pogorelov-gdz-11-2001z (Ответы ко всем упражнениям Погорелова по геометрии от седьмого до одиннадцатого класса (Погорелов)), страница 2

Найдите площадь построенного сечения.11Данное сечение проходит через основание АВ и E1D1. Обозначимточку пересечения прямых АВ и DC точка F. Тогда F принадлежитплоскости сечения, а также плоскости CC1D1C. Так что проведемпрямую D1F, которая пересечет ребро СС1 в некоторой точке X.Далее, продолжим прямые ЕК и АВ до их пересечения вточке О. Эта точка принадлежит плоскости сечения, а такжеграни KK1Е 1Е. Тогда проведем прямую ОЕ 1, которая пересечетребро КК 1 в некоторой точке Y.Шестиугольник ABXD1E1Y — искомое сечение. Найдем егоплощадь по формуле S′ =S, где S — площадь основанияcos αпризмы, а α — угол, который образует данное сечение с плоскостью основания.

Так как ЕА⊥АВ, то и Ε1Α⊥ΑΒ (по теореме о трехперпендикулярах). Так что ∠ΕΑΕ1= α. Далее, ЕЕ1 = a, и АЕ =а 3(по теореме косинусов из ∆АЕК). Далее, по теореме ПифагораАЕ1 =a 2 + (a 3 ) 2 = 2a , так что cos α =AEa 33==.AE12a2S = 2SAKE + SAEDB = AK⋅AE⋅sin∠AKE + AE⋅DE == a2sin120° + a⋅ a 3 =Так что S′=3a 2 3.23a 2 3 ⋅ 2S== 3a 2 .cos α2 3Ответ: S′=3а2.15. Через сторону нижнего основания правильной треугольнойпризмы проведена плоскость, пересекающая боковые грани по отрезкам, угол между которыми α.

Найдите угол наклона этой плоскости к основанию призмы.Пусть АОС — данная плоскость. Проведем ВH⊥AC. Тогда потеореме о трех перпендикулярах ОН⊥АС. Значит, ∠OHB —искоa 3.мый. Далее, в равностороннем ∆АВС высота ВН=212Далее, ∠АОН=1α∠АОС= .22Так что в ∆АОН: ОН =AHa=.ααtg2 tg22aa 3 ⋅ 2 tgBH2 = 3 ⋅ tg a .=Далее, в ∆ОВН: cos∠ОНВ=2a2OHТак что ∠ОНВ=arccos  3tgα.2αОтвет: arccos  3tg  .216. В правильной четырехугольной призме через серединыдвух смежных сторон основания проведена плоскость, пересекающая три боковых ребра и наклоненная к плоскости основанияпод углом α.

Сторона основания равна а.Найдите площадь полученного сечения.ABCNM — это ортогональная проекция сечения. Тогда еслиS — площадь ABCNM, то площадь сечения S′ =Далее, S = SABCD – SMND = AD2 –= a2 –Ответ:S.cos α1MD ⋅ DN =21 a a 7 27a 2S=.⋅ ⋅ = a . Так что S′ =cos α 8 cos α2 2 2 87a 2.8 cos α17. В правильной четырехугольной призме площадь основания144 см2, а высота 14 см.Найдите диагональ призмы.13Так как призма правильная, то в основании ее лежит квадрат иего площадь равна:S = a2.

Тогда a = S = 144 =12(см).Далее, заметим, что правильная четырехугольная призма является прямоугольным параллелепипедом, так что квадрат любойдиагонали равен сумме квадратов трех его измерений, так что:d = a 2 + a 2 + h 2 = 12 2 + 12 2 + 14 2 = 22 (см).Ответ: 22 см.18. В правильной четырехугольной призме площадь боковойграни равна Q Найдите площадь диагонального сечения.Так как боковая грань — прямоугольник, то ее площадьQ=AA1·AD. А так как основание призмы — квадрат, то диагональAC=AD 2 .

Тогда площадь диагонального сечения:S = AC·AA1 = 2 ·AD·AA1=Q· 2 .Ответ: Q 2 .19. Сторона основания правильной четырехугольной призмыравна 15 см, высота равна 20 см.Найдите кратчайшее расстояние от стороны основания до непересекающей ее диагонали призмы.Проведем плоскость А1В1СD, а через ребро АВ проведем плоскость ABMN, перпендикулярную плоскости A1B1CD.14Так как АВ перпендикулярна боковым граням, то ABMN —прямоугольник.Пусть О — точка пересечения АС и MN.

