pogorelov-gdz-11-2001z (Ответы ко всем упражнениям Погорелова по геометрии от седьмого до одиннадцатого класса (Погорелов)), страница 9

Так что и точка О лежит на высоте правильной пирамиды. Что и требовалось доказать.49. Найдите радиус шара, описанного около правильного тетраэдра с ребром а.Пусть высота тетраэдра DО1 пересекает поверхность шара в некоторой точке М. Высота в правильной пирамиде проходит черезцентр окружности, описанной около основания. Так что O1С —радиус описанной около АВС окружности.∆АВС равносторонний, так чтоO1C=AB 3 a 3=.33Рассмотрим осевое сечение шара, содержащее точку С.

∆DСM—прямоугольный, так как вписанный угол ∠DCM опирается на диаметр DM. Тогда катет DC — есть среднее геометрическое междусвоей проекцией и гипотенузой. То есть DC = DM ⋅ O1D .7622В ∆O1DC: DO1= DC − O1CТогда DM =2a 3 =a 2 .= a − 3 32DC 2 a 2 3 a 6==2DO1a 212А радиус шара R = DM =a 6.450. В правильной четырехугольной пирамиде сторона основания равна а, а плоский угол при вершине равен α. Найдите радиусы вписанного и описанного шаров.Проведем в пирамиде высоту SO и SH⊥DC. Тогда по теореме отрех перпендикулярах OH⊥DC. Тогда, так как ∆SDС равнобедренный, то SH является и медианой, и биссектрисой. Так чтоaaHCaHС= и ∠CSH= . В ∆SHC: SC=и=sin ∠CSH 2 sin α222HCaSH=.=tg∠CSH 2tg α2Далее в ∆SHO: ОH=aa2a2−=. Так что SO = SH2 − OH2 =422α4tg277a=2a2 − 1 = a cos α . Далее, ∠SBM=90°, так как этот вписанaasin 22 sin22cos 2ный угол опирается на диаметр SM.

Знаем, что катет являетсясредним пропорциональным между гипотенузой и проекцией катета на гипотенузу, так что ВS2=SМ·SO, так чтоαa 2 ⋅ 2 sinBS 2 SC 2a2===SM =.ααSOSO4 sin 2 ⋅ a cos α 2 sincos α22a2a cos aaa4 sin 22 sin22aили R =.a4 sincos a2= 2R ⋅Так как радиус описанного шара R=1aSM, то R =.α22 sincos α2Далее, рассмотрим сечение пирамиды плоскостью SOH.OO2=EO2 — радиус вписанного шара. Имеем ∆SHО ∼ ∆SO2E:Так чтоO 2 E SO 2OO2 SO − OO2или.

Так что==OHSHOHSHa a cos α⋅αα2 2 sin α2a 2 cos α ⋅ tga cos α ⋅ tgOH ⋅ SO2 =2 =2 ==ОО2 =aaααααOH + SH+4a sin 1 + tg  2 cos 1 + tg α2 2tg22222αα a  cos α − sin α  cos α + sin α − sin 222 2222===αααα2 cos 1 + tg 2 cos + sin 2222a cos 278a=2αα− sin1 − tg22 =aαα21 + tgcos + sin22cosα2 .α251. В шар радиуса R вписана правильная треугольная пирамидас плоскими углами α при ее вершине. Найдите высоту пирамиды.Проведем высоту SO пирамиды, и SH⊥AC. Так как ∆ASC равнобедренный, то SH является и медианой, и биссектрисой.

Так что,если AS= Х, тоαααAH=ASsin =Х·sin и AC=2АН=2⋅Х⋅sin . В равностороннем ∆ΑΒС222AC 3радиус описанной окружности равен AO==3α2⋅ X ⋅ sin ⋅ 32.3В прямоугольном ∆ASO по теореме Пифагора:SO= AS 2 − AO 2 = X 2 −α4 2 2α4= X 1 − sin 2 .X sin3232Рассмотрим осевое сечение шара, содержащее точку А. ∠SAD=90°— как вписанный угол, опирающийся на диаметр SD. Так как впрямоугольном треугольнике катет является средним пропорциональным между гипотенузой и проекцией катета на гипотенузу, то43в ∆ASD: AS2=SD·SO, X 2 = 2 R ⋅ X 1 − sin 243Х=2R 1 − sin 2α, так что2α.2Поэтому высота пирамиды равна:43SO = Х ⋅ 1 − sin 2ααα44= 2 R 1 − sin 2 ⋅ 1 − sin 2 =232327943= 2 R1 − sin 2α.252. Правильная n-угольная призма вписана в шар радиуса R.Ребро основания призмы равно а.

