K. Oswatitsch - Gas Dynamics (ger), страница 100

(VIII, 55), (VIII, 56) und (VIII, 57)laJ3t sich das Abweichen beider Kurven bei Schallgeschwindigkeit schlecht bestimmen.In den Abweichungen vom kritischen Zustand (etwa 1 - M*) nehmen alle Gliederdieselbe Potenz an. Sie unterscheiden sich nur mehr durch Koeffizienten, welchegewohnliche Zahlen sind und fUr die ersten beiden Glieder ubereinstimmen. So345IX, 3.

Entwicklungen in Schallnahe.kommt es, daB der prozentuale Unterschied der kritischen Zustande von Charakteristikund StoBpolare sich als feste Zahl ergiht, die aUerdings aus den Potenzreihen wegender schlechten Konvergenz beim kritischen Zustand nur schlecht zu berechnen ist.Wegen dieser schlechten Konvergenz hat die Bedeutung der h5heren Glieder zu·genommen.Die Eigenschaft, daB die vom Ursprung in Abb. 235 ausgehende Charakteristikdie Gerade u = -1 (M = 1) unter der StoBpolaren trifft, bedeutet, daB dieSchallgeschwindigkeit bei einer Knickung der Stromlinie erst unter einem etwasgraBeren 'W inkel erreicht wird als bei entsprechender stetiger Kriimmung derStromlinie.

Dies ist typisch fiir Schallnahe. Bei hOherem Dberschall ist es geradeumgekehrt. Bei hOchsten Anstramgeschwindigkeiten wird M = 1 bei einerKnickung von rund 45° stets erreicht, ein Effekt, der bei stetiger KriimmungjIcold1.1!,Ql..l7,2Abb. 236. R cdu ktionskocffizicntclI flir xM!,f;~ 1.~OO.erst bei 130° auftritt. Bei etwa M = 1,4 haben StoBpolare und Charakteristikim Hodographen nicht nur gleiche Tangente und Kriimmung, sondern beriihrensich nochmals am Schallkreis.In den Formeln fiir die reduzierten GraBen erscheinen im wesentlichenfolgende Funktionen der Mach-Zahl:MI>1: cot(Xl;(1 -~l * ) ;Sie sind bei gleichemfJ 13,~cot(Xl(1 -~l * );cot2(Xl (~l * -(n)1).im wesentli{lhen folgenden Potenzen proportional:und cot (Xl' cot2 (Xl' cot3 (Xl> cot4 (Xl'Wegen ihrer Bedeutung, die sich in den kommenden Abschnitten erweisenwird, seien hierWerte fiir ~ = 1,400 in folgender Tabelle und in Abb.

236 wiedergegeben.Tabelle IX, 3: Reduktion8koeffizienten bei Schallnahe ('K. = 1,400).fJI' fJ12,MfJl 4...................fJ ....................(I/M* - 1) .......... ..fJ(I /M*-I) ...........fJ2(I /M*-I) ..........Mcot....... .. ...........(X•••••••••••••••••(1- I/M*) ..

..........cot (X (1 - l/M*) .......cot2 (X (1 - I/M*) .. . ...0,70,7140,3660,2610,1870,80,6000,2120,1270,0760,90,4360,0930,0400,0180,950,3120,0440,0140,0041--- ~- .1,050,3200,0390,0130,0041,100,4580,0760,0350,0161,200,6630,1360,090 I0,060 I1,300,8310,1880,1560,1301,400,9800,2310,2260,222IX. Stationare, reibungsfreie, schallnahe Stromung.3464.

Gasdynamische Gleichung fUr Schallnahe.Unter der Voraussetzung kleiner Geschwindigkeitskomponenten quer zurAnstromrichtung, was in Schallnahe gleichbedeutend damit ist, daB die Geschwindigkeitskomponenten auch klein gegeniiber der Schallgeschwindigkeit sind,laBt sich die gasd. Gl. auf folgende Form bringen:(1- M2) AU , ~oxIoy+~=OZo.(24)Sie unterscheidet sich von der der Pr. Regel zugrunde liegenden Form dadurch,daB der Ausdruck 1 - M2 nun nicht mehr als konstant angenommen wird. MitRiicksicht darauf, daB 1 - M2 in Schallnahe negative und positive Werte annehmen kann, sei die line are Naherung durch die Geschwindigkeit nach Gl. (9)benutzt. Da hier vorziiglich Umstromungsprobleme behandelt werden,werde WI = U oo gesetzt. Ferner sei die Schwankung der u-Komponente derGeschwindigkeitsschwankung gleichgesetzt.

