K. Oswatitsch - Gas Dynamics (ger), страница 103

241) dargestellt werden.Bei einer zur Diisenachse symmetrischen Diise und bei entsprechend symmetrischer Anstramung ist daun u als symmetrische und v als antisymmetrischeFunktion in y anzusetzen. Hier sei die Entwicklung auf das erste y-Gliedbeschrankt:u _ uo•a 2>i<->i<+-2y + ... ,cc-;. =by+ ....c(48)Hierin seien die Koeffizientenfunktionen U o (x), a(x), b(x) zunachst freieFunktionen von x, die so bestimmt werden sollen, daB die Randbedingungenund Differentialgleichungen erfiillt werden. Damit wird dem Geschwindigkeitsprofil ein bestimmter Charakter gegeben - eine Parabelform - , ohne daB abel'etwa die Wolbung des Profils odeI' del' Wert del' Geschwindigkeit auf del' Achse U o(x)von vornherein festgelegt wird. Unter den Koeffizientenfunktionen ergeben sichaus den Differentialgleichungen durch Vergleich del' Koeffizienten von y Bindungen.

1m einfachsten FaIle folgt hier aus del' Wirbelfreiheit (Striche bedeutenAbleitungen nach x):o(U)oyC*=ay+ ...=,axo(V)C* = by:a =b'.(49)b(x) ergibt sich abel' aus del' Bedingung, daB v am Diisenrand y = h(x)durch die Wandneigung festgelegt ist. Mit Ws als "Stromfadengeschwindigkeit",also als jenem Wert, del' sich ergibt, wenn konstante Zustande iiber den Querschnitt angenommen werden, ist mit ausreichender Genauigkeit fiir y = h(x):-;= h'(x) ~9= b h.cc(50)IX, 7. Diisenstromung.357Daraus folgt bereits mit G1.

(49):b= ~hWs •ac*'h"=hWc*sh'W'h'2+ h7--i1,2W(51)c*"·Der Linearansatz von v in G1. (48) bedeutet, daB in dieser einfachsten Formder Theorie ein linearer Dbergang der Stromlinienneigung von der Achsezum Rand angenommen wird. Zur Vereinfachung der Schreibung seien diedurch die bekannten Funktionen Ws(x) und h(x) festgelegten Koeffizientenfunktionen a (x) und b (x) zunachst noch nicht durch die Ausdriicke der G1. (51)ersetzt.Das starkste Interesse gilt der Stromung im engsten Diisenquerschnitt.Dort ist die v-Komponente sehr klein, die Geschwindigkeit kann der u-Komponente gleichgesetzt werden. Diese vereinfachende Annahme mit ihrer Beschrankung der Giiltigkeit der Formeln sei nur hier zugunsten einer iibersichtlicheren Darstellung gemacht. (Der allgemeine Fall wird referierend wiedergegeben.) 1m Ausdruck fiir a der G1.

(51) miissen dann die letzten beiden Glieder,welche aus der Diisenneigung resultieren, gestrichen werden. Es bleibt nur daserste aus der Wandkriimmung sich ergebende Glied.Unbekannt geblieben ist noch die Achsengeschwindigkeit U o(x). Sie sollso festgelegt werden, daB sich die vorgeschriebene DurchfluBmenge im symmetrischen Fall, die Maximalmenge im asymmetrischen Fall ergibt. Diese Erfiillungder Kontinuitatsbedingung in Integralform hat den Vorteil, daB sich im Mittelin jedem Querschnitt die richtige Geschwindigkeit ergeben muB. Sie kann nichttiber den ganzen Querschnitt zu groB oder zu klein herauskommen.1st Y = Ys jener Ordinatenwert, bei welchem u = W = Ws ist, so gilt mitG1.

(8):~ = :: = ~s + ; (y2_ Ys2),(52)worin nun anstatt uo(x) die Unbekannte ys(x) steht.Mit G1. (43) ist dann die Stromdichte:.-Llf:'_ = ~e* c*~= 1-~~2=e* c*( Wsc* _1)2 _es W, _e* c*u1- u+2=+2 1 (U+ 1 (Wsc*2W"c*1[(~-1)c*+ (~_~)]2=c*c*-1) a(1l-y2) _.us-1) a (y2 _Y 2) _s+...!5!!...(y2_ y2)2 =24.,U + 1 !!!... (y2 _ Y 2)2.24s(53)Damit ergibt sich die Stromdichte als Stromdichte der Stromfadentheorie,vermehrt urn zwei Zusatzglieder. An Stellen, an denen sich Ws wesentlich von c*unterscheidet, ist das zweite Glied wesentlich, wahrend bei Ws = c* erst das dritteGlied einen Zusatz zur Stromfadendichte (]s Ws bringt.Bis hierher gilt die Ableitung in gleicher Weise fiir ebene und fiir achsensymmetrische Diisen, da die Randbedingungen und die Gleichung fiir die Wirbelfreiheit formal dieselben sind.

