорелова по геометрии от седьмого до одиннадцатого класса (Погорелов)), страница 3

Боковое ребро прямого параллелепипеда 5 м, стороны основания 6 м и 8 м, а одна из диагоналей основания 12м. Найдите диагонали параллелепипеда.Основание параллелепипеда — параллелограмм ABCD со сторонами АВ=6 м, AD=8 м и диагональю АС=12 м. Так как в параллелограмме сумма квадратов всех сторон равна сумме квадратовдиагоналей, то 2⋅AB2 + 2AD2 = AC2 + ВD2. Откуда получаем:BD= 2 ⋅ AB 2 + 2 ⋅ AD 2 − AC 2 = 2 ⋅ 62 + 2 ⋅ 82 − 122 = 56 (м).Далее, в прямоугольном ∆АСС1 по теореме Пифагора:АС1 =∆BВ1DAC 2 + CC12 = 12 2 + 5 2 = 13(м). А в прямоугольномB1D = BD 2 + BB12 =( 56 ) + 522= 81 = 9(м).Ответ: 13 м и 9 м.34.

В прямом параллелепипеде боковое ребро 1м, стороны основания 23дм и 11дм, а диагонали основания относятся как 2:3.Найдите площади диагональных сечений.Основание параллелепипеда — параллелограмм со сторонамиа1 = 23дм и а2 = 11дм и диагоналями d1 и d2, отношение которыхd1 : d2 = 2 : 3. Пусть d1 = 2k, тогда d2 = 3k.В параллелограмме сумма квадратов всех сторон равна суммеквадратов диагоналей, так что2a12 + 2а22 = d12 + d22 , то есть2 · 232 + 2 · 112 = (2k)2 + (3k)2, 13k2 = 1300, k=10 (дм).Так что d1 = 20(дм) и d2 = 30(дм). Далее, высота h = 1м = 10дм иплощади диагональных сечений вычисляются по формулам:S1 = d1 ⋅ h = 20 ⋅ 10 = 200(дм2) = 2 (м2).S2 = d2 ⋅ h = 30 ⋅ 10 = 300(дм2) = 3 (м2).Ответ: 2м2 и 3м2.2035. Найдите диагонали прямоугольного параллелепипеда потрем его измерениям: 1) 1, 2, 2; 2) 2, 3, 6; 3) 6, 6, 7.Квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равенсумме квадратов трех его измерений, то есть d2 = a2 + b2 + c2.

Такчто d =a 2 + b2 + c 2 :1) d = 12 + 22 + 22 = 9 = 3 ;2) d =22 + 32 + 62 = 49 = 7 ;3) d =62 + 62 + 7 2 = 121 = 11 .36. Ребро куба равно а. Найдите расстояние от вершины кубадо его диагонали, соединяющей две другие вершины.Имеем A1D = a 2 (из ∆АА1D). Далее, ∆Α1B1D — прямоугольный, A1B1 = a, A1D = 2 .Далее, квадрат диагонали в прямоугольном параллелепипедеравен сумме квадратов трех его измерений, то естьВ1D2 = a2 + a2 + a2, так что B1D = a 3Площадь ∆A1B1D равна:11S = A1B1 ⋅ A1D = А1Н ⋅ В1D, так что22A1H =2A1B1 ⋅ A1D a ⋅ a 2==a.3B1Da 3Ответ: a2.337.

В прямоугольном параллелепипеде стороны основания 7 дми 24 дм, а высота параллелепипеда 8 дм.Найдите площадь диагонального сечения.Основание параллелепипеда — прямоугольник со сторонамиа1 = 7дм и а2 = 24дм.Тогда его диагональ по теореме Пифагора:b= a 2 + b 2 = 7 2 + 242 = 25(дм).21Диагональное сечение — это прямоугольник со сторонамиb = 25дм и с = 8дм (высота).Тогда площадь диагонального сечения равна:S = b ⋅ c = 25 ⋅ 8 = 200(дм2) = 2(м2).Ответ: 2 м2.38.

