pogorelov-gdz-11-2001z (Ответы ко всем упражнениям Погорелова по геометрии от седьмого до одиннадцатого класса (Погорелов)), страница 11

Далее,S AA1B1B = AB ⋅ AA1 ; S BCC1B1 = BC ⋅ BB1 ; SCC1 A1 A = AC ⋅ CC1 .Так что в ∆AВС: АВ=9491017, BС=, АС=.АА1АА1АА1118.И по формуле ГеТогда полупериметр р= ( AB + BC + AC ) =2Hрона:S АВС = p ( p − AB )( p − BC )( p − AC ) , то есть4=4=18981⋅⋅⋅.AA1 AA1 AA1 AA136АА12. АА12 = 9, или АА1 = 3 (см). или H=3(см).Тогда V = SАВС ⋅АА1= 4⋅3=12(cм3).30. Основание призмы — треугольник, у которого одна сторонаравна 2см, а две другие — по 3см.

Боковое ребро равно 4см и составляет с плоскостью основания угол 45°.Найдите ребро равновеликого куба.Проведем перпендикуляр A1O к плоскости основания. Тогдав прямоугольном ∆АА1ОA1O = AA1 ⋅ sin 45 o = 4 ⋅2= 2 2 (cм).2Далее, найдем площадь основания по формуле:Sосн =p ( p − AB )( p − AC )( p − BC ) == 4 ⋅ (4 − 2)(4 − 3)(4 − 3) = 2 2 (см). Далее, объем призмы:V = Sосн ⋅ A1O = 2 2 ⋅ 2 2 = 8 (см3).

Объем куба равенV1=а3. Тогда, если V1 = V = 8 см3, то а3 = 8 и а = 2 (см).Ответ: 2 см.31. Основанием наклонной призмы является равностороннийтреугольник со стороной а; одна из боковых граней перпендикулярна основанию и является ромбом, у которого меньшая диагональ равна с. Найдите объем призмы.95Пусть грань AA1B1B является ромбом и перпендикулярна основанию. Тогда проведем A1H⊥AB так, что получим А1Н — высотапризмы. АВ=АА1=а. Площадь ∆АВС равна Sосн=a2 3.4Далее, площадь ∆АА1В равна:S AA1B =S AA1B ===1aAB ⋅ A1H = A1H .

С другой стороны22p( p − AB)( p − AA1 )( p − A1B) =2a + c  2a + c 2a + c 2a + c⋅− a − a − c =2 2 2 22a + c c c 2a − c c⋅ ⋅ ⋅=4a2 − c2 .22 224Так что A1H =2S AA1Ba=Далее, V = Sосн ⋅ A1H =c 4a2 − c2.2aa2 3 cac⋅4a 2 − c 2 =12a 2 − 3c 2 .42a832. Чему равен объем прямой четырехугольной призмы, если еевысота h, диагонали наклонены к плоскости основания под угламиα и β и острый угол между диагоналями равен γ ?В1С1А1ВАD1СDВ прямоугольных ∆AС1С и ∆BDD1 имеем:AC =CC1hDD1h==, BD =.tgα tgαtgβtgβПлощадь четырехугольника равна произведению диагоналей насинус угла между ними. Так что96Sосн =1h 2 sin γAC ⋅ DB ⋅ sin γ =.22 tgαtgβТогда объем V = Sосн ⋅ h =h3 sin γ.2 tgαtgβ33. По стороне основания а и боковому ребру b найдите объемправильной пирамиды: 1) треугольной, 2) четырехугольной,3) шестиугольной.В правильной пирамиде высота проходит через центр окружности,описанной около основания.

Тогда1) Площадь основания равна площади равностороннего треугольника: Sосн =a2 3a 3. Радиус описанной окружности AO =. То43гда в ∆АО1О:OO1 =V =AO12 − AO 2 = b 2 −a2=33b 2 − a 2. Так что311 a 2 3 3b 2 − a 2 a 2⋅=⋅ 3b 2 − a 2 .Sосн ⋅ ОО1 = ⋅3343122) Основание — квадрат с площадью Sосн=a2. Радиус описаннойокружности АО равен половине диагонали квадрата:AO=АС a 2=. Далее, в ∆АОО1:22OO1 =V =AO12 − AO 2 = b 2 −a2=22b 2 − a 2.

Так что2112b 2 − a 2 a 2=Sосн ⋅ ОО1 = ⋅ a 2 ⋅4b 2 − 2a 2 .3326973)Площадь основания равна площади правильного шестиугольника, то есть площади шести равносторонних треугольников со стороной а.Sосн = 6 ⋅ S ∆ABO = 6 ⋅a 2 3 3 3a 2=. Далее,42Радиус описанной окружности равен стороне основания AO=a .Тогда в ∆АОО1:OO1 = AO12 − AO 2 = b 2 − a 2 . Ну иV =11 3 3a 2a2⋅ b2 − a 2 =⋅ 3(b 2 − a 2 ) .Sосн ⋅ ОО1 = ⋅332234. Сторона основания правильной шестиугольной пирамиды а,а двугранный угол при основании равен 45°.

