Д.А. Кронберг, Ю.И. Ожигов, А.Ю. Чернявский - Квантовая информатика и квантовый компьютер

Êâàíòîâàÿ èíôîðìàòèêà èêâàíòîâûé êîìïüþòåðÓ÷åáíîå ïîñîáèåÄ.À.Êðîíáåðã, Þ.È.Îæèãîâ, À.Þ.×åðíÿâñêèéÌÃÓ èìåíè Ì.Â.Ëîìîíîñîâà, ôàêóëüòåò ÂÌÊ1Ïîñîáèå ïðåäíàçíà÷åíî äëÿ ñàìîñòîÿòåëüíîé ðàáîòûñòóäåíòîâ, ñëóøàþùèõ êóðñ ¾Êâàíòîâûå âû÷èñëåíèÿ¿ èëèëþáîé äðóãîé êóðñ ïî îñíîâàì êâàíòîâîé èíôîðìàòèêè.Ïðîðàáîòêà äàííîãî ïîñîáèÿ îçíà÷àåò îñâîåíèå îñíîâàìèêâàíòîâîéèíôîðìàòèêè,÷òîäàåòâîçìîæíîñòüäàëüíåéøåé ñïåöèàëèçàöèè â ýòîì íàïðàâëåíèè, âêëþ÷àÿïîñòóïëåíèå â àñïèðàíòóðó. Ðàáîòà ñ äàííûì ïîñîáèåìçàêëþ÷àåòñÿ â ñàìîñòîÿòåëüíîì ðåøåíèè ïðåäëàãàåìûõâ êîíöå çàäà÷ ñ èñïîëüçîâàíèåì ñâåäåíèé, èçëîæåííûõâ ðåãóëÿðíîì êóðñå.

 ñëó÷àå íåîáõîäèìîñòè â êà÷åñòâåèñòî÷íèêà òåîðåòè÷åñêèõ ñâåäåíèé ìîæíî âìåñòî êóðñàìîæíî òàêæå èñïîëüçîâàòü ïîñîáèå [65]. Âñå òåîðåòè÷åñêèåñâåäåíèÿ, ôîðìàëüíî íåîáõîäèìûå äëÿ ðåøåíèÿ çàäà÷,êðàòêîçàäà÷èçëàãàþòñÿìîæíî,ââäàííîìñëó÷àåïîñîáèè.íåîáõîäèìîñòè,Ïðèðåøåíèèïîëüçîâàòüñÿóêàçàííîé ëèòåðàòóðîé êàê âñïîìîãàòåëüíûì ñðåäñòâîì,íî òîëüêî åñëè çàäà÷à óïîðíî íå ïîääàåòñÿ ðåøåíèþ, èëèäëÿ ñàìîêîíòðîëÿ - ïîñëå ïîëó÷åíèÿ ðåøåíèÿ. Ñàìàÿâàæíàÿ ÷àñòü ðàáîòû ñîñòîèò èìåííî â ïîïûòêàõ íàéòèñàìîñòîÿòåëüíîåðåøåíèåâñåõïðåäëàãàåìûõçàäà÷.Ðåøàòü èõ íàäî ïîñëåäîâàòåëüíî, èñïîëüçóÿ ïîìåùåííûåïîäñêàçêè.Ïîñëåðåøåíèÿâñåãîñïèñêàçàäà÷ìîæíîñäàâàòü ýêçàìåí ïî äèñöèïëèíå êâàíòîâàÿ èíôîðìàòèêàíà êàôåäðå è íà÷èíàòü íàó÷íûå èññëåäîâàíèÿ â äàííîéîáëàñòè.2Îãëàâëåíèå1Êâàíòîâûå ïðîöåññû1.1Îñíîâíûå4ïîëîæåíèÿîäíî÷àñòè÷íîéêâàíòîâîé ìåõàíèêè .

. . . . . . . . . . . . .1.21.1.1Êóáèòîâûé ôîðìàëèçì1.1.2Òåíçîðíûå ïðîèçâåäåíèÿ. . . . . . . .19Óíèòàðíàÿ äèíàìèêà è èçìåðåíèÿ . . . . . .22Àáñòðàêòíàÿìîäåëüêâàíòîâîãîêîìïüþòåðà . . . . . . . . . . . . . . .226Ðîëü çàïóòàííîñòè . . . . . . . . . . . . . . .291.3.133Ìîäåëèðîâàíèå êâàíòîâûõ ñèñòåì . .Çàäà÷è2.112.