Найдите поверхность прямоугольного параллелепипеда потрем его измерениям: 10 см, 22 см, 16 см.Пусть а = 10см, b = 22 см и с = 16 см — измерения параллелепипеда. Так как противоположные грани равны, то и площади ихравны. А значит, площадь поверхности параллелепипеда равна:S = 2ab+2bc+2ac = 2⋅10⋅22+2⋅22⋅16+2⋅10⋅16 = 1464 (см2).Ответ: 1464 см2.39. Найдите боковую поверхность прямоугольного параллелепипеда, если его высота h, площадь основания Q, а площадь диагонального сечения Μ.Основание параллелепипеда —прямоугольник со сторонамиAB = а и AD = b.Тогда диагональ BD находим по теореме Пифагора:BD = a 2 + b 2 .А площадь основания равнаQ = AB · AD = а ⋅ b.Площадь прямоугольника BB1D1D, равна М = BD ⋅ h, так чтоBD =М.hСледовательно:М2h2= а2 + b2, а Q = ab.Тогда:М2h2+ 2Q = а2 + b2 + 2ab, то естьТак что: a + b =22М2h2+ 2Q .М2h2+ 2Q = (а + b)2.Площадь боковой поверхности равна:М2S = P ⋅ h = 2(a + b)h = 2hh2+ 2Q = 2 М 2 + 2Qh 2 .40.

Диагонали трех граней прямоугольного параллелепипеда,сходящиеся в одной вершине, равны а, b и с. Найдите линейныеразмеры параллелепипеда.Пусть х, у, z линейные размеры прямоугольного параллелепипеда. Тогда по теореме Пифагора:x2 + у2 = с2.y2 + z2 = a2.z2 + x2 = b2.Сложим первые два уравнения и вычтем третье:2у2 = c2 + a2 - b2. Так что у=1 2(c + a 2 − b 2 ) .2Аналогично: 2z2 = a2 + b2 - c2, z =и 2x2 = b2 + c2- a2, x =1 2(c + a 2 − b 2 )21 2(b + c 2 − a 2 ) .241. Основание пирамиды — равнобедренный треугольник, укоторого основание равно 12 см, а боковая сторона — 10 см.

Боковые грани образуют с основанием равные двугранные углы, содержащие по 45°. Найдите высоту пирамиды.23Проведем перпендикуляр SO к плоскости основания и перпендикуляры SK, SM и SN к сторонам ∆ABС. Тогда по теореме о трехперпендикулярах OK ⊥ BC, ОМ ⊥ АС и ON ⊥ AB.Тогда, ∠SKO = ∠SMO = ∠SNO = 45° — как линейные углыданных двугранных углов.А следовательно, прямоугольные треугольники SKO, SMO иSNO равны по катету и острому углу.Так что OK=OM=ON, то есть точка О является центром окружности, вписанной в ∆АВС.Выразим площадь прямоугольника АВС:S= р( р − AB)( р − AC)( p − BC) = 16 ⋅ (16 − 10) ⋅ (16 − 10) ⋅ (16 − 12) = 48(см)С другой стороны, S = p ⋅ r.

Так что r =S 48== 3 (см). ОК=r=3 см.p 16Так как в прямоугольном треугольнике SOK острый угол равен45°, то ∆SOK является равнобедренным и SO=OK=3 см.Ответ: 3 см.42. Основание пирамиды — прямоугольник со сторонами 6 сми 8 см. Каждое боковое ребро пирамиды равно 13 см.Вычислите высоту пирамиды.Так как SA = SB = SC = SD, то прямоугольные треугольникиASO, BSO, CSO и DSO равны по гипотенузе и общему катету SO.Тогда AO = BO = CO = DO, а значит, точка О является точкойпересечения AC и BD.В ∆ABD:BD= AB 2 + AD 2 = 62 + 82 =10(см). ТогдаOD =1BD = 5(см). Далее,2в ∆SOD по теореме Пифагора:SO = SD 2 − OD 2 = 13 2 − 5 2 = 12(см).Ответ: 12 см.2443. Основанием пирамиды является правильный треугольник;одна из боковых граней перпендикулярна основанию, а две другиенаклонены к нему под углом α.Как наклонены к плоскости основания боковые ребра?Допустим, плоскость SBC перпендикулярна основанию.