Ein Unterschied ergibt sich erst bei Anwendungder Kontinuitatsbedingung. Diese ergibt fiir ebene Stromung mit G1. (53) fiir dieDurchfluBmenge G der Breiteneinheit der Diise:I e~:*dyh/:c*=o=!s*~,+1h- u;(~:1-1) a (h; -(hS- - 2 h2+ y 4h2453 yu -a2--3sYs2h)+(54))s·IX. Stationare, reibungsfreie, schallnahe Stromung.358Fur die engste Stelle j' = 0 ergibt sich im asymmetrischen Fall oder imsymmetrischen Fall mit Ws = c* dann die Maximalmenge G, wenn del' letzteKlammerausdruck seinen kleinsten Wert annimmt. Dies ist der Fall fUr:d~s (~4-~2Ys2+ Ys4)= - 4~3+ 4 YssYs= 0;Ys2 =_~2.(55)Mit Gl. (52) und (51) ergibt sich daraus folgende Geschwindigkeitsvel'teilung:21[*= ~c* = W,c*[1 + ~2 (Jeh" h]h -~)3;(1':6),)2Als Durchflu13menge ergibt sich mit Gl. (55) und (51):Gh* e*c*1-"g+oI (h" h)".

;,~o==1" + I (h*)2-----go7i* .(57)1m engsten Quel'schnitt ist h" dem dortigen Kl'iimmungsradius R* gleichzusetzen.Die Durchflu13menge weicht also nur mit dem Quadrat des Vel'haltnisses vonhalber Diisenhohe h* und Kl'iimmungsradius R* im engsten Querschnitt von derStl'omfadenmenge ab, wobei auch noch del' Faktor auBerordentlich klein ist.Uberall dart, wo sich Ws und c* wesentlich unterscheiden, ist das letzte Gliedin Gl. (54) von hoherer Ordnung.

Die Stl'omfadengeschwindigkeit ergibt sichaus der Durchflu13menge durch G = (!s Ws h. Nur bei kritischer Geschwindigkeitist das nach Gl. (57) nicht exakt erfiiIlbar, wobei del' Unterschied gerade durchdas letzte Glied in Gl. (54) gegeben ist. Damit ergibt sich fiir Ws of c*:"~I ( ~s 1)_a(~-Ys2) =0 odeI'Ys2=4~.Das ist abel' dassel be El'gebnis wie in Gl. (55). Stets wird die Stromfadengeschwindigkeit bei Ys = l/Sh erreicht, womit Gl.

(56) also in beiden Fallengilt.Die auf die kritische Stl'omdichte bezogene Durchflu13menge ergibt sichmit Gl. (53) bei achsensymmetrischer Stl'omung wie folgt:V3rhe*Gc*Ws h2h2 ( x= . n, e*e Uc* y d y = ese* c*- 22on:2 (x_+ 1) a2 (~4+ 1) (C*Ws-1) a (h22- Ys 2)-Ys2h 2 + Ys4).+(58)Wie bei ebener Stromung el'geben sich fiir die beiden FaIle: WsW s wesentlich verschieden von c*, diesel ben Wel'te von y s' namlich:=c* und(59)Mit Gl. (52) folgt dann die Geschwindigkeitsverteilung bei Achsensymmetl'ie:}~f*=~ = ~s[11+ ~ (X: -- ~) h" h(60)Die Mengenkorrekturen beim achsensymmetrischen Fall gegeniiber del' Stromfadenmenge ist nun mit Gl. (58) und (59):~;c--G~h*2 ne *c*=1 - -"_+~ (h" h)· _96x-o=1- "+ I (~_)2.R*96(61)Sie unterscheidet sich also nul' wenig von del' entsprechenden Korrekturnach Gl.