(Die Berechtigung dieser Naherungbei Achsensymmetrie wird anschlieBend gezeigt.) Entsprechendder isentropenNaherung bei Uberschallstromung kann Wirbelfreiheit angenommen werden.Die Vernachlassigung der Summanden von der Form~(OU+~)2oycoxin der gasd. Gl. wird bei der Prandtl-Linearisierung wegen v <S c vorgenommen.Allerdings ist der Faktor I - M2 bei Schallnahe im Mittel kleiner als bei reinerUnterschallstromung, so daB bei den folgenden Anwendungen schlankere Profileund Korper vorausgesetzt werden miissen, als dies bei einer Unter- oder Uberschallstromung erforderlich ist.

Dies ist auch schon deshalb notwendig, weil meistdie Voraussetzung kleiner Storungen gemacht wird. Es ist aber bekannt, daBbesonders bei ebener Stromung auch Profile kleineren Dickenver~1aItnisses erhebliche Storungen aufweis:m. Die auf Gl. (24) beruhenden Ergebnisse (etwa derA.hnlichkeitstheorie), geIten bei raumlichen flachen Korpern (Dreiecksfliigel)mit wesentlich hoherer Genauigkeit als in ebener Stromung. Damit gelten sieaber gerade im praktisch interessierenden Gebiet besser.

Die theoretische Bedeutung der ebenen Stromung beruht darauf, daB sie vielfach als eine Vorstufezur Losung des raumlichen Problems angesehen werden kann. Die Berechtigungder Vernachlassigung des besprochenen Gliedes bei geniigender Schallnahe undebener Stromung wurde exakt von K. OSWATITSCH 2, die Berechtigung der Annahme der Wirbelfreiheit wurde exakt von G. GUDERLEy 3 gezeigt.Unter diesen Voraussetzungen ergibt sich mit Gl. (9) folgende gasd. Gl.:*M1x,[_l-Mbo- ~~IjMoo-I+(~--1)1~ (.~U. ox Uooo(V) + TzO(w)_OoyUUoo-oooo-1) +-.Werden nun mit B als zunachst willkiirlichem Faktor folgende neue Veranderlichen eingefiihrt:x=x;u =y=By;_1_ I - M&, (_u~B2 _I_~ IUooM~U)=1-B3_ 1).3=Bz;t)= _1_ 1 -'I-M&,--1 ~.-~---IM~M&, _v_.B3 _I_~ I u oo 'M~wU-'00(25)IX, 4.

Gasdynamische Gleichung fUr Schallnahe.347so erhalten die gasd. Gl.'und die Gleichungen der Wirbelfreiheit folgende Form:60( l-MB2-u)~+~+~=o;oxoyOJ~-~=O· ~-~=O· ~-~=O.OfOJ'OJox'oxof(26)Hierin kommt allerdings noch Moo, die Mach-Zahl der Anstramung, vor,doch kann durch entsprechende Wahl des Faktors B leicht eine Form hergestelltwerden, bei welcher Moo eliminiert ist. Die Schwankungen der Geschwindigkeitskomponenten sind in Gl.

(25) durch einen gemeinsamen Faktor, nach Gl. (2) imwesentlichen:(27)dividiert, was stets maglich ist. Daruber hinaus erscheint die v- und w-Komponenteum den Fakkr liB gegenuber der u-Komponentenschwankung vergraBert.Dies ist erforderlich, wenn die Wirbelgleichungen bei einer Streckung von y und zdie einfache Form beibehalten sollen.Der -obergang zur Gleichung bei Ach8en8ymmetrie kann wie in Abschnitt VI, 2gemacht werden, mit dem Resultat:~-~=o.oxoy(28)Aus den Abschatzungen in Abschnitt VI, 17 ergab sich, daB das erste Gliedder Kontinuitatsbedingung Gl. (28) besonders in Schallnahe in der Umgebungdes Karpers keine Rolle spielt, was zur Folge hatte, daB dOl t V Y = konst.

gesetztwerden konnte. Das erste Glied kann allerdings nicht gestrichen werden, da, dieGleichung auch den AnschluB an die Anstramung herstellen muB und dort aHedrei Summanden gleichwertig sind. Wahrend die Geschwindigkeitsschwankungam Karper durch die u-Schwankung nur sehr mangelhaft genahert wird, ist dieseNaherung in groBem Karperabstand so gut wie bei ebener Stramung. Beispielsweise ergibt sich aus Gl. (VII, 28) fur die linearisierte Unterschallstromung, diefur Abschatzungen weit vom Korper auch fUr schallnahe Unterschallstromungausreicht, daB die u- und v-Schwankungen in allgemeiner Richtung von gleicherGroBenordnung sind.

Es ist daher berechtigt, den Faktor I - M2 durch I - M&,und die Schwankung der u-Komponente allein auszudl'ucken, weil dadurch dieGeschwindigkeitsschwankung gerade dort gut genahrt wird, wo das entsprechendeGlied der Kontinuitatsbedingung eine Rolle spielt.Die Vel'einfachung der gasd. Gl. fur Schallnahe wurde zuerst von K.08WATITSCH 4 dul'chgefUhrt. Dies Gleichungssystem ist nicht mehr linear, kann esauch nicht mehr sein, wenn es beispielsweise bei ebener Stromung im -oberschallgebiet hyperbolisch, im Unterschallgebiet abel' elliptisch sein soIl.

Doch wirdder -obergang von eiflem Typus zum anderen in einfachster analytischer FormerfaBt.Um die Beschrankung auf kleine v-Komponenten zu vermeiden, konnte beiebener Stromung zu Stromlinienkoordinaten ubergegangen werden. Man erhaltdann die Gl. (VI, 74, 75), in welchen an Stelle von Geschwindigkeitsbetrag undI - M2 nun folgende Ausdrucke treten (vgl. etwa 5):Je d;_und~ (1-M2).eIX. Stationare, reibungsfreie, schallnahe Stromung.348Die Naherung von I/Q2 (1- M2) als lineare Funktion vonf(!d; ist abel'leider nul' in einem sehr beschrankten Bereich brauchbar, so daB die Korrektureiner Ungenauigkeit mit einer anderen Ungenauigkeit erkauft werden muB.Fur spezielle Probleme kann sich daraus allerdings ein Vorteil ergeben.5. Ahnlichkeitsgesetze fur Schallanstromung.Wenn es auch zweifelhaft ist, ob bei Schallanstromung stationare Stromungenmoglich sind, so behalt dieses Gesetz doch seine Bedeutung fUr Anstromungen,welche sich von del' Schallgeschwindigkeit kaum unterscheiden.

Es handelt sichdann um einen Spezialfall des im nachsten Abschnitt besprochenen Gesetzes.Fur Moo = 1 bekommt das Gleichungssystem (26) sofort eine vom speziellenWert von B unabhangige Form:aua))alPoy03-u~+--+-=O'axalPTy -OJ) _ 0'a;-,'oro _ 0'03 -7}X - ,au~_ ~ =axoy°(29).Das trifft ebenfalls bei Achsensymmetrie Gl. (28) zu und braucht nichtbesonders wiedergegeben zu werden. Gl. (27) gilt auch, wenn es sich mit Moo == M~ = 1 um eine unbestimmte Form handelt, womit die reduzierten Geschwindigkeitskomponenten in Gl. (25) folgende Form annehmen:W =1B3 (xw+ 1) C*'(30)die wieder ebenso fUr Achsensymmetrie gilt.Die Randbedingung am flachen Korper (die die ebene Stromung um flacheProfile mit einschlieBt) kann mit Gl.

(VI, 112) wie folgt geschrieben werden:Y = 0: o(x, 0, 3) = (x2 h m (ix'd ( Thh ) .+ 1) -Jj3mFur Korper, welche durch affine Verdickung ineinander ubergehen, istd: (2 ~m)wie die relative Dicke selbst, diesel be Funktion vonxund z.Da-mit die relative Dicke auch diesel be Funktion von x und 3 ist, muB del' Korperin z-Richtung wie die Koordinate z = B-1 3, also verkehrt proportional zu B,gedehnt werden. Mithhm= q (x, 3),B3 = (x+1) 2 h m(31)bekommt die Randbedingung schlieBlich eine von x und hm vollig unabhangigeForm:y= 0: O(X,0,5) = ddx(2~m)'(32)Die Dickenverteilung q(X,3) bleibt dabei willkurlich. Die Randbedingungim Anstromgebiet bleibt formal auch in den reduzierten Veranderlichen Gl. (25)dieselbe, weil die reduzierten Komponenten mit den Storkomponenten verschwinden und die verzerrten Koordinaten mit den ursprunglichen Null und unendlichwerden.Bei gleichen Differentialgleichungen und Randbedingungen fUr die reduziertenGraBen ergeben sich fur diese auch dieselben Losungen.