. . . . . .1.2.11.35Ôèçè÷åñêèåêîìïüþòåðîâ38ðåàëèçàöèèêâàíòîâûõ. . . . . . . . . . . . . . . . . .Ëèòåðàòóðà56593Ãëàâà 1Êâàíòîâûå ïðîöåññûÂäàííîìôèçèêèðàçäåëåñêóáèòîâîéçíàêîìûéñïåðåïèñàòüëþáóþâîïèñûâàåòñÿîñíîâàìèëèòåðàòóðåîáîçíà÷åíèÿòî÷êèïîèçååçðåíèÿ,òàêêâàíòîâîé÷àñòüôèçèêåòåîðèèôîðìàëèçìíàôóíêöèþ çàïèñûâàþò êàêñòóäåíò,ñìîæåòÿçûêå.Îáû÷íîèñïîëüçóåòñÿΨ(x),÷òîòåîðèè,ýòîìôóíêöèé,êâàíòîâîéòðàäèöèîííûåíàïðèìåð,âîëíîâóþ÷òî âûçûâàåò êîëëèçèþñî çíà÷åíèåì âîëíîâîé ôóíêöèè â êîíêðåòíîé òî÷êåx,èïîòîìó äëÿ íåãî èñïîëüçóåòñÿ èíòåãðàëüíîå ïðåäñòàâëåíèåRΨ(y)δx (y) dy .Ýòè òðàäèöèîííûå îáîçíà÷åíèÿ óäîáíûäëÿ ðó÷íûõ âû÷èñëåíèé, ïðè êîòîðûõ ðàçðåøåíèå òàêèõêîëëèçèéíåñîçäàåòïðîáëåìûäëÿ÷åëîâåêà.Îäíàêîäëÿ êîìïüþòåðíîãî ìîäåëèðîâàíèÿ íåîáõîäèìà áîëüøàÿñòåïåíü ôîðìàëèçàöèè îñíîâíûõ ïîíÿòèé.

Áîëåå òîãî,ôîðìàëèçì äîëæåí áûòü ïðèñïîñîáëåí ê òîìó, ÷òî ìûáóäåì ðàáîòàòü òîëüêî ñ êîíå÷íûìè ÷èñëàìè äàæå åñëèâèñïîëüçóåìûõíàìèôîðìóëàõìîæíîïîäñòàâëÿòüáåñêîíå÷íûå âåëè÷èíû. Îñîáåííî ýòî êàñàåòñÿ êâàíòîâîéýëåêòðîäèíàìèêè,äëÿêîòîðîéçäåñüïðåäëàãàåòñÿôîðìàëüíàÿ ñèñòåìà îáîçíà÷åíèé êóáèòîâîãî òèïà.41.1Îñíîâíûåïîëîæåíèÿîäíî÷àñòè÷íîéêâàíòîâîéìåõàíèêèÃëàâíûé ïîñòóëàò êâàíòîâîé ìåõàíèêè ñîñòîèò â òîì, ÷òîâñÿ äèíàìèêà ëþáîé ñèñòåìû îïðåäåëÿåòñÿ åå âîëíîâîéôóíêöèåé, êîòîðàÿ ÿâëÿåòñÿ êîìïëåêñíîé ôóíêöèåé îòêîîðäèíàò âñå ÷àñòèö, ñîñòàâëÿþùèõ ýòó ñèñòåìó:Ψ(t, r1 , r2 , .

. . , rn ).Çäåñürjjåñòü êîîðäèíàòû ÷àñòèöû(èìåþòñÿ â âèäó íåòîëüêî ïðîñòðàíñòâåííûå êîîðäèíàòû ÷àñòèö, íî è èõñïèíîâûå êîîðäèíàòû). Ýòà âîëíîâàÿ ôóíêöèÿ äîëæíàðàññìàòðèâàòüñÿ êàê âåêòîð â ãèëüáåðòîâîì ïðîñòðàíñòâånñîñòîÿíèéôóíêöèè÷àñòè÷íîéíàçûâàþòñÿñèñòåìû.àìïëèòóäàìè,Çíà÷åíèÿýòîéñîîòâåòñòâóþùèìèt â òàêîìj = 1, 2, . . . , nïðåáûâàíèþ ÷àñòèöû â äàííûé ìîìåíò âðåìåíèñîñòîÿíèè,÷àñòèöàïðèjêîòîðîìèìååòäëÿêàæäîãîêîîðäèíàòûrj .Òàêàÿòðàêòîâêàñîñòîÿíèÿ â âèäå âåêòîðà ñðàçó âåäåò ê íåòðèâèàëüíîìóñëåäñòâèþ: ëþáàÿ ëèíåéíàÿ êîìáèíàöèÿ ñîñòîÿíèé ñíîâàÿâëÿåòñÿ íåêîòîðûì âîçìîæíûì ôèçè÷åñêèì ñîñòîÿíèåìäàííîé ñèñòåìû. Òàêèì îáðàçîì, ìíîæåñòâî ñîñòîÿíèéîáëàäàåò ñâîéñòâîì ëèíåéíîñòè, è ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ëþáîåóðàâíåíèå,êîòîðîìóïîä÷èíÿåòñÿâåêòîðΨ,äîëæíîáûòü ëèíåéíûì. Ýòîò ïðèíöèï íàçûâàåòñÿ ïðèíöèïîìñóïåðïîçèöèè, è èç íåãî âûòåêàåò ñóùåñòâîâàíèå îñîáîãîïðîöåññà,êîòîðûéíàçûâàåìîãîíåèìååòèíòåðôåðåíöèåéïðÿìîãîàíàëîãàâàìïëèòóä,êëàññè÷åñêîéôèçèêå (íå ñ÷èòàÿ âîëíîâóþ ôèçèêó, ãäå èíòåðôåðåíöèÿïðîÿâëÿåòñÿêàêêîëëåêòèâíûéýôôåêò,ê÷åìóìûâåðíåìñÿ).Èíòåðôåðåíöèþàìïëèòóä5ïðîùåâñåãîïðîäåìîíñòðèðîâàòü,ïðèìåíÿÿìàòðèöû.Ïðåäñòàâèìñåáå, ÷òî ìû âûáðàëè áàçèñ â ãèëüáåðòîâîì ïðîñòðàíñòâåñîñòîÿíèé, è ïðåäñòàâëÿåì âñÿêèé âåêòîðΨ â âèäå íåêîåãîñòîëáöà êîîðäèíàò ýòîãî âåêòîðà â äàííîì áàçèñå.

Òîãäàèçïðèíöèïàñóïåðïîçèöèèâûòåêàåò,÷òîñîñòîÿíèåât + δt ìîæíî íàéòè, ïðèìåíèâê ñîñòîÿíèþ â ìîìåíò âðåìåíè t íåêèé ëèíåéíûé îïåðàòîðU , íàçûâàåìûé îïåðàòîðîì óíèòàðíîé ýâîëþöèè (äàëüøåñëåäóþùèé ìîìåíò âðåìåíèìû óâèäèì, ÷òî îí äîëæåí áûòü íå òîëüêî ëèíåéíûì,íî è óíèòàðíûì). Ýòîò ôàêò ìîæíî âûðàçèòü íà ÿçûêåìàòðè÷íîãî óìíîæåíèÿ òàê:u1,1u2,1...un,1u1,2u2,2...un,2............u1,nu2,n...un,n!ψ1 (t)ψ2 (t)...ψn (t)!ψ1 (t + δt)ψ2 (t + δt)...ψn (t + δt)=!(1.1)Òî åñòü ëþáàÿ àìëèòóäàψj (t + δt)ôîðìóëåψj (t + δt) =nXìîæåò áûòü íàéäåíà ïîψi (t)uj,i .(1.2)i=1Ôîðìóëà (1.2) îçíà÷àåò, ÷òî äëÿ íàõîæäåíèÿ àìïëèòóäûâ íåêîòîðîé òî÷êå â ñëåäóþùèé ìîìåíò âðåìåíè íàäîïðîñóììèðîâàòüïðåäûäóùèéâñåàìïëèòóäûìîìåíò,âîïðåäâàðèòåëüíîâñåõòî÷êàõóìíîæèâèõâíàñîîòâåòñòâóþùèå àìïëèòóäû ïåðåõîäà èç ýòèõ òî÷åê âèñõîäíóþ.

Çíà÷èò, äâèæåíèå êâàíòîâîé ÷àñòèöû ìîæíîïðåäñòàâëÿòüñåáåàìïëèòóäàëþáîéêîòîðûåââíîñÿòâêàêäâèæåíèåòî÷êåýòóíåêîåéñêëàäûâàåòñÿòî÷êóäâèæåíèÿñðåäû,ãäåèçâêëàäîâ,ýòîé÷àñòèöûèç âñåõ äðóãèõ òî÷åê. Ïðè ýòîì êàæäûé âêëàä áåðåòñÿñêîìïëåêñíûìâåñîì,ñîîòâåòñòâóþùèìîïèñàííîìóïåðåõîäó èç òî÷êè â òî÷êó. Ýòî ïðåäñòàâëåíèå êâàíòîâîé÷àñòèöû â âèäå ñðåäû ïîðîæäàåò àíàëîãèþ êâàíòîâîéôèçèêè ñ ãèäðîäèíàìèêîé.6À òåïåðü ðàññìîòðèì äâà ïîñëåäîâàòåëüíûõ ïåðåõîäà,êîòîðûå îñóùåñòâëÿþòñÿ ñ ïîìîùüþ òîãî æå îïåðàòîðàýâîëþöèèU:t äî ìîìåíòà t + 2δt. Òîãäà ó2Ψ(t + 2δt) =PU Ψ(t).

Âûïèñàâ ïîäðîáíåå,ψj (t + 2δt) = i,k ψi (t)ui,k uk,j . Ýòî îçíà÷àåò,îò ìîìåíòàíàñ ïîëó÷èòñÿ:ìû ïîëó÷èì÷òî êâàíòîâàÿ ÷àñòèöà ìîæåò äâèãàòüñÿ, âîîáùå ãîâîðÿ,âäîëü ïðîèçâîëüíîé òðàåêòîðèè, à íå òîëüêî ïî ïðÿìîé, èåå àìïëèòóäà â ëþáîé òî÷êå åñòü ðåçóëüòàò ñóììèðîâàíèÿàìïëèòóäâïîäàííóþ.âñåìÏðèïóòÿì,ýòîìâåäóùèìâêëàäâèçñóììóêàæäîéòî÷êèêàæäîãîïóòèU,ïîëó÷àåòñÿ óìíîæåíèåì ýëåìåíòîâ ìàòðèöû ýâîëþöèèñîîòâåòñòâóþùèõ âñåì ïîñëåäîâàòåëüíûì ÷àñòÿì ýòîãîïóòè (ìû ïðåäñòàâëÿåì ïóòü â âèäå ëîìàíîé è ÷àñòè- ýòî åå çâåíüÿ).

Òàêèì îáðàçîì, àìïëèòóäà ñ÷èòàåòñÿêàêýòîñóììà-ïîâñåìïðîèçâåäåíèåïóòÿì,ààìïëèòóäâäîëüêàæäîãîïåðåõîäîâïîïóòèâñåìåãîïîñëåäîâàòåëüíûì ÷àñòÿì.Ýòîïðàâèëîñïðàâåäëèâîâåçäå,âòîì÷èñëåèâêâàíòîâîé ýëåêòðîäèíàìèêå ãäå ïðîöåññû îïèñûâàþòñÿäèàãðàììàìè.äëÿïîëíîéÎíîâòî÷íîñòèâåðîÿòíîñòèâåðîÿòíîñòåé,ñòîéñîîòâåòñòâóåòñëîæíîãîëèøüôîðìóëåñîáûòèÿðàçíèöåé,÷òîâòåîðèèâòåîðèèâåðîÿòíîñòè âåëè÷èíû âåùåñòâåííûå è íåîòðèöàòåëüíûå,à ó íàñ çäåñü - êîìïëåêñíûå.

Òàêàÿ àíàëîãèÿ íàâîäèòíà ìûñëü î âîçìîæíîñòè ñòàòèñòè÷åñêîé èíòåðïðåòàöèèêâàíòîâîé òåîðèè, à òàêæå íà âîçìîæíîñòü îòêàçà îòêîìïëåêñíûõ ÷èñåë ïðè åå îïèñàíèè, - ìû òàêæå âåðíåìñÿê ýòèì èäåÿì ïîçæå.Êëàññè÷åñêèìñîîòâåòñòâóþòâåëè÷èíàìîïåðàòîðû.âêâàíòîâîéÂåëè÷èíåòåîðèèêîîðäèíàòûxñîîòâåòñòâóåò îïåðàòîð óìíîæåíèÿ íà ýòó êîîðäèíàòó:x : f (x) −→ xf (x), âåêòîðó r̄ = (x, y, z) - îïåðàòîðr̄ : f (x, y, z) −→ (xf (x, y, z), yf (x, y, z), zf (x, y, z)),èìïóëüñó px âäîëü êîîðäèíàòíîé îñè x - îïåðàòîð7∂px = hi ∂x, ïîëíîìó èìïóëüñó p̄ - îïåðàòîðp2∂∂∂p̄ = hi ( ∂x, ∂y, ∂z), ýíåðãèè - îïåðàòîð ýíåðãèè 2m+ V (x),ãäå V - ïîòåíöèàëüíàÿ ýíåðãèÿ ÷àñòèöû. Îïåðàòîð ýíåðãèèèìïóëüñàíàçûâàåòñÿ ãàìèëüòîíèàíîì.

Ïðè ýòîì ìû ïðèíèìàåìîáû÷íûåïðàâèëàïåðåõîäàêîïåðàòîðêâàäðàòà2äåéñòâóåò êàê |r| : f (x, y, z) −→âåêòîðûìâåëè÷èíàì,ìîäóëÿ22êîîðäèíàòûz 2 )f (x, y, z),2íàïðèìåð(x + y +p2 : f −→ −h ∆fîïåðàòîð êâàäðàòà èìïóëüñà - êàê(òîåñòüêâàäðàòòðàêòóåòñÿr̄ × p̄êâàäðàò), ìîìåíòó èìïóëüñàêîîðäèíàòûêîòîðîãîíàìèïîëó÷àþòñÿêàêñêàëÿðíûé- îïåðàòîð ìîìåíòà,ïîïðàâèëóâçÿòèÿâåêòîðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ èç êîîðäèíàò åãî ñîìíîæèòåëåé- îïåðàòîðîâ, è ò.ä.ÏðåîáðàçîâàíèåíàçûâàåòñÿÔóðüåîòèìïóëüñíûìâîëíîâîéôóíêöèèïðåäñòàâëåíèåìâîëíîâîéôóíêöèè:Ze−Φ(p) =ipxhΨ(x)dx,(1.3)Rãäå îáðàòíûé îïåðàòîð âûãëÿäèò òàê:1Φ(x) =2πhZeipxhΦ(p)dp.RÏîëíûé ïåðåõîä ê èìïóëüñíîìó ïðåäñòàâëåíèþ è îáðàòíîâ òðåõìåðíîì ïðîñòðàíñòâå èìååò âèäΦ(p)=e−Rip·RhΨ(R)d3 R,R3Ψ(R) =Ïðèýòîìïåðåìåííûõ,åñëèîòäðóãèõ,ïîReip·Rhôóíêöèÿïåðåõîäèòüêàæäîéíàïðèìåð,èçìîæíî8Φ(p)d3 p,R3âîëíîâàÿìîæíîïðåäñòàâëåíèþ1(2πh)3êçàâèñèòååêîîðäèíàòîò3èìïóëüñíîìóíåçàâèñèìîîðàññìîòðåòüôóíêöèþâèäàΦ(x, py , z),èëèΦ(px , y, pz ),èò.ä.Ïîä÷åðêíåì,÷òî âîëíîâàÿ ôóíêöèÿ íå ìåíÿåòñÿ ïðè ïåðåõîäå ê ååèìïóëüñíîìó ïðåäñòàâëåíèþ - îíà ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé òîòæå ñàìûé âåêòîð â ãèëüáåðòîâîì ïðîñòðàíñòâå ñîñòîÿíèé.Èìïóëüñíîåïðåäñòàâëåíèååñòüïðîñòîçàïèñüýòîãîâåêòîðà â äðóãîì áàçèñå, â êîòîðîì áàçèñíûå âåêòîðû - ýòîíå äåëüòà ôóíêöèè, êàê ïðè êîîðäèíàòíîì ïðåäñòàâëåíèè,à ôóíêöèè âèäàexp(ipR).Ìû ìîãëè áû âûáðàòü êàêîé-ëèáî èíîé áàçèñ, íàïðèìåð, ñîîòâåòñòâóþùèé ñîáñòâåííûìâåêòîðàì ýðìèòîâà îïåðàòîðà ñóììûêîîðäèíàòà,èçàâåñòèR+pñîîòâåòñòâóþùååèìïóëüñ ïëþñïðåäñòàâëåíèåâîëíîâûõ ôóíêöèé, åñëè ýòî íåîáõîäèìî.