Найдите объем пирамиды.98Проведем высоту пирамиды O1O. В правильной пирамиде высота проходит через центр окружности, вписанной в основание.Тогда проведем ОЕ⊥АВ. По теореме о трех перпендикулярахΟ1Ε⊥ΑΒ. Так что ОЕ — радиус вписанной окружности, а∠O1EO=45° как линейный угол данного двугранного угла.Тогда OE = r =a 3.2Далее в ∆О1ОЕ:OO1 = ОЕ =a 3(так как ∆О1ОЕ — равнобедренный).2Далее площадь основания равна площади 6 равносторонних треугольников со стороной а:Sосн = 6 ⋅ S ∆ABO =V =3 3a 2.

Так что211 3 3a 2 a 3 3 2⋅= a .Sосн ⋅ ОО1 = ⋅3322435. Боковые ребра треугольной пирамиды взаимно перпендикулярны, каждое ребро равно b. Найдите объем пирамиды.Проведем высоту ОО1 пирамиды. Поскольку все боковые ребраравны, то высота пирамиды проходит через центр описанной около основания окружности. Так что AO=R.Далее в равнобедренных прямоугольных ∆AO1B, ∆BO1С, ∆АО1С:АВ=ВС=АС=bsin 45 o=b 2 .Так что в ∆АВС: АО = R =AB 3 b 6=. Далее площадь равносто33роннего ∆АВС равна Sосн =AB 2 3 b 2 3=. Затем в прямоуголь42ном ∆AO1О по теореме Пифагора получаем:99OO1 =AO12 − AO 2 = b 2 −13Тогда V = Sосн ⋅ ОО1 =Ответ:b2 ⋅6 b 3=.931 b 2 3 b 3 b3⋅⋅=.3236b3.636.

Чему равен объем правильной треугольной пирамиды, у которой сторона основания a, а боковые ребра взаимно перпендикулярны?Площадь основания равна площади равностороннего треугольникасо стороной a, то есть Sосн=a2 3. Далее каждая боковая грань4является равнобедренным прямоугольным треугольником. Так чтоАО1 = ВО1 = СО1 =AB2=a 2.2Далее знаем, что высота правильной пирамиды OO1 проходит через центр окружности, описанной около основания. Так чтоAO=R=a 3.

По теореме Пифагора в ∆АОО1 получим:3OO1 =AO12 − AO 2 ==1a2 a2a−=. Тогда V = Sосн ⋅ ОО1 =32361 a2 3 aа3а3 2⋅⋅==.34246 12 237. По ребру а правильного тетраэдра найдите его объем.100Площадь основания тетраэдра равна площади равностороннеготреугольника со стороной а. Так что Sосн =a2 3.4Далее высота пирамиды OO1 проходит через центр окружности,описанной около основания. Поэтому AO=R=∆АОО1: OO1 = AO12 − AO 2 = a 2 −13Тогда V = Sосн ⋅ ОО1 =a 3. Далее в32a2=a.331 a2 32 a3 2⋅⋅a=.3431238. По ребру а октаэдра найдите его объем.Октаэдр состоит из двух правильных равных четырехугольных пирамид. Площадь основания каждой пирамиды Sосн=a2. Высота каждой пирамиды проходит через центр окружности, описанной околоквадрата, лежащего в основании.Так что AO=R=aOO1 =V0 =2. Далее в ∆АОО1:2AO12 − AO 2 = a 2 −2a2=a.

Тогда объем пирамиды22112 a3 2=Sосн ⋅ ОО1 = a 2 ⋅ a.3326А объем октаэдра равен двум объемам пирамиды V = 2V0 =a2 2.339. Основание пирамиды - прямоугольник со сторонами 9 м и12 м, все боковые ребра равны 12,5 м.Найдите объем пирамиды.101Так как все боковые ребра равны, то высота ОО1 пирамиды проходит через центр описанной около основания окружности. Но центрокружности, описанной около прямоугольника это точка пересечения диагоналей.

Так что AO=R=1АС . Далее в ∆АСВ:2AC = AB 2 + BC 2 = 12 2 + 9 2 = 15 (м).1Поэтому AO = AC = 7,5 (м).2Далее по теореме Пифагора в ∆AOO1:OO1 =AO12 − AO 2 = 12,5 2 − 7,5 2 = 10 (м).Площадь основания Sосн = AB ⋅ BC = 9 ⋅ 12 = 108(м2).13Тогда V = Sосн ⋅ ОО1 =Ответ: 360 м2.1⋅108 ⋅10 = 360 (м2).340.