Проведем ОК ⊥ АВ.Тогда ОК=ВМ.В прямоугольном ∆ВВ1С:B1С=BB1 2 + BC 2 = 20 2 + 15 2 = 25(см) (по теореме Пифагора). То-гда площадь ∆ВВ1С: S =С другой стороны, S=p( p − a)(p −b)(p − c) = 30 ⋅15 ⋅10 ⋅ 5 = 150(см2).2S2 ⋅ 1501=B1C·BM, так что ΒΜ==12(см).B1C225Ну и ОК=ВМ=12 (см).Ответ: 12 см.20. В прямой треугольной призме все ребра равны. Боковая поверхность равна 12 м2.Найдите высоту.Так как все ребра равны, то боковые грани являются квадратами.

Далее, площадь одной грани равна трети площади боковой поверхности: 12 : 3 = 4 (м2). Значит, сторона квадрата равна4 = 2 (м). Тогда ребро призмы равно высоте и равно 2 м.Ответ: 2 м.21. Боковая поверхность правильной четырехугольной призмы32 м2, а полная поверхность — 40 м2.Найдите высоту.Так как площадь поверхности S = Sбок + 2Sосн, то площадь основания равна Sосн = (40-32) : 2 = 4(м2).В основании находится квадрат, так как призма правильная, такчто сторона квадрата равна 4 =2 м.Боковая поверхность правильной призмы равна Sбок=p·h=4a·h,так что h=S:(4a)= 32 : (4 · 2) = 4(м).Ответ: 4 м.22. В наклонной призме проведено сечение, перпендикулярноебоковым ребрам и пересекающее все боковые ребра.Найдите боковую поверхность призмы, если периметр сеченияравен р, а боковые ребра равны l.Задача решена в учебнике п. 176, стр.

65.1523. Расстояния между параллельными прямыми, содержащимибоковые ребра наклонной треугольной призмы, равны 2 см, 3 см и4 см, а боковые ребра — 5 см.Найдите боковую поверхность призмы.Проведем сечение MNK, перпендикулярное боковым ребрам.Тогда стороны ∆ΜΝΚ равны расстояниям между параллельными прямыми, содержащими ребра.Далее, площадь боковой поверхности наклонной призмы равнапроизведению периметра сечения, перпендикулярного боковымребрам, на длину бокового ребра.

Так чтоSбок = р · l = (2+3+4) · 5 = 45(см2).Ответ: 45 см2.24. По стороне основания а и боковому ребру b найдите полную поверхность правильной призмы: 1) треугольной; 2) четырехугольной; 3) шестиугольной.Полная поверхность призмы вычисляется по формуле:S = Sбок + 2Sосн.1) Основание призмы — равносторонний треугольник, так чтоего площадь Sосн =a2 3. Площадь боковой поверхности4Sбок = p · l =3ab.Так что S = 3ab +a2 3.22) Основание призмы — квадрат с площадью Sосн = а2. Площадьбоковой поверхности Sбок = p·l = 4ab.

Так что S = 2a2 + 4ab.3) Основание призмы — правильный шестиугольник. Его площадь Sосн = 6 ⋅a2 3 a23 3=. А площадь боковой поверхности42Sбок = p·l = 6ab. Так что S = 6аb + а23 3 .1626. У параллелепипеда три грани имеют поверхности 1 м2, 2 м2и 3 м2.Чему равна полная поверхность параллелепипеда?У параллелепипеда противоположные грани равны, а значит,имеют равные площади. Так что данный параллелепипед имеет двеграни с площадью 1 м2, две грани с площадью по 2 м2 и две грани сплощадью по 3 м2. Так что площадь полной поверхностиS = 2 · (1 + 2 + 3) = 12 (м2).Ответ: 12 м2.27. Известны углы, образуемые ребрами параллелепипеда, сходящимися в одной вершине. Как найти углы между ребрами, сходящимися в любой другой вершине?При вершине A ∠A1AD = α , ∠Α1ΑΒ = β и ∠BAD = γ.