ТогдаSK ⊥ BC является высотой пирамиды. Проведем SM ⊥ AC иSN ⊥ AB. По теореме о трех перпендикулярах КМ ⊥ АС и KN ⊥ AB.Значит, ∠SNK = ∠SMK = α как линейные углы данных двугранныхуглов.Тогда ∆SMK = ∆SNK по катету и острому углу. Так чтоMK = NK. Далее, ∆MKC= ∆NKB (так как MK = NM и ∠С=∠В =60°).Так что КС = KB =a.2Далее, в ∆СMK:МК = KC ⋅ sin 60° =В ∆СAK:а 3 а 3⋅=.2 24АK = AC ⋅ sin 60° =В ∆SMK: SK = MK ⋅ tgα =a 3.2а 3⋅ tgα.4SK a 3 ⋅ tgα ⋅ 23==tgα .KC4⋅a2 3∠SCK = ∠SBK = arctg tgα  . 2В ∆SCK: tg∠SCK =В ∆SΑΚ: tg∠SAK =SK a 3 ⋅ tgα ⋅ 2 1== tgα .AK24⋅a 312Так что ∠SAK = arctg  tgα .2544.

В основании пирамиды лежит прямоугольный треугольникс гипотенузой а. Каждое боковое ребро образует с плоскостью основания угол β. Найдите ее высоту.Построим высоту пирамиды SK. Тогда прямоугольные треугольники SAK, SBK, SCK равны по катету и острому углу (SK —общий катет и острые углы β). Так что АК=ВК=СК, то есть точкаК является центром окружности, описанной около основания, такчто К лежит на гипотенузе ВС и СК = КВ =Далее, в ∆SKC: SK = KC ⋅ tg β =Ответ:а.2аtgβ.2аtgβ.245. Основание пирамиды — прямоугольный треугольник с катетами 6 см и 8 см.

Все двугранные углы при основании пирамиды равны 60°. Найдите высоту пирамиды.Проведем SO — высоту пирамиды и перпендикуляры SK, SM иSN к соответствующим сторонам ∆АВС.Тогда по теореме о трех перпендикулярах OK ⊥ ВC, ОМ ⊥ АС иON ⊥ AB. Так что ∠SKO = ∠SMO = ∠SNO = 60° — линейные углыданных двугранных углов. Значит, треугольники SKO, SMO и SNOравны по катету и острому углу.

Тогда OM = OK = ON, то естьточка О является центром окружности, вписанной в основание. В26прямоугольном ∆АВС: AB = АС 2 + ВС 2 = 6 2 + 8 2 = 10(см). Тогда площадь ∆АВС равна:11S = AС ⋅ ВС = ⋅ 6 ⋅ 8 = 24(см2). С другой стороны, S = pr.22Так что r =S 24== 2(см).p 12Далее, в ∆SΜΟ: SO = MO ⋅ tg 60°= r ⋅3 = 2 3 (см).Ответ: SO = 2 346. Основание пирамиды — параллелограмм, у которого стороны 3 см и 7 см, а одна из диагоналей 6 см.Высота пирамиды проходит через точку пересечения диагоналей, она равна 4 см.

Найдите боковое ребро пирамиды.Так как основание пирамиды — параллелограмм, то BO = DO иАО = ОС.Тогда треугольники AOS и COS равны по двум катетам. Треугольники BOS и DOS также равны.Так что BS = DS и AS = CS. Далее,OD =11BD = ⋅ 6 = 3(cм).22В ∆DOS по теореме Пифагора имеем:DS = SO 2 + OD 2 = 4 2 + 3 2 = 5(cм).BS = DS = 5 см.Далее, в параллелограмме сумма квадратов всех сторон равнасумме квадратов диагоналей, то есть 2 ⋅ AB2 + 2 ⋅ AD2 = BD2 ⋅ AC2.Так что, AC = 2 АВ 2 + 2 AD2 − BD2 = 2 ⋅ 32 + 2 ⋅ 7 2 − 6 2 = 80 (см).27Поэтому AO =11AC = ⋅ 80 = 20 (cм) и в прямоугольном22∆AOS по теореме Пифагора получаем:AS =SO 2 + AO 2 = 4 2 + ( 20 ) 2 = 6(см).CS = AS = 6 см.47. Основание пирамиды — ромб с диагоналями 6 м и 8 м; высота пирамиды проходит через точку пересечений диагоналейромба и равна 1 м. Найдите боковую поверхность пирамиды.1АС и OD — общая).2Тогда высоты ОМ=ОК.