Основание пирамиды — равнобедренный треугольник состоронами 6 см, 6 см и 8 см. Все боковые ребра равны 9 см. Найдите объем пирамиды.Так как все боковые ребра равны, то высота ОО1 пирамиды проходит через центр окружности, описанной около основания. То естьАO=R. Далее по формуле Герона:Sосн =p ( p − АВ )( p − АC )( p − ВС ) == 10(10 − 6)(10 − 6)(10 − 8) = 8 5 (см2).102Далее радиус описанной вокруг треугольника окружности найдемпо формуле:АО = R =АВ ⋅ ВС ⋅ АС 6 ⋅ 6 ⋅ 8 9 5==(см).4 S АВС54⋅8 5Тогда в ∆АОО1:OO1 =AO12 − AO 2 = 81 −131381 18 5=(см).55Так что V = Sосн ⋅ ОО1 = ⋅ 8 5 ⋅Ответ: 48 см3.18 5= 48 (см3).542.

В основании пирамиды лежит прямоугольник. Каждое боковое ребро пирамиды равно l и составляет со смежными сторонами прямоугольника углы α и β.Найдите объем пирамиды.Так как все боковые ребра пирамиды равны, то ее высота OO1 проходит через центр описанной около основания окружности. Центрокружности, описанной около прямоугольника, это точка пересечения диагоналей. Так что AO=R=1АС . Проведем O1M⊥BC и2O1K⊥DC. Тогда по теореме о трех перпендикулярах OM⊥BC, aOK⊥DC.

Так что ОМСК — прямоугольник и ОМ=KС.В прямоугольных ∆Ο1CM и ∆Ο1CK: CM=O1C·cosα=l·cosα,KC=O1C·cosβ=l·cosβ.Далее, в прямоугольном ∆ОСМ по теореме Пифагора:ОС =R = OM 2 + CM 2 = l 2 cos 2 β + l 2 cos 2 α = l cos 2 β + cos 2 α .Далее, в прямоугольном ∆Ο1OC:OO1 = O1C 2 − OC 2 = l 2 − l 2 cos 2 β − l 2 cos 2 α = l sin 2 β − cos 2 α .Затем площадь основания Sосн = DC ⋅ BC = 2KC ⋅ 2MC = 4l 2 cosβcosα .1031313Тогда V = Sосн ⋅ ОО1 = ⋅ 4l 2 cos α cos β ⋅ l sin 2 β − cos 2 α ==4 3l cos α cos β sin 2 β − cos 2 α .343. Найдите объем пирамиды, имеющий основанием треугольник, два угла которого a и β; радиус описанного круга R.

Боковыеребра пирамиды наклонены к плоскости ее основания под углом γ.Так как все боковые ребра пирамиды наклонены к плоскости основания под одним и тем же углом, то высота пирамиды O1O проходит через центр описанной около основания окружности. Так чтоAO= ОВ=ОС= R.Далее, в прямоугольном ∆ΑΟ1Ο: OO1=AO⋅tgγ=R⋅tgγ.В ∆АВС ∠BΑC=180°−(α+β).·Тогда согласно теореме синусовАСАВВС=== 2R .sin α sin β sin(180° − (α + β)Так что AB=2R⋅sinβ, AC=2R⋅sinα, BC=2R⋅sin(180°−(α+β))==2R⋅sin(α+β).Затем площадь треугольника AВС: Sосн =АВ ⋅ ВС ⋅ АС=4R2 R sin β ⋅ 2 R sin α ⋅ 2 R sin(α + β)= 2R2sinα⋅sinβsin(α+β).4R12Тогда V = Sосн ⋅ ОО1 = R3 sin α sin β sin(α + β) tgγ .33=44.

Найдите объем усеченной пирамиды с площадью основанийQ1 и Q2 (Q1>Q2) и высотой h.Задача решена в учебнике п. 205, стр. 104.10445. В пирамиде с площадью основания Q1 проведено сечение,параллельное основанию, на расстоянии h от него. Площадь сечения Q2.

Найдите высоту пирамиды.Сечение отсекает от данной пирамиды подобную пирамидуО2A1B1С1. Так как площади подобных фигур относятся как квадраткоэффициента подобия, то K =Q1.Q2Линейные размеры подобных фигур относятся как коэффициентподобия. Так что(ОО2ОО2= К , так что=О1О2ОО2 − h)OO2 Q2 − Q1 = −h Q1 . Так что OO2 =Q1. Так чтоQ2h Q1Q1 − Q2.46. В правильной усеченной четырехугольной пирамиде стороны нижнего и верхнего оснований равны а и b, а двугранный уголпри ребре нижнего основания равен α.Найдите объем пирамиды.Построим осевое сечение ABCD, перпендикулярное стороне основания MN.

Тогда ∠BAD=α — линейный угол данного двугранногоугла. Проведем перпендикуляры BO⊥AD и CK⊥AD. Тогда ВО=СК— высота усеченной пирамиды.Рассмотрим равнобедренную трапецию ABCD. ∆АВО = ∆DCK.Так что KD = AO =AD − OK AD − BC a − b.==222105Тогда в ∆ABO BO=AO⋅tgα=a −btgα . Далее площади нижнего и2верхнего оснований пирамиды равны соответственно S1=a2 иS2 = b2. Тогда объем пирамиды (из задачи № 44) равен:V ==()1ВО S1 + S1S 2 + S 2 =31 a −ba 3 − b3⋅⋅ tgα .tgα(a 2 + a 2b 2 + b 2 ) =3 2647.