pogorelov-gdz-11-2001z (Ответы ко всем упражнениям Погорелова по геометрии от седьмого до одиннадцатого класса (Погорелов)), страница 12

Решите предыдущую задачу в случае правильной усеченнойтреугольной пирамиды.Дополним данную усеченную пирамиду до полной. Проведем высоту O2O. Так как в правильной пирамиде высота проходит черезцентр окружности, вписанной в основание, то MO и М1О1 — радиусы окружностей, вписанных в ∆ABC и ∆A1B1C1. Далее площадиравны ∆ABC и ∆A1B1C1 равны S1 =a2 3b2 3и S2 =соответст44венно, а радиусы вписанных окружностей OM =O1M1 =a 3и6b 3.6Поскольку ОМ⊥АВ, то ∠M1MO=α — линейный угол данного двугранного угла.

В прямоугольной трапеции ММ1О1О проведемM1K⊥MO, тогдаМК=МО−КО=МО−М1О1=( a − b) 3.6Далее в ∆М1MК:M1K = MK ⋅ tgα =106( a − b) 3tgα . Так что6V ==()11 ( a − b) 33⋅ tgα(a 2 + ab + b 2 )=M1K S1 + S1S 2 + S2 = ⋅3364( a3 − b3 ) tgα.2448. Через середину высоты пирамиды проведена плоскость, параллельная основанию.В каком отношении она делит объем пирамиды?Задача решена в учебнике п. 206, стр.

105.49. Высота пирамиды h.На каком расстоянии от вершины находится сечение, параллельное основанию и делящее ее объем пополам?Проведенное сечение отсекает от данной пирамиды подобную. Вподобных фигурах отношение линейных размеров равно коэффициенту подобия, а отношение объемов кубу коэффициента подобия. Так что V1 : V2 = k 3 =Ответ:h3211h, то есть k =. Далее h1=kh=.33222.107§ 23. Объемы и поверхности тел вращения.1. 25м медной проволоки имеют массу 100,7г.Найдите диаметр проволоки (плотность меди 8,94гсм 3).Найдем объем проволоки:V =m 100,7=(см3).ρ8,94Но V = πR2⋅l =d=4V=πlπd 2⋅ l .Так что44 ⋅ 100,7≈ 0,076 (см) = 0,76(мм).8,94 ⋅ π ⋅ 25002.

Насос, подающий воду в паровой котел, имеет два водяныхцилиндра. Диаметры цилиндров 80мм, а ход поршня 150мм.Чему равна часовая производительность насоса, если каждыйпоршень делает 50 рабочих ходов в минуту?Объем каждого цилиндра равен V0 =πd 2⋅ h = 240000π (мм3).4Тогда за 1 минуту через насос проходитV1 = 250⋅V2 = 100⋅240000π = 24⋅106π (мм3) = 24π (л).А за 1 час =60 минут V = 60⋅V1 = 1440π (л) ≈ 4500 (л).3. Во сколько раз надо увеличить высоту цилиндра, не меняяего основание, чтобы объем увеличился в n раз? Во сколько разнадо увеличить радиус основания цилиндра, не меняя высоту, чтобы объем увеличился в n раз?Объем цилиндр равен V = Sосн ⋅ h. Тогда, еслиV′S ′ ⋅ h′= n , то= n и S′ = S0, то h′ = nh0.V0S0 ⋅ h0То есть, если не менять основание для того, чтобы объем увеличить в n раз, надо высоту цилиндра увеличить в n раз.