Найдите высоту призмы при:1) n = 3; 2) n = 4; 3) n = 6.Так как вписанная призма правильная, то высота будет равна длине отрезка O2O, где точки О2 и О являются центрами окружностей,описанных около оснований призмы. ТогдаОО2=2OO1= 2 O1B 2 − OB 2 = 2 R 2 − b 2 где b=OB — радиус окружности, описанной около основания призмы. Тогда:1) n = 3. В основании призмы лежит равносторонний треугольник.Так что b=a 3, поэтому322a 3 = 2 R2 − a .ОО2 = 2 R −  3 32) n = 4.

В основании призмы лежит квадрат. Так что2b=a 2и ОО2= 2 R 2222a 2 = 2 R2 − a .− 2 23) п = 6. В основании призмы лежит правильный шестиугольник.Так что b= a, поэтому ОО2= 2 R 2 − a 2 .53. Сторона основания правильной n-угольной пирамиды равнаа, двугранный угол при основании равен φ. Найдите радиус шара,вписанного в пирамиду.80В правильной пирамиде проведем высоту SO. Тогда О — центрокружности, описанной около основания. Так что ∆AOB — равнобедренный и ∠АОВ=360 o. Далее, проведем OH⊥BA. Тогда поnтеореме о трех перпендикулярах SH⊥АВ. Тогда ∠SHO=ϕ (линейный угол данного двугранного угла).В прямоугольном ∆OHB:ОН=BHa=, (так как ОН — высота, медиана и бисtg∠HOB 2tg 180 onсектриса).Центр вписанной окружности лежит на пересечении биссектрис,так что О1Н— биссектриса угла φ, так что ∠ОНО1 =ϕ2В прямоугольном ∆ΟΟ1H:α2 — искомый радиус.OO1 = OH · tg∠OHO1 =180 o2tgnatg8154.

Найдите радиус шара, описанного около правильнойn-угольной пирамиды, если сторона основания равна а, а боковоеребро наклонено к плоскости основания под углом α.Проведем высоту SO правильной пирамиды. Тогда О — центр окружности, описанной около основания. Далее,В прямоугольном ∆ASO: SA=АО =a180o2 sinnAOAO=,cos ∠SAO cos α(радиус описанной окружности в правильном n-угольнике.Тогда SA =a180o2 sincos αn. Далее, SO = AO⋅tgα =atgα2 sin180onРассмотрим осевое сечение шара, содержащее точку А.∠SAD = 90° как вписанный угол, опирающийся на диаметр SD.Так как катет является средним пропорциональным между гипотенузой и проекцией катета на гипотенузу, то AS2 =SD ⋅ SO (в ∆ASD).AS 2=Так что SD =SOa=o180sin α cos αn1Тогда SO1 = SD =28 sin82a 2 ⋅ sin8 sin 2=180°n180ocos 2 α ⋅ atgαna.=180osin 2αna— искомый радиус.180o2 sin 2α ⋅ sinn4 sin§22.

Объемы многогранников.1. Три латунных куба с ребрами 3 см, 4 см и 5 см переплавленыв один куб. Какое ребро у этого куба?Объем нового куба будет равен сумме объемов трех данных кубов.То есть V=V1+V2+V3. Но объем куба равен V=a3. Так чтоa = 3 a13 + a32 + a33 = 3 3 3 + 4 3 + 5 3 = 6 (см).Ответ: 6 см.2. Металлический куб имеет внешнее ребро 10,2 см и массу514,15 г. Толщина стенок равна 0,1 см. Найдите плотность металла, из которого сделан куб.Ребро внутреннего куба равно b = a–2·0,1=10 (см).Объем металла равен разности объемов кубов:V=a3–b3=10,23–103=61,208. Тогда плотностьρ=m 514,15=≈ 8,4 г/см3.V 61,2083. Если каждое ребро куба увеличить на 2 см, то его объем увеличивается на 98 см3. Чему равно ребро куба?Задача решена в учебнике п. 200, стр.

