K. Oswatitsch - Gas Dynamics (ger), страница 102

Ahnlichkeitsgesetze fUr schallnahe Anstromung.353In dieser DarsteUung ist die ebene Stromung der Spezialfall unendlich groBenSeitenverhliltnisses. Die Fordel'ung nach Anderung des Seitenverhaltnisses derVergleichskorper faUt dann weg. Es ist lehrreich, die Vorgange bei der Transformation in anderer Hinsicht zu betrachten (Abb.238). Ganz entsprechende-oberlegungen sind auch im letzten Abschnitt moglich. Gleiche u-Verteilung inentsprechenden Punkten bedeutet, wenn u- Schwankungen und Geschwindigkeitsschwankungen gleichgesetzt werden, daB Schallgeschwindigkeit (u = 1) in entsprechenden Punkten, also auch an gleichen Profilstellen erreicht wird.

Dasselbetrifft auch fiir die Lage der StoBfront zu. Da entsprechende Punkte mit {3~an das Profil heranriicken, liegt auch die ~challisotache beim dickeren Profilproportional zu {3z,6 naher, die Neigung del' Machschen Linien nimmt ebenfa11smit {3~ zu. Nun miissen sich bei ahnlicher Stromung nicht nur die Isotachen,sondern auch die Machschen Linien und wohl auch die StoBfronten entsprechen,da durch sie die ganzen EinfluB- und Abhangigkeitsverhaltnisse bestimmt werden.Die Neigung der Mach-Linien laBt sich auch mit Gl.

(10) wie folgt ausdriicken:tg cx = (VM2-1)-1 =po!:, (VW _1)-1 = {J;6 (VU-l)-l +Natiirlich ergibt sich beiUnterschallstromung ({3oe ree11)nur im -oberschallgebiet (U > 1)ein reeller Machscher Winkel cx.Und dieser ist - aus der Geschwindigkeit berechnet inentsprechenden Punkten wiederproportional po!:,. Die starkereNeigung der Mach-Linie beim Abb. 238. Lokale "Cberscha.llgebiete iihnlicher Stromungen.dickeren Profil ergibt sich nunaus der mit der groBeren Dicke verbundenen hoheren Storgeschwindigkeit.Der Druckkoeffizient in entsprechenden Punkten ergab sich proportional zu~& - 1 nach GJ. (12).

Daraus folgt ein auf die Profillange und Breiteneinheitrbezogener Widerstandsbeiwert [mit Riicksicht auf die geanderte Dicke G1. (41)]proportional zu(M~-1 {3oe.Dieser Faktor sei nochmals iiber die StoB-verluste bestimmt. Da der StoB senkrecht am Profil auftrifft und auch weitdrauBen an der Schallisotache senkrecht zur Stromungsrichtung stehen muB,kann die Betrachtung auf einen senkrechten StoB beschrankt werden. Fiir einensolchen kann der Entropieanstieg G1.

(II, 39) mit G1. (2) wie folgt geschriebenwerden:~ -_~_ = ~ (M2-1) (~+ ... ,(42)x(c p - cv )3cworin sich M und W unmittelbar auf den Zustand vor dem StoB beziehen. MitG1. (5) und (10) driickt sich der Entropieanstieg durch die reduzierten GroBennach kurzer Rechnung wie folgt aus:_1)2x(:p-=-8cv )= ;fJ~ (,J&-1r(W -1)3+ ....(43)Aus dem Entropiesatz Gl. (IV, 37) ergibt sich der Widerstand als Integraliiber den Entropieanstieg langs del' StoBfront bei kleinen Storungen in Schallnahe wie folgt fiir die Breiteneinheit, wenn y wie stets durch die Profillangedimensionslos gemacht ist:Cw =2M~fStoll8-8x(cp-c v ) dyOswatitsch, Gasdynamik.+IX. Stationiire, reibungsfreie, sehallnahe Stromung.354Da das letzte Integral fiir ahnliehe Profile gleiehe Werte annimmt, ergibtsieh wieder dieselbe Abhiingigkeit des Widerstandsbeiwertes von 1~1 00' welehezuvor aus den Drueken errechnet wurde.