Далее, если2V′S ′ ⋅ h′ π( R′) 2  R′ ==   = n , так что= n , и h′ = h0, тоV0S0 ⋅ h0πR02 R0 108R′ = n ⋅ R0 . То есть чтобы при неизменной высоте увеличитьобъем цилиндра в n раз, надо радиус основания увеличить в nраз.4. В цилиндр вписана правильная треугольная призма, а впризму вписан цилиндр. Найдите отношение объемов цилиндров.Пусть сторона основания призмы равна х.Тогда радиус цилиндра, описанного около призмы, равен радиусу окружности, описанной около правильного треугольника, состороной х R1 =х 3.3А радиус вписанного в призму цилиндра равен радиусу окружности, вписанной в правильный треугольник, со стороной х;R2 =a 3. Отношения объемов цилиндров:62V1 πR12 ⋅ h R12  x ⋅ 3 ⋅ 6 =4.===V2 πR22 ⋅ h R22  3 ⋅ x 3 5.

Найдите объем цилиндра, вписанного в правильную шестиугольную призму, у которой каждое ребро равно а.По условию Н=АА1=а. Далее ∆AОВ — равносторонний. Радиусвписанного цилиндра OD = AO⋅sin∠OAD == AO ⋅ sin 60o =a 3(так как АО=R=AB=a).2109Тогда объем цилиндра23a 3 ⋅ a = 3πa .V = Sосн ⋅ h = πOD ⋅ AA1 = π ⋅  2 426.

Свинцовая труба (плотность свинца 11,4 г/см3 ) с толщинойстенок 4мм имеет внутренний диаметр 13мм.Какова масса 25 м этой трубы?Если внутренний диаметр d1=1,3см, товнешний диаметр d2=1,3+2⋅0,4=2,1(см).Далее, πd 2πd 2 m = ρ ⋅ V = ρ(V2 − V1 ) = ρ 2 ⋅ h − 1 ⋅ h  = 4411,43,142500ρπh 2⋅⋅(d 2 − d12 ) =(2,12 − 1,32 ) ≈ 60854(г) ≈ 61(кг) .=447. Куча щебня имеет коническую форму, радиус основания которой 2 м, а образующая 2,5 м.Найдите объем кучи щебня.В ∆SАO по теореме Пифагора получаем:SO= SA2 − OA2 = 2,52 − 22 =1,5(м).Тогда объем кучи:V =11π ⋅ AO 2 ⋅ SO = ⋅ π ⋅ 22 ⋅ 1,5 = 2π(м3 ) ≈ 6,3(м3 ) .33Ответ: 6,3 м3.8.

Осевым сечением конуса является равнобедренный прямоугольный треугольник, площадь которого 9 м2.Найдите объем конуса.11011V = πR 2 ⋅ H = π ⋅ OB 2 ⋅ SO .33В равнобедренном прямоугольном треугольнике ASB AS=SB и1AS 2.S= AS⋅SB=22Так что AS = BS = 2 ⋅ S = 2 ⋅ 9 = 3 2 (м).Тогда AB = AS 2 + BS 2 = 18 + 18 = 6 (м) и АО =Далее в ∆SАΟ: OS = АS ⋅ sin 45o = 3 2 ⋅131АВ = 3 (м).22=3(м).213Так что V = πАО 2 ⋅ SO = ⋅ π ⋅ 32 ⋅ 3 =9π(м3) ≈ 28,26 (м3).Ответ: ≈28,26 м3.9. Длина образующей конуса равна l, а длина окружности основания — с.

Найдите объем конуса.Формула для длины окружности L=2πR. Так что OB=R=с.2πДалее в прямоугольном ∆SBO по теореме Пифагора получаем:SO = BS 2 − OB 2 = l 2 −c24π2=4π2l 2 − c 2.2π13Тогда V = Sосн ⋅ h ==1 21c24π2l 2 − c 2c2πR ⋅ SO = π ⋅ 2 ⋅=4π2l 2 − c 2 .33 4π2π24π210. Образующая конуса составляет с плоскостью основанияугол α. Найдите объем конуса.111В прямоугольном ∆SBO SO=BS·sinα=lsinα, аBO=BS·cosα=lcosα.1313Тогда V = Sосн ⋅ SO = πl 2 cos 2 αl sin α =πl 3cos 2 α sin α .311.

