TM-15 (Лекции)

15-Устойчивость положений равновесия. Малые колебания-1Лекция 15-1Положения равновесия натуральных Лагранжевых систем.Определение. Лагранжева система называется натуральной, если L = T − V , где кинетическая1∑ aij (q)q&i q& j - положительно определенная квадратичная форма (относительно скоро2стей), и потенциальная энергия V = V (q ) не зависит от времени.энергия T =Задача.

Покажите, что, если на систему материальных точек наложены идеальные связи независящие от времени и силы потенциальны и тоже не зависят от времени, то такая система являетсянатуральной Лагранжевой. Отсюда и происходит термин – “натуральные системы”.Определение. Точка q 0 называется положением равновесия, если кривая q (t ) = q 0 ≡ constявляется решением уравнений движения (уравнений Лагранжа).Замечание. В фазовом пространстве положение равновесия – это точка (q.q& ) = (q 0 ,0) .Предложение. Пусть V (q ) гладкая функция.

Тогда q 0 - положение равновесия тогда и только тогда, когда q 0 критическая точка потенциальной энергии:Доказательство. Посколькуновесия имеют вид −∂L∂T=∂q& q& = 0 ∂q&∂V 0(q ) = 0 .∂q≡ 0 , то уравнения Лагранжа для положения равq& = 0∂L∂T ∂V=−+= 0 . При q& = 0 первый член тождественно равен нулю. Дока∂q∂q ∂qзательство завершено.Определение. Положения равновесия q 0 называется устойчивым по Ляпунову, если для любой окрестности U точки (q, q& ) = (q 0 ,0) в фазовом пространстве существует окрестность W той жеточки, такая, что любое решение с начальными условиями в W существует и лежит в U при всехt ≥0.Теорема. (Лагранж-Дирихле).

Пусть q 0 - точка изолированного минимума потенциальнойэнергии. Тогда соответствующее положение равновесия устойчиво по Ляпунову.(q, q& ) < εДоказательство. Доказывать будем в терминах ε - δ . Не нарушая общности можно считать,что V (q 0 ) = 0 . Также можно считать, что q 0 = 0 - это достигается заменой координат q → q − q 0 .Возьмем любую окрестность точки (0,0) фазового пространства. Поскольку кинетическая энергия –положительно определена по скоростям, то точка фазового пространства (0,0) - это точка изолированного минимума полной энергии системы E = T (q, q& ) + V (q) . Значит для некоторого ε > 0 най-дется окрестность нуля Oε = { ( q, q& ) < ε } ⊂ W такая, что E (0,0) = 0 и E (q, q& ) > 0 при ( q, q& ) < ε , и(q, q& ) ≠ 0 . Возьмемε2вместо ε .

Тогда и граница Oε тоже будет лежать в W , т.е.Γε = { (q, q& ) = ε } ⊂ W и на ней всюду будет E > 0 . Значит и hε = min E > 0 . Функция E непреΓεрывна в нуле и E (0,0) = 0 . Поэтому найдется такое δ > 0 , δ < ε , что в окрестности нуляOδ ⊂ Oε ⊂ W полная энергия будет меньше, чем hε . Вспомним, что полная энергия является первым интегралом движения, т.е. на траектории движения выполняется E (q (t ), q& (t )) = const .

Поэтомудвижение начавшееся в Oδ будет все время иметь полную энергию меньшую, чем hε , и, значит, непересечет границы Γε , т.е. все время будет оставаться в Oε и, значит и в W . Решение будет существовать при всех t > 0 . Это следует из теоремы о неограниченной продолжаемости решения если егофазовая кривая не выходит на границу компакта (замыкания Oδ ).Доказательство завершено.15-Устойчивость положений равновесия. Малые колебания-2Для натуральной системы L = L2 + L0 , где Li - члены являющиеся i -формами относительноскоростей.

Рассмотрим более общий случай, когда L = L2 + L1 + L0 , т.е. когда Лагранжиан содержитчлены линейные по скоростям. Такое бывает, например, когда связи зависят от времени.Линейные по скоростям слагаемые в Лагранжиане переходят в уравнениях движения в гироскопические силы.Напомним, что, если Лагранжиан не зависит явно от времени, то существует обобщенный интеграл энергии (интеграл Якоби)∂Lq& − L = L2 − L0 .∂q&Задача.

Показать, что сформулированные выше предложение и теорема остаются вернымидля Лагранжианов вида L = L2 + L1 + L0 . При этом надо считать V = − L0 .Вопросы к материалу Лекция 15-1.• Положения равновесия натуральных Лагранжевых систем.• Устойчивость положения равновесия по Ляпунову .• Теорема Лагранжа-Дирихле.• Обобщение теоремы Лагранжа-Дирихле для систем с гироскопическими силами.Лекция 15-2Линеаризация уравнений Лагранжа около положения равновесия.Вспомним, что такое линеаризация обыкновенных дифференциальных уравнений в окрестности особой точки.

(Рассказать!!!)Пусть q 0 - положение равновесия Лагранжевой системы с лагранжианом вида L2 + L1 + L0 .Разложим Лагранжиан в ряд Тейлора в точке (q, q& ) = (q 0 ,0) и оставим не более чем квадратичныечлены. Выпишем для этого “усеченного” Лагранжиана уравнения Лагранжа. Это соответствует тому,&& членами в полных уравнениях Лагранжа, т.е. личто мы пренебрегаем нелинейными по q − q 0 , q& , qнеаризуем их в положении равновесия.Задача (шутка). Нарисовать коммутативную диаграмму процесса линеаризации уравненийЛанранжа.Рассмотрим линеаризацию более подробно.

Для удобства считаем, что q 0 = 0 (иначе делаем~ = q − q 0 ). Кроме того, можно считать, что L (0) = 0 (т.к. сдвиг Лагранжиана на константузамену q0не изменяет уравнений движения).L=1∑ aij (q)q&i q& j + ∑ bi (q)q&i − V (q) =21∑ aij (0)q&i q& j + ∑ bi (