(57) bei ebener Stromung.IX, 7. Dusenstromung.359Mit Hilfe der Formeln kann leicht die Form der Schallisotache beim asymmetrischen Fall berechnet werden. Aus Gl. (II, 58) ergibt sich die Stromfadengeschwindigkeit am engsten Querschnitt wie folgt:eben:achsensymmetrisch:Wsc*= 1+Ws _ IC"*-W"-,- xc*-LX,¥__~~.= 1 +~V_lVh*2u+lu+1R* 'h*R*'Daraus erhiiIt man beispielsweise bei ebener Stromung die Schallisotachemit Gl. (56):1=h*] [1( y2 1) h*][.1 + h*XV u +11 R*1 + 2 h*2 - 3 R* == I+ ¥xV +1u1+ 21(y2h*2h*R*-1)h*3 R*+Nach entsprechender Rechnung bei Achsensymmetrie werden folgendeParabelformen fiir die Schallisotachen gefunden:eben:Vx-+TVh* (~_L).2R* 3h*2'xh*V2(uachsensymmetrisch:4+1)V(62)h* (~_L)R* 2h*2'Diese Gleichungen enthalten natiirlich wieder besondere Formen def A.hnlichkeitsgesetze fiir Schallnahe.Abb.

241 zeigt den asymmetrischenFall und den symmetrischen Fall mitlokalen Dberschallgebieten bei ebenerStromung. Abb. 242 19 gibt Versuchund Theorie beim symmetrischen Fall inc·einer achsensymmetrischen Diise. BeimVergleich von Versuch und Theorie imII.~11,2-11, 1011,1 D.'ftr,fvcn Yo .Jtdnton-6'1. (50)- - -Jtromf"ao'entneor/IJAbb.241. Asymmetrische und symmetrische cbeneStromung durch eine Lavaldiise mit-~:=0,20.t.Abb. 242. Geschwindigkeitsverteilung auf der Achseeiner rotationssymmetrischen Lavaldiise mit~.=0,21.symmetrischen Fall muB entweder die DurchfluBmenge bekannt sein, oder eskann die Ubereinstimmung in einem wilIkiirlich herausgegriffenen Punkt erzwungen werden. Ein MaB fiir die Giite der Theorie ergibt sich dann aus derDbereinstimmnng im iibrigen Stromungsfeld.IX.

Stationare, reibungsfreie, schallnahe Stramung.360Die Theorie fiir starkere Diisenwandneigungen fiihrt nach K.OSWATITSCH undW. ROTHSTEIN zu folgenden Resultaten:v/W,~ !rh', W/W,eben:~ !loohoon,,,,=.,=l+~(r-~)(hh"+Ws'hhl)+2 h23Ws__~_ Ws' h h'.6~ 1+Ws'-{ -~ih h'.! (~: -- !) (h h" + W~h_ hI) +sDaraus ergibt sich ein Kriimmungseffekt (h h") und ein Neigungseffekt der -Wand.Es zeigt sich, .. daB beide Effekte bei Unterschallstramung einander entgegenwirken,hingegen bei Uberschallstramung einander verstarken. Eine Verfeinerung der Theorieliefert Formeln, in denen hahere Ableitungen von h auftreten.

Diese durfen nichtzu hahe Werte annehmen, wenn die Theorie erster Ordnung richtig sein solI. Physikalisch bedeutet das, daB nicht nur h h" und h' klein gegen die Einheit sein miissen,sondern daB sich die GraBen mit x nicht zu rasch andern diirfen. Das leuchtet ein,weil es anderenfalls unmaglich ware, die Geschwindigkeitsverteilung aus de!-l artlichenWandeigenschaften zu berechnen.

Aus demselben Grund kann man im Uberschallgebiet nicht mit derselben Genauigkeit rechnen wie bei Unterschall- und Schallstramung. Bei M > 1 kann der Stramungszustand eines Punktes ja nur von jenen stromaufwarts gelegenen Wandteilen abhangen, in deren EinfluBgebiet der Punkt liegt.Die Abnahme der Genauigkeit mit wachsender Mach-Zahl bei M > 1 start wenig,weil dann ja die Berechnung mit Charakteristiken-Methoden maglich ist.Der asymmetrische Fall laBt sieh aueh so behandeln, daB in der gasd. G1.der Gesehwindigkeitsgradient vorgegeben wird.