x tritt in keiner der Darstellungenexplizit auf. Damit ist gezeigt, wie sich aIle Naherungen del' schallnahen Stromungzu einem geschlossenen Bild vereinigen.Einen Vergleich von Versuchen beziiglich des Ahnlichkeitsgesetze~ zeigtAbb.239. Ein besseres Bild wiirde sich ergeben, wenn Versuche in Hinblickauf das Ahnlichkeitsgesetz an besonders flachen Profilen vorgenommen wilrden.Die Storungen in den gezeigten Beispielen konnen keineswegs mehr at; kleinbezeichnet werden, sie betragen bei den dickeren Profilen mehr als 50%. Bei..uuDiclr~nY~rM/!nl";,0oo0"1,00•t ..• 90"4)".a.A0 0,05+ 0,11• 0,18oA/UB+NtlVL. Dick~nY~r/l.0,08P,5!0,59D.6!l.ODiclr~nY~rh.-o.o!:•*t•:I•Nil.

Dit:kM"~rh.0,4~:~~~ ~~~, ..lI( .."1,00 "•..,•o~•O,iM :.. !oJ(t• ~• .•• + •ofl.i.•, i1,0.rIS-0,$Abb. 2:19. Priifnng des )i.hnlichkeitsge,et7.cs an \' ersn ellen von B. GUTliERT" an X ACA -l'rofilpllmit ;W% Dickcnrlicklage.Stromungen an Dreiecksfhigeln sind nicht nUl' die Storungen selbst, sondei'll auchdas starker gestol'te Gebiet viel kleiner, so daB mit einer weitgehenden Brauchbal'keit del' Ahnlichkeitssatze zu rechnen ist. Immerhin ist auch Abb . 239 sehrlehrreich, weil sie zeigt, daB sich die Druckverteilung bei dickeren Profilen imSinne gel'ingel'er Widerstande verschiebt.

Das stimmt damit iiberein, daB auehdel' StoBverlust als proportional del' dritten Potenz des Geschwindigkeitssprungesbei starkeren Storungen zu hoch angesetzt ist.Die Reduktionen del' Komponenten und Koordinaten einer achsensymmetrischenStromung haben wie frilher gemaB Gl. (38) zu erfolgen, damit man zu einer Darstellung del' Differentialgleichungen (28) kommt, welche nur mehl' reduzierteGroBen enthalt. Diese miissen also wie beim flachen Korper nach GI.

(5) und (7)gebildet werden. In ihnen schreibt sich die Randbedingung am Korper wie folgt[GJ. (VI, 109)]:lJ \' =,\'. =o·,1F'(x)1 -1)'M"·_. - - ---.2n ( __•00<IlJ \' =IF'(x)- - - ----. 2n (1- ~&orIX, 6. Ahnlichkeitsgesetze fUr schallnahe Anstromung.Der Korperquerschnitt muB sich also proportional zu..-~*00-3551 andern, wenndie Randbedingung fur die reduzierten GroBen bei Anderung von Moo dieselbebleiben soIl.

Dann gibt es in den reduzierten GroBen dieselben Losungen, alsoahnliche, aufeinander abbildbare Stromungen, wobei sich allerdings - wie imletzten Abschnitt bei Moo = 1 - die y-Werte verkleinern, wenn sich die Querschuitte vergroBern. Ein Korperpunkt geht also nicht in einen solchen uber.Die Geschwindigkeiten muss en wieder mit G1. (VI, 110) auf die Korperoberflacheumgerechnet werden.

