K. Oswatitsch - Gas Dynamics (ger), страница 101

Aus ihnen rechnenIX, 5. Ahnlichkeitsgesetze fUr Schallanstromung.349sich die gewohnlichen Koordinaten und Komponenten mit Gl. (30) und (31)fur flache Korper wie folgt:w= 2 h m w.c(33)-;j<Als "entsprechende Punkte" werden Punkte gleicher reduzierter Koordinatenx, y, 3 bezeichnet. Ihre Lage errechnet sich mit Gl.

(33) aus dem Verhaltnisder h m - und (x + l)-Werte.Das Ahnlichkeitsgesetz wurde zuerst von v. KARMAN 6 , 7 formuliert und kannfur gleichbleibendes x der VergleichsfiiIle wie folgt ausgedruckt werden:Die Geschwindigkeits- und Druckstorungen an flachen, mit Schallgeschwindigkeit angestromten, affin verdickten Korpern wachsen wie die Potenz 2/3 desDickenverhaltnisses. Das Seitenverhaltnis, die Pfeilung ist bei den Vergleichskorpern proportional zur Po~--------- -- ---tenz _1/3' + 1/3 des DickenMoo ' 1J,.f__ _ _Moo olJ,.9::~~::' £:;n!:l~~::e ~~~~~~~~~~:==~~~~=~===-= =~------~- --~verhaltnis und eine starkerePfeilung anzunehmen. Die Nei- - - - - - ~­gungen der Stromlinien in entAbb.

237. Mittelschnitt, GrundriB und Stromlinien zweier"ahnlicher" Fliigel.sprechenden Punkten wachsen verstandlicherweise einfach wie das Dickenverhaltnis. Hingegen nehmen die Abstande entsprechender Punkte von den Ebenen y = 0 und z = 0 mit k;.l/S zu, d. h. sie nehmenmit zunehmender Dicke abo Stromlinien gehen also keineswegs ineinander uber.Auch das Stromlinienbild am Korper selbst andert sich vollig. Der dickereKorper (Abb. 237) zeigt bei starker Pfeilung die groBeren Stromlinienneigungenzur x-Achse, was wegen der starkeren Dickenabnahme in z-Richtung physikalischverstandlich ist.

Der Umstand, daB die Stromlinien nicht richtig abgebildetwerden, macht sich deshalb nicht storend bemerkbar, weil die w-Komponentenicht in die Randbedingung flacher Korper eingeht.Die Beiwerte der Luftkrafte ergeben sich einfach aus den Drucken. BeimWiderstandsbeiwert geht das Dickenverhaltnis nochmals ein, wenn dieser Beiwert auf die Projektionsflache des Korpers bezogen wird.1st der Korper in y-Richtung asymmetrisch, was schon bei Anstellung derFall ist, so ist die Randbedingung auf y = 0 durch zwei verschiedene Gleichungenzu ersetzen, welche an beiden Seiten der z, x-Ebene gelten. Am Resultat andertsich hierdurch nichts. Eine Anstellwinkelanderung kommt einer Anderung desDickenverhaltnisses gleich.

Verschiedene Anstellungen konnen demnach nurdann aufeinander bezogen werden, wenn gleichzeitig das Seitenverhaltnis geandertwird.Die achsensymmetrische Stromung kann einfach mit den Veranderlichenvon Gl. (30) behandelt werden, wenn man sich auf die Betrachtung der x, y-Ebenebeschrankt, in welcher w Null zu setzen ist. Mit Gl. (VI, 109) kann die Randbedingung am Korper auf eine Bedingung auf der x-Achse reduziert werdenund lautet in reduzierter Form:y =0:x + 1 F'(x)VY=-!>,:n; -W-.(34)IX. Stationare, reibungsfreie, schallnahe Stromung.350Wenn diese Randbedingung unabhangig von der absoluten Dicke des Karperssein soIl, muB B2 proportional zum Flachenquerschnitt F (x) sein, oder mit h m alsmaximalem Radius und q(x) als Dickenfunktion des Karpers:h2hmq (x),=(35)Daraus folgt mit Gl.

(30) und (25):1vY=-----V" +(36)2hm '1Die fvlgenden Aussagen seien wieder auf gleichbleibendes x beschrankt.Darnach wachsen die Starungen der u-Komponente in entsprechenden Punktenwie h m 2 . Da aber wieder die Stromlinien nicht ineinander libergehen, denn dieAchsenabstande und die Stromlinienneigungen vic transformieren sich verschieden voneinander, so entsprechen die Werte am Karper y = h (x) keinesfallseinander, ein Umstand, der oft zu wenig beachtet wurde.