Так каквсе грани параллелепипеда — параллелограммы, ∠C= ∠A1 = γ (какпротивоположные в параллелограмме), ∠В = ∠D =180° – γ (в параллелограмме ABCD).Далее, ∠B1A1D1 = ∠B1C1D1 = ∠BAD = ∠BCD = γ (так как противолежащие грани равны). Далее, ∠ABC=∠ADC=∠A1B1C1= ∠A1D1C1== 180° – γ; ∠A1AB = ∠A1B1B = ∠D1C1C = β; ∠AA1B1= ∠B1BA ==∠C1CD = ∠DD1C = 180° – β; ∠A1AD = ∠A1D1D = ∠B1BC = α;∠AA1D1 = ∠D1DA = ∠BB1C = ∠C1CB = 180° – α.28. Докажите, что отрезок, соединяющий центры основанийпараллелепипеда, параллелен боковым ребрам.17Центры оснований параллелепипеда являются точкамипересечения диагоналей параллелограммов ABCD и A1B1C1D1.Далее, ABCD = A1B1C1D1 (как противоположные грани).

Так чтоАС = А1С1, и O1С1 = ОС=1АС. Так как O1С1||ОС и O1C1 = OC, тo2О1С1 ОС — параллелограмм, так что OO1||СС1. Что и требовалосьдоказать.29. В прямом параллелепипеде стороны основания 6 м и 8 мобразуют угол 30°, боковое ребро равно 5 м. Найдите полную поверхность этого параллелепипеда.Полная поверхность прямого параллелепипеда равна S=2S1+S2.Площадь параллелограмма ABCD, являющегося основанием,1равна Sосн = AB ⋅·AD ⋅ sin30° = 6 ⋅ 8 ⋅ = 24(cм2).2А площадь боковой поверхности равнаSбок = р · l = 2(АВ + ВС)АА1 = 2 ⋅ (6+8) ⋅ 5 = 140 (см2).Так что S = 2 ⋅ 24 + 140 =188(см2).Ответ: 188 см230.

В прямом параллелепипеде стороны основания 3 см и 8 см,угол между ними 60°. Боковая поверхность равна 220 см2. Найдитеполную поверхность.Полная поверхность параллелепипеда равна S = Sбок+2Sосн Таккак в основании лежит параллелограмм, то S1 = ab ⋅ sinα == 3 ⋅ 8 ⋅ sin 60° = 12 3 (см2). А Sбок = 220 см2 (по условию).Так что S = 2 ⋅ 12 3 + 220 = 220 + 24 3 (см2).31. В прямом параллелепипеде стороны основания 3 см и 5 см,а одна из диагоналей основания 4 см.

Найдите большую диагональпараллелепипеда, зная, что меньшая диагональ образует с плоскостью основания угол 60°.18По условию А1D1 = 3см, D1С1 = 5см,D1B1 = 4см. Так как основание является параллелограммом, а у параллелограмма сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов его сторон, то 2 А1В12 + 2 ⋅ А1D12 ==A1C12+B1D12.Так что:A1C1= 2 ⋅ A1 B1 2 + 2 ⋅ A1 D1 2 − D1 B1 2 == 2 ⋅ 32 + 2 ⋅ 52 − 42 = 52 (см). Так что А1С1>D1B1, а значит, диагональ BD — меньшая, а А1С — большая.Далее, в ∆BB1D1: BB1=B1D1⋅tg60°=4 3 (см).

CC1=BB1=4 3 см.Далее, в ∆СС1A1 по теореме Пифагора:A1C =A1C12 + CC12 = ( 52 ) 2 + ( 4 3 ) 2 = 100 = 10 (см).Ответ: 10 см.32. Найдите диагонали прямого параллелепипеда, у которогокаждое ребро равно а, а угол основания равен 60°.Так как каждое ребро равно а, то ∆ABD — равнобедренный(AB=AD=a) и так как ∠BAD=60°, то ∆ABD является равносторонним и BD = AB = a.Далее, из прямоугольного ∆BB1D по теореме ПифагораB1D =BD 2 + BB12 = a 2 + a 2 = a 2 .В ∆ADС по теореме косинусовAС= AD 2 + DC 2 − 2 AD ⋅ DC ⋅ cos 120 o = 1 2= a 2 + a 2 − 2a 2 ⋅  −  = a 3 .А из прямоугольного ∆АСС1 по теореме Пифагора:АС1=AC 2 + CC12 = 3a 2 + a 2 = 2a .Ответ: a 2 и 2а.1933.