99.4. Если каждое ребро куба увеличить на 1 м, то его объем увеличится в 125 раз. Найдите ребро.Пусть ребро куба равно а, тогда его объем V=а3. Далее, ребронового куба равно а+1, его объем V ′=(а+1)3. По условию:V1′( a + 1)3a +1= 125,= 125,= 5. Так что а=0,25(м).3Vaa5. Кирпич размером 25х12х6,5 имеет массу 3,51кг. Найдите егоплотность.Найдем объем кирпича: V = 25⋅12⋅6,5 = 1950 (см3).Далее, 3,51кг=3510г. Так что плотностьρ=m 3510== 1,8 (г/см3).V 1950836. Требуется установить резервуар для воды емкостью 10 м3 наплощадке размером 2,5м х 1,75 м, служащей для него дном.

Найдите высоту резервуара.Площадь дна S =2,5⋅1,75 = 4,375 (м2). Так какV=S⋅h, то h=V10=≈ 2,29 (м).S 4,3757. Измерения прямоугольного параллелепипеда 15м, 50м и 36м.Найдите ребро равновеликого ему куба.Объем параллелепипеда равен V =15⋅50⋅36 = 27000 (м3).Пусть ребро куба а, тогда V=а3. То естьа = 27000 = 30 (м).8. Измерения прямоугольного бруска 3см, 4см и 5см.

Если увеличить каждое ребро на Χ сантиметров, то поверхность увеличитсяна 54 см2. Как увеличится объем?Площадь поверхности прямоугольного параллелепипедаS=2·(ab+bc+ac), где а, b, с — его измерения. Площадь поверхностиданного бруска равна S=2·(3·4+3·5+4·5)=94 (см2). Тогда площадьповерхностиновогобрускаS′=2·((X+3)(X+4)+(X+3)(X+5)++(X+4)(X+5))=6X2+48X+94=S+54=148 (см2).

Так что6X2+48X+94=148X2+8X–9=0, X=–9 или X=1. Корень X=–9 не подходит, так какиначе размеры нового бруска отрицательны. Значит, Х=1.Так чтоV′ 4⋅5⋅6 6== = 2. Объем увеличится в 2 раза.V3⋅ 4 ⋅5 39. Чугунная труба имеет квадратное сечение, ее внешняя ширина 25 см, толщина стенок 3 см. Какова масса погонного метра трубы (плотность чугуна 73 г/см3)?Найдем внутреннюю ширину трубы y = x–2·3 = 25–6 = 19 (см).Тогда площадь сечения равна S = x2–y2 = 252–192 = 264 (см2) и объем метра трубы V = S⋅100=26400 (см3).Далее, m = ρ ⋅ V = 7,3⋅26400 = 192720(гр) = 192,72(кг) ≈ 193(кг).10. Чему равен объем прямоугольного параллелепипеда, диагональ которого а составляет с плоскостью основания угол α, а с боковой гранью — угол β?84В ∆АСС1:С1С=АС1⋅sinα=asinα.AC=AC1⋅cosα=acosα. Далее,в ∆C1D1AD1C1=AC1⋅sinβ=a⋅sinβ.DC=D1C1=asinβ.

Тогдав ∆ADC по теореме Пифагора:AD =AC 2 − DC 2 = a 2 cos 2 α − a 2 sin 2 β = a ⋅ cos 2 α − sin 2 β .Объем прямоугольного параллелепипеда равен произведению трехего измерений, так что V=AD⋅DC⋅CC1 =a3 sinα⋅sinβ cos2 α − sin 2 β .11. В прямом параллелепипеде стороны основания а и b образуют угол 30°. Боковая поверхность равна S. Найдите его объем.Задача решена в учебнике п. 201, стр. 100.12.

В прямом параллелепипеде стороны основания 2 2 см и5см образуют угол 45°. Меньшая диагональ равна 7см.Найдите его объем.В основании параллелепипеда лежит параллелограмм с площадью S = AB ⋅ AD ⋅ sin 45° = 2 2 ⋅5⋅2= 10(см2).2Далее, в ∆ΑΒD по теореме косинусов:BD =AB 2 + AD 2 − 2 ⋅ AB ⋅ AD ⋅ cos 45o == 8 + 25 − 2 ⋅ 2 2 ⋅ 5 ⋅2= 13 (см).285Тогда в ∆BDD1 по теореме Пифагора:DD1 = BD12 − BD 2 = 7 2 − 13 = 6(см). ПоэтомуV = S ⋅ DD1 = 60(см3).13. Основание прямого параллелепипеда — ромб, площадь которого 1м2. Площадь диагональных сечений 3 м2 и 6 м2. Найдитеобъем параллелепипеда.Основание параллелепипеда — ромб, с площадью1S = AC⋅BD=l (м2).