Dabei ergibt sich8 auf dem zweiten Korper y = h2 fUrMoo < 1 bei Berucksichtigung der Moglichkeit ungleicher Anstromgeschwindigkeiten u 100 und u 2oo :~-1= (~_u lOO(~-1) -~ F 2"(x) ln~ ==u 2001)U ooY22Y._1_ _ 1M~oo1_ -1____ 1_ F2 ,,(x) In h2f3200.2nh 1 f3100M~ooHier kann wieder auf die Geschwindigkeitsstorungen ubergegangen werden.Mit Rucksicht auf die Ahnlichkeitsforderung:_1_ _ 1M-:ooh 121h22---1(46)M~ooist dann folgende symmetrische Darstellung moglich (Moo~-1y=h:u 200---:-:-=----_1_ _ 11F2"(X)+ ~2~1.. - - - 1M~oo--~-1u lOO___1 __ 1M~ooM~oo+12nF1f/(x)1---1M~ooIn[fI200<1):V-l-]1 =M*200 -(47)l V-I ---]VVl-~In (1100M~oo - 1 .Hierin ist fur Moo > 1 nur (100 durch cotiXoo und M1* - 1 durch00 .Moozu ersetzen. Ganz Entsprechendes gilt fur den Druckkoeffizienten.

Das logarithmische Glied verschwindet wieder bei der Mantel-Widerstandsberechnung aneinem beiderseits zugespitzten oder hinten zylindrisch endenden Korper. Wegender Voraussetzung kleiner Storungen muB der Korper bei Moo < 1 und beiMoo > 1 stets mit einer Spitze beginnen.Angestellte Drehkorper sind bei Schallnahe wie bei Dnter- oder Uberschallstromung zu behandeln.Fur Ahnlichkeitsgesetze von Kanalstromungen, in welchen sich auch Korperbefinden durfen, gilt dassel be wie im letzten Abschnitt.

Die Wandabstande mussensich wie die entsprechenden Koordinaten andern.Mit den hier geschilderten Beispielen sind die Moglichkeiten fUr Ahnlichkeitsgesetze keineswegs erschopft. Beispielsweise ergibt sich ein kritischer ZustandfUr einen flachen gepfeilten Flugel dann, wenn die Kopfwelle die Vorderkanteerreicht, wenn also Pfeilwinkel und Mach-Winkel etwa ubereinstimmen. Wirdhier uber die einfache, durch Linearisierung gegebene Theorie hinausgegangen,so ergeben sich besondere Ahnlichkeitssatze 12 •2:)*356IX.

Stationare, reibungsfreie, schallnahe Stromung.Nie ist abel' eine trberschallanstromung hier mit einer Unterschallanstromungvergleichbar. Die Streckung del' y- und z-Richtung enthalt Faktoren floo undcot cX oo , welche jeweils nur fiir Moo < 1 odeI' fUr Moo> 1 reell sind.". Diisenstromung.Kennzeichnend fiir eine Stromung durch Diisen ist die starke Veranderlichkeit del' Stromung in Richtung del' Diisenachse gegeniiber einer nur geringenVeranderlichkeit quer dazu. Dies ermoglicht besondere Ansatze, welche zuerstvon K. OSWATITSCH und W. ROTHSTEINI3 ,18 gegeben wurden, und die mitziemlich geringem Aufwand zu einem recht allgemeinen Resultat fiihren. Stetssollen hier zur x·Achse symmetrische Diisen vorausgesetzt werden.

Wie in del'einfachen Stromfadentheorie, gibt es auch hier zwei Moglichkeiten del' Durchstromung einer Laval-Diise. Die Diise selbst zeigt ein im wesentlichen zum engstenQuerschnitt symmetrisches Bild. Das Bild del'yStramung kann abel' zum engsten Querschnittasymmetrisch odeI' symmetrisch sein. Die asym_ _ _ _ __ ! -_ _ _ _....:.Z'~ metrische Losung wurde zuerst von TH. MEYER 14mit einem Pdenzreihenansatz in x und y behandelt, und die symmetrische Lasung in ahnhcher Weise von G. J.

TAYLOR15. 1m letztenFall interessieren besonders die UnterschallAbb. 240. Koordlnaten zur DOsen· stramungen mit lokalen trberschallgebieten anstriimung.den Diisenwanden in del' Nahe des engsten Querschnittes. Del' trbergang von diesel' Losung zur asymmetrischen Lasung wurdevon H. GORTLER16 und spateI' von S. TOMOTIKA und K. TAMADA17 behandelt.Das Stromungsprofil in einem Diisenquerschnitt kann naherungsweise imallgemeinen sehr gut durch eine Potenzreihe in y (Abb.