Die Geschwindigkeitenam Karper kannen auch keineswegs entsprechend zu den Verhaltnissen an flachenKarpern jenen auf der Achse gleichgesetzt werden. Dort wachs en sie logarithmischliber aIle Grenzen. Vielmehr ist eine Umrechnung mit Gl. (VI, 110) erforderlich.Werden die betrachteten Vergleichsfalle mit den Indizes 1 und 2 bezeichnet,so ergibt sich die Lage eines Oberflachenpunktes y = hI des ersten Karpers infolgender Entfernung von der Achse des zweiten. Entsprechende Punkte sinddurch gleichen v-Wert gekennzeichnet, woraus mit Gl. (36) folgt:_l/ffil+,,+Y2 -1 2 hmlt" ~m22.l~l·Das Verhaltnis zur entsprechenden Karperordinate h2 ist:~=h2V"1 ++"212 h m1 · hI1 .

2 hm2 . h2=V"1 ++"21 (2 hm1 )2.12 hm2Mit Gl. (VI, 110) ist dann auf Y = h2 :~c*_1=( :1) y, ___21_n F2"(X) In ~= ( u; _ 1) (2 hm2 )2. +Y2c2 hml_C_ _1_ F2"(X) In2n(V "1 ++"21 4 h~2).1 4 hmlAus dieser Gleichung foIgt fUr die Geschwindigkeitsstarungen:~_ 1= ~_ 1c*c*+ ~2 (~)2=dx+ ~2 (22 hm2)2(dh l )2 _hdxm1(~_ 1) ( 2 hm2c*-1-F2"(X) In2n2 hm1)2 +(V "2 ++ 1 4h~2)."114 hin1Dies IaBt sich symmetrisch schreiben.

Mit Gl. (35) sei:h 2 (x)2 hm2h(x)2 hmund folgIich auf y = h: S1( 2 hm2)2 ( WC*21( W=(2hml)2-1)C*1 -1+)d2dx2+d2dx 2(h)22 h m In(h)22h m(VX4_)2 + 1 .2 hm2 =InVX 1 + 1. 2h m1(4)·(37)IX, 6. Ahnlichkeitsgesetze fUr schallnahe Anstromung.351Die Verwandtschaft mit Formel (VIII,29) und (VII,26) ist offen bar undverstandlich, da sie auf gemeinsamen Eigenschaften schlanker achsensymmetrischer Korper beruht. Die Umrechnungsformel gilt in gleicher Weise fur den Druckkoeffizienten. Bei Berechnung des Druckwiderstandes des Mantels verschwindetubrigens das logarithmische Glied fur einen beiderseits zugespitzten oderzylindrisch endenden Karper.

Der auf den Querschnitt bezogene Widerstandsbeiwert ist dann (von Reibung und eventuell Bodendruck abgesehen) demQuerschnitt proportional.Fur die Querkrafte ergaben sich unabhangig von Moo bei kleinen Storungendiesel ben Formeln. Sie geIten also auch in Schallnahe. Die Formeln kannendort ja in gleicher Weise abgeleitet werden. Die Ahnlichkeitsgesetze kannenalso den Formeln direkt entnommen werden (Abschnitt VII, 4· und VIII, 3).Befinden sich die Karper in einem Kanal (Ahnlichkeitsgesetze fur Kanalversuche mit wesentlichen Kanaleffekten), oder handelt es sich urn Dusenstromungen, so gehen in die Randbedingungen noch Abstande von Wanden ein.

Diesemussen sich dann genau so wie die y- und z-Koordinate transformieren, wahrendsich die Kanalwande im allgemeinen wie die Stromlinien, also wie die Querkomponenten der Geschwindigkeit andern mussen. Die jeweiligen exakten Bedingungenergeben sich, wenn die zusatzlichen Randbedingungen durch die reduziertenGroBen ausgedruckt werden.6. Ahnlichkeitsgesetze fUr schallnahe Anstromung.Fur schallnahe Anstromung ergibt sich ein fUr Moo < I und Moo> I guItigesAhnlichkeitsgesetz, das zuerst von G.

GUDERLEy 3 in einem kurzen Abschnittfur theoretische Zwecke wiedergegeben wurde und unabhangig dann etwasspater gleichzeitig von TH. v. KARMAN 7 , 9 und K. OSWATITSCHIO entdeckt undfur die praktischen Bedurfnisse ausgestaltet wurde. v. KARMAN behandelt nichtnul', wie die beiden anderen Autoren, den ebenen Fa']l, sondern auch die achsensymmetrische Stromung. Die Formeln del' letzteren bedurfen aber einer Korrektion, wie sich das schon im letzten Abschnitt bei Moo = I als notwendigerWles.Fur Moo I kannen die G1.

