K. Oswatitsch - Gas Dynamics (ger), страница 99

h.die vereinfaehte Stl'omdichtekurve solI ebenfalls den Weehsel yom elliptisehenzum hyperbolisehen Typus bei kritiseher Gesehwindigkeit aufweisen. Darausergibt sieh del' Ansatz:eW_ ( l - MI 2) (-w-WW)211) +A (W--1--Wel111+ ....Mit G1. (VI, 148) kann 1 - MI2 dureh den Prandtl-Faktor el'setzt werden,bei WI> ci ware statt dessen eot2 (Xl (:..-=:MI2 -1) zu nehmen. A bestimmtsieh aus del' Forderung eines Maximums bei W = c* und man el'halt:e~~1 -I =PI2(:1 -1)- ~ T~1:~(-:: 1 -Ir + ...I)(I)Del' erste Summand stellt die Prandtlsehe Naherung dar. Diese versagtnatiirlieh stark beim Durehgang dureh die Sehallgesehwindigkeit.

Ein Vergleiehder Entwieklung in G1. (1) mit den exakten Werten in einem speziellen Fall gibtTabelle IX, 1. Das Res1l1tat 1st sehr zufriedenstellend.Tabelle IX, 1. Exakte Werte der Stromdichte, Niiherung nachGZ. (1) fur M1 = 0,80 und u = 1,400.M*M(It W,00,1090,2180,3260,4310,5350,6350,732-1,000-0,821-0,650-0,490-0,347-0,225-0,126-0,0510,80,8250~----0,9151,0001,0821,1581,2311,3001,365,I00,10,20,30,40,50,60,70,91,01,11,21,31,41,5und nach~--l------exakt.-~~-.PRANDTL-0,0290,0380,0300,007-0,026-0,068-0,1l7iI-----1,209-0,952-0,724-0,528-0,366-0,231-0,128-0,051------0--IIII---GJ.

(1)IIl'RANDTLI..-0,360-0,312-0,26.5-0,218-0,172-0,126-0,082-0,041_--0- - - - , - - .. _ - -0,0290,0380,0300,007-0,028-0,074-0,1280,0390,0760,1l20,1450,1770,2070,236Die Gro13en f3I und MI* konnen mittels der exakten Formeln in Tab. II, 5leieht ineinander iibergefiihrt werden. In Sehallnahe ist:f32 = 1 - M2 ==(u + I) (1- M*) r1 - (u - ~) (1- M*) + ... ](u + 1) (-~* -1)11- (u + ~)( ~* -1) + .. OJ.(2)341IX, 3. Entwicklungen in Schallnahe.Vielfaeh ist es jedoch praktiseher, {31 und Ml* nebeneinander zu verwenden.(Bei M > 1 ist {3 durch cot IX zu ersetzen.}Fur die Entwieklung bei W1 = c* ergibt sieh damit:12 W12* c* -_1 - -x+C* - 1)21 (W- -2-I(3)T " ..Fur jede andere Gesehwindigkeit W1 :f c* erweist sieh hingegen folgendeSehreibweise als geeignet:~-I121 WI1)fl12 ( MI*-I=Wc* -1 ( Wc* -WIWI -2WI )2WI(4)+ ...Auf der linken Gleichungsseite steht eine "reduzierte Stromdiehte", auf derreehten eine "reduzierte Gesehwindigkeit" .

Da in Sehallnahe gem mit solchen"reduzierten" GraBen gearbeitet wird, empfiehlt es sieh, fur diese besondereBezeichnungen einzufuhren, namlieh fur Untersehallgeschwindigkeit im Punkteder Entwieklung:M11<:~-l121 WIflI2(~I* -I)=-Q,'\7=u;(5){31 Y = y;Die ZweekmaBigkeit der Abkurzungen wird sich im weiteren Verlauf zeigen.Vorlaufig sei nur darauf hingewiesen, daB die Koordinatentransformationenin genau derselben Weise vorgenommen werden wie bei der Pr. Regel (Absehnitt VI, 20). Aueh die Verhaltnisse der Gesehwindigkeitskomponenten zueinander sind dieselben wie bei der Pr. Regel.

Die einzelnen Gesehwindigkeitskomponenten haben allerdings einen Faktor, der eine besondere Formder Pr. Regel ergibt .1.0Ir~8aIi'/ri '/\' yas/alVt'th-0.5/J.JJ.Ql.5-M-lQAbb. 234. Reduzierte Stromdichte und Prandtl-Gerade abhangig von der reduziertcn Geschwindigkeit.Die Stromdiehte stellt sieh naeh Gl. (4) nun wie folgt in reduzierten GraBendar (Abb_ 234)_(6)IX. Stationare, reibungsfreie, schallnahe Stromung.342M = 1 bedeutet nach Gl.

(5) W = 1. Dort hat die reduzierte Stromdichte~. Zu beachten ist, daB die reduzierten GroBenihren Maximalwert mit fJ =auch bei kleinen Storungen in Schallnahe die GroBenordnung der Einheit annehmen. Sie sind nicht klein gegen diese, wie die in iiblicher Weise (etwa Abschnitt VI, 5) gebildeten StorungsgroBen.Bei Uberschallgeschwindigkeiten von WI wird fJI imaginar. Die reduziertenGroBen sind dann ein wenig anders zu bilden. Damit sich Ubergeschwindigkeitenund positive v-Komponenten auch in den reduzierten GroBen als positive Werteergeben, setzt man zweckmaBig:~-1fU, M,>~,.)I, (:'-""tg'",~ @; :::,--=-~; ~ ro; ;;,,~ ~: ~ u;wtg IXI = ttl;Wl-c*~~-~Y cot IXI = Y;z cot!Xl(7)= 3.Daraus folgt die Stromdichtebeziehung:1MI>I: fJ=-W- 2 W2,mit dem Maximalwert fJ= ~(8)bei W = - I , welcher Wert bei MI>I Schall-geschwindigkeit bedeutet.Fiir die Mach-Zahl ergibt sich folgende Beziehung, wenn analog zu denForderungen bei der Stromdichte verlangt wird, daB M bei W = WI und W = c*richtig wiedergegeben wird:I-M2 = (1-M12) [1-;= ~~l(9)Mit_Gl.

(5) und (7) ergibt sich daraus fiir:MI<fJ2 = 1 - M2 =I:MI > I:cot 2 IX = M2 -fJl 2[1- W],I = cot2 IXI [I(10)+ W J.(11 )Wie die Entwicklung (I) gehen auch diese Gleichungen einen Schritt weiterals die Pro Linearisierung. Mit Hilfe der Gl. (II, 49) konnen die Gl. (6) und (10)oder (8) und (11) auch direkt ineinander iibergefiihrt werden, wenn Schallnahevorausgesetzt wird. Wahrend aber bei der Stromdichtegleichung stets Isentropievorausgesetzt werden rouB, ist diese Forderung bei den letzten drei Gleichungennicht erforderlich, Nach der Entwicklung der Bernoullischen Gl.

(II, 52) ergibt sich der Druckin Schallnahe einfach als lineare Funktion der Geschwindigkeiten bis auf Gliederdritten Grades. Der reduzierte Druckkoetfizient ist einfach wie die reduziertenGeschwindigkeiten zu bilden:MI<1: _ _c 1J._ __1_ _ 1= -2W;.1.lfl>Ml*1: ~-1-- =-2W.(12)1---Ml*Ein besonders typisches Verhalten zeigen Charakteristik und StoBpolare.Aus Gl. (VI, 81) folgt fiir Schallnahe:{} -{}* =± ~_l_ (M2 _3 x + 11)3/2+ ...=23VI( +1 (M* -1)3/2+ ....(13)343IX, 3.

Entwicklungen in Schallnahe.Eine Entwicklung in dieser Gegend in einer Potenzreihe entsprechendGl. (VIII, 55) kann darnach gar nicht befriedigend erfolgen, da darnit dasImaginarwerden fUr M* < 1 SO"wle die Verzweigung bei M* = 1 nicht erfaBtwerden kann. Tab. IX, 2 gibt einen Vergleich exakter und nach Gl. (13) genahertel' Geschwindigkeiten in del' Prandtl-Meyer-Expansion. Die Ubereinstimmungerweist sich dabei noch in einem Bereich als gut, del' weit uber "kleine Schwankungen" hinausgeht. Besonders auffallend und wichtig im folgenden ist diestarke Geschwindigkeitsanderung bei nul' geringer Stromungswinkelanderung.Tabelle IX, 2. Entwicklung der Charakteri8tik nach Gl. (13) fur"I.~ - o·0°II1°2°I3°I·IM.

. . . . . . . . . . . . . ..M*_I{exakt ....Gl. (13) ..I1 6°4°1SO,I10°=1 12°1,400 .I14°I1 16°I1,00011,082 1,133,1,177 1,218 1,293 1,365 1,435 1,502 1,57°11,638° 1°,0670,1071°,1410,171 0,2270,2760,3230,3661°,4091°,448°0,066 0,105 0,137 0,166 0,218 0,263 0,306 0,345 0,383 0,418Wird in Gl. (13) f} = 0 fur M* --'-- MI* angenommen, wie das der Fall ist,wenn die Storungen eines Anstromzustandes studiert werden, so laBt sich {}*durch .11f I ausdriicken und es ergibt sich:! V" +±{} =M* = M I, {} = 0:1 [(MI* -1),/, -(M* -1)"/.].Mit Gl. (2) kann die Oharakteristik in gleicher Naherung wie folgt durch diereduzierten GroBen Gl. (7) ausgedriickt werden:__1}_~fL(Xl_(1- ~l*)=~[1- (13+ ro),/,]oder n = ~ [1-(1+ u)"/.](14)3 'Die Formel fur f} ist bei starkeren Geschwindigkeitsschwankungen genauerals die fur n.

Tatsachlich ist meist durch die Oberflachenneigung f} und nicht 1)gegeben, was del' Genauigkeit zugute kommt. Man uberzeugt sich leicht, daBim Punkte W = WI: ro = 0 nicht nur der Wert von f}, sondern auch noch dieTangente richtig wiedergegeben wird.Bei del' Ableitung del' StoBpolaren fUr Schallnahe ist zu beachten, daB sichdie Geschwindigkeit sowohl VOl' wie nach dem StoB von del' Schallgeschwindigkeitnur wenig unterscheiden saIl.

Mit Rucksicht darauf ergeben sich aus Gl. (VIII, 39)vier Glieder von derselben GroBenordnung:20 = ,,+I [( u -1-C*22c*-(; -1)(~-)3 - (-c*- 1 )2 (-c*U - 1 ) +Ur+ (~ -1fJ + ....(15)1Die nachsten Summanden sind vom vier ten Grad. Werden hier wiederreduzierte Geschwindigkeiten eingefuhrt, so ergibt sich mit Gl. (2) nachelemen-tarer Rechnung die reduzierte StofJpolare wie folgt:(16)das ist bei kleinem Stromungswinkel das Produkt zweier Geschwindigkeits- undzweier Stromdichtedifferenzen. Gl.

(16) schreibt sich noch einfacher, wenn dieBezugsgeschwindigkeit gleich der Stromungsgeschwindigkeit vor dem StoB ist:..fur u=WI:~21)~= U(~U+ 2u~2) .(17)344IX. Stationare, reibungsfreie, schallnahe Stromung.Aus Gl. (16) lassen sich aIle typischen Eigenschaften der StoBpolare leiehtablesen. Man erhalt:£;=0: fur 1. itA2.U=0:+2Il2(18)= 0; U = - 2.Die Quergeschwindigkeit verschwindet 1.

bei verschwindender StoBstarkeund 2. beim senkrechten StoB. Letzterer ist ein Sprung auf diesel be reduzierteStromdichte. Dabei liegt die Geschwindigkeit hinter dem StoB genau so vielunter del' kritischen Geschwindigkeit, wie jene vor dem StoB daruber liegt (vgl.etwa Abb.245). Dies ergibt sich auch direkt aus der PI'.

Formel Gl. (II, 36)unter der Annahme kleinerSprunge. Es ist jener Bereich, in welehem die Verluste mit der dritten Potenzdes Geschwindigkeitssprunges ansteigen.Die maximale Ablenkung'-=-=---_-.l1.l.".5----,l~=----f:----7IE:----~f-c--;:--71.0im StoB ist bei kleinen Storungen identisch mit dermaximalen v-Komponente.Durch Nullsetzen del' Ableitung von £> nach u ergibtsich aus Gl.

(16) der Maximalwert:Abb. 235. Reduzierte StoBpolare, Charakteristik und Potenzreihen·entwicklung Gl. (76) im reduzierten Hodographen (u, v nach Gl. (7».Av= 94V-3b'elA=1: it=-1;v*=4=-3'(19)also, wie bekannt, bei Unterschallgesehwindigkeit hinter demSchallgeschwindigkeit ergibt sieh:MAU12V2.-Rto13.Bei(20)Dieser Wert liegt stets uber dem Wert der Charakteristik gleichen Ausgangswertes (Abb.

235), welcher nach Gl. (14) gegeben ist durch:M=1:U2= - 1; v* = 3'(21 )Damit ergibt sich folgender prozentuale Unterschied der reduzierten v-Komponenten, del' in gleicher Weise unabhangig von x auch fur die gewohnlichenv-Komponenten bei Schallnahe gilt:M=0* - v*1: - --- =v*- v* = -3.v* v*4V-2 -1=0 0606.'(22)Dieser Unterschied von rund 6% ist in Schallnahe unveranderlich gleichgroB, stellt demnaeh also keinen Effekt hoherer Ordnung dar. Fur den praktischenGebrauch wird er meist unberucksichtigt bleiben konnen. 1m Ausgangspunktstimmen Tangente und Krummung beider Kurven uberein.Aus den Potenzreihenentwicklungen Gl.