Стог сена имеет форму цилиндра с коническим верхом. Радиус его основания 2,5 м, высота 4 м, причем цилиндрическаячасть стога имеет высоту 2,2 м.Плотность сена 0,03 г/см3.Определите массу стога сена.ρ=0,03г/см3=30кг/м3. OА=R, OO1=h1⋅OS=h2.Тогда R = 2,5(м), h1=2,2(м).Так что h2 = 4м – h1 = 1,8 (м).Далее, m = V⋅ρ=ρ⋅(V1 + V2) =11= ρ(πR 2 ⋅ h1 + πR 2h2 ) = ρπR 2 (h1 + h2 ) =33= 30π ⋅ 2,52 (2,2 + 0,6) = 525π (кг) ≈ 1648,5(кг) .Ответ: ≈1648,5 кг12. Жидкость, налитая в конический сосуд высотой 0,18м идиаметром основания 0,24м, переливается в цилиндрический сосуд, диаметр основания которого 0,1 м.Как высоко будет стоять уровень жидкости в сосуде?Найдем объем конического сосуда:V0 =1 211πR0 ⋅ h0 = πd 02 ⋅ h0 = π ⋅ 0,242 ⋅ 0,18 = 0,864π ⋅ 10−3 (м3).31212Так как объем жидкости не изменился , то объем цилиндраV= V0.

То естьТак что h =112πd 2⋅ h = V0 .44V0πd2=4 ⋅ 0,864 ⋅ π ⋅10−3= 0,3456 (м) ≈ 0,35(м) .π ⋅ 0,0113. Равносторонний треугольник вращается вокруг своей стороны a.Найдите объем полученного тела вращения.В равностороннем ∆ABC1aa 3AC= ,а BO=.222Тогда объем полученного тела вращения равен сумме объемовдвух одинаковых конусов с радиусом BO и высотой AO=OC.ОС=AO=1313a a2 ⋅ 3 π 3= a .2 44То есть V = 2 ⋅ V0 = 2 ⋅ ⋅ π ⋅ ОВ 2 ⋅ АО = 2 ⋅ π ⋅ ⋅14.

Прямоугольный треугольник с катетами А и В вращаетсяоколо гипотенузы.Найдите объем полученного тела вращения.Объем полученного тела вращения равен сумме объемов конусов с радиусом OB и высотами SO и СО.Далее в ∆SВС по теореме Пифагора CS = a 2 + b 2 . Площадь11треугольника SBC равна S= ⋅ BC ⋅ BS , а также S= ⋅ SC⋅BO.22Так что ВО =ВС ⋅ BS=SCab2a + b2.111Далее V = V0 + V1 = πOB2 ⋅ SO + πOB2 ⋅ OC = πOB2 (SO + CO) =333131 a 2b 2a 2b 2π22⋅+=ab.3 a 2 + b23 a 2 + b2= πOB 2 ⋅ CS = π11315. Найдите объем усеченного конуса, у которого радиусы оснований R1 и R2 (R1<R2), а высота h.Задача решена в учебнике п. 209, стр.

111.16. Сосновое бревно длиной 15,5 м имеет диаметры концов42см и 25см.Какую ошибку (в процентах) совершают, когда вычисляютобъем бревна, умножая его длину на площадь поперечного сеченияв середине бревна?Проведем осевое сечение ABCD. Тогда MN — средняя линиятрапеции ABCD, АВ=25см=0,25м , СD=42см = 0,42 м. Так чтоAB + СD= 0,335(м) . Далее21Объем бревна равен V = πh( S12 + S1S2 + S22 ) =31= πh( R 2 + Rr + r 2 ) =31= ⋅ 3,14 ⋅15,5 ⋅ (0,212 + 0,21 ⋅ 0,125 + 0,125 2 ) ≈ 1,395 (м3).3MN =Если вычислять объем бревна путем умножения его длины наплощадь поперечного сечения в середине бревна, то получим:0,3352MN 2⋅ h = 3,14 ⋅⋅ 15,5 ≈ 1,365(м3 ) .

Так что допускает441,395 − 1,365⋅100% ≈ 2,15% ≈ 2% .ся ошибка1,395V = π⋅17. Радиусы оснований усеченного конуса R и r, образующаянаклонена к плоскости основания под углом 45°.Найдите объем.114Проведем высоту ОО1. Тогда AOO1D — прямоугольная трапеция.

Проведем AA1⊥DO1.АОО1А1 — прямоугольник, так что АO=А1О1=r.Тогда DA1=DO1–A1O1=R–r.Далее, в прямоугольном треугольнике ∆DAA1 ∠ADA1=45°, такчто ∠ADA1=90°−∠ADA1=45°. Поэтому∆DAA1 — равнобедренный и AA1=DA1=R–r=ОО1, — высота конуса. ТогдаV =111πОО1 ⋅ ( R 2 + R ⋅ r + r 2 ) = π( R − r )( R 2 + Rr + r 2 ) = π( R3 − r 3 ) .33318. Площадь осевого сечения усеченного конуса равна разностиплощадей оснований, а радиусы оснований R и r.Найдите объем этого конуса.Площадь трапеции ABCD равна разности площадей оснований,то есть2 R + 2rAB + DC⋅ ОО1 = πR 2 − πr 2 .⋅ OO1 = π ⋅ O1C 2 − π ⋅ OB 2 ,22π( R 2 − r 2 ) 2= π( R − r ) .R+r11Тогда V = πOO1 ( R12 + Rr + r 2 ) = π2 ( R − r )( R 2 + Rr + r 2 ) =331 2 3= π ( R − r 3 ).3Так что ОО1 =19.

Усеченный конус, у которого радиусы оснований 4см и22см, и равновеликий цилиндр имею одну и ту же высоту.Чему равен радиус основания этого цилиндра?По условию объемы цилиндра и конуса одинаковы и их высотыравны, так что V=V′ и h=h′.13Так что, πR 2 ⋅ h = πh( 42 + 4 ⋅ 22 + 222 ) .То есть, R =222 + 22 ⋅ 4 + 42= 14 (см).3Ответ: 14 см.11520. По данным радиусам оснований R и r определите отношение объемов усеченного конуса и полного конуса.Дополним усеченный конус до полного. Тогда, если V0 — объем усеченного конуса, а V1 — объем конуса с радиусом r, тоV = V2 + V1.Из подобия конусов следует, что еслиVr= k , то 1 = k 3 ,RV3Так чтоV0 V − V1Vr== 1− 1 = 1− k3 = 1−   .VVVR21.

Чугунный шар регулятора имеет массу 10кг.Найдите диаметр шара (плотность чугуна 7,2 г/см3).Плотность ρ=7,2 г/см3 = 7200кг/м3. Далее объем шараV =m101==(м3).ρ 7200 720Так как V =6V 3 614 3 πd 3==3≈ 0,14 (м).πR =, то d = 3ππ720120π3622. Требуется переплавить в один шар два чугунных шара сдиаметром 25см и 35см. Найдите диаметр нового шара.Объем нового шара равен сумме объемов данных шаров:V=V1+V2. Так чтоπd 03 πd13 πd 23=+, то есть d0 = 3 d13 + d23 = 3 253 + 353 ≈ 39 (см).66623. Имеется кусок свинца массой 1 кг.Сколько шариков диаметром 1 см можно отлить из куска(плотность свинца 11,4 г/см3)?πd 3π ⋅13⋅ρ =⋅ 11,4 = 1,9π (г).661 кг 1000 г=≈ 167 .Значит, общее число шариков: n =m1,9π гМасса одного шарика m = V ⋅ ρ =11624. Из деревянного цилиндра, высота которого равна диаметруоснования, выточен наибольший шар.