(26) und (28) sofort auf eine von Moo unabhangigeForm gebracht werden durch entsprechende Wahl von B. Damit B allerdingsstets reell bleibt, muB die Wahl unterschiedlich fur Moo < 1 und Moo > Igetroffen werden. Es sei:'*'fur Moo<= VI-Mix,=Poo,B = V Mix, - I=cot IXoo.BI:fur Moo> I:(38)Damit ergibt sich die gasd. G1.:(1 -fur Moo> I:(lu).~ox+~+~=oy03+ u) ~ox~oyOlD03=0'0(39)'deren einfachere Formen fur ebene und achsensymmetrische Stromung wohlnicht besonders vermerkt zu werden brauchen.Die reduzierten Komponenten und Koordinaten von G1.

(25) erhalten damitdie in G1. (5) und G1. (7) wiedergegebene Form, worin nur PI = Poo und IXI = IXoozu setzen ist. Stromdichte und M2 - I werden hier eben im Zustand del' Anstromung entwickelt.IX. Stationare, reibungsfreie, schallnahe Stromung.352Die Randbedingung an flachen K6rpern (mit EinschluD del' ebenen Profilstromung) bekommt folgende Form G1. (VI, 112):< 1:11100tJ =r; (2 ~m00" =_1) -ddx ( 2~m) ;M~0:(40)Wieder ist die Bedingung im Anstramgebiet von selbst in reduzierten GroDenerfullt. Bei asymmetrischen Korpern in y treten wieder zwei Bedingungenbeiderseits der x, z-Ebene auf, fUr deren jede die folgenden Forderungen zu erfUllen sind.Damit in den Vergleichsfallen auf y = 0 dasselbe tJ (x, 3) und damit diesel beLasung in den reduzierten GroDen auf tritt, sind folgende Forderungen zu erful1en:h-h- = ---'-=2 hm2l1mh(12h= 2h=m'[mq (x, z)''(41)q(x,z);11 ist eine "reduzierte Korperhohe", 11m eine "reduzierte Maximalhahe".

DieReduktion hat dabei wie bei v zu erfolgen, denn die Hohe geht schlieBlich auseiner Integration von tJ uber x, welches unverzerrt bleibt, in der x, z-Ebene helvor.Die Vergleichskorper mussen nach Gl. (41) gleiche "reduzierte Hohen"haben. Ihre Seitenverhaltnisse (ihre Pfeilungen) muss en sich darnach wie diez-Koordinate, also nach Gl. (5) und (7) bei 11100 < 1 wie (3~, bei 11100 > 1wie tg iXoo andern. (Letzteres ist sehr einleuchtend, denn es heiBt, daB sich PfeilungodeI' Seitenverhaltnis wie die Neigung der Machschen Linie im Anstromgebietandern muD.) Ferner muD nach G1.

(41) die reduzierte Maximalhohe del' Karperdie gleiche sein. Ihre wirklichen Hahen h mussen sich also bei 11100 < 1 wie dieFaktoren (300(M~-1), bei 11100 > 1 wie cot iXoo ( 1 -~~)verhalten.Je naher also die Anstromgeschwindigkeit an 11100 = 1 liegt, desto dunnermuD del' Karpel' sein.Nach G1. (5) und (7) verhalten sich die Geschwindigkeitsstorungen, also auchdie Druckstorungen und Druckkoeffizienten von Vergleichskorpern, welche dieAhnlichkeitsforderung gleicher reduzierter Hahen erfullen, wie die Unterschiedevon Anstromgeschwindigkeit und kritischer Schallgeschwindigkeit.Die Ergebnisse sind ohne weiteres auf die Luftkriifte ubertragbar. Da sich dieReduktionskoeffizienten bei gleichem " nach G1.

(23) wie die verschiedenenPotenzen von (300 und cot iXoo verhalten, kann das Ahnlichkeitsgesetz etwa fur~M 00 < 1 auch wie folgt ausgedruckt werden: Wenn sich die Hohen affin verdickter Korper wie (3~ und die Seitenverhaltnisse wie (3~ verhalten, so verhaltensich die Druckkoeffizienten wie (3'/x" also wie h"/;. Eine Mach-Zahl, welche auDerordentlich nahe an 11100 = Iliegt, ergibt nach einer Umrechnung auf eine andereProfilhahe wieder eine ganz nahe an Moo = lliegende Mach-Zahl del' Anstromung.Die Druckkoeffizienten haben sich aber wie h~~ geandert. Damit ergibt sichdas im letzten Abschnitt abgeleitete Gesetz fUr 11100 = 1 als Grenzfall des Gesetzesfur 11100 =l= 1 bei Annaherung 11100 -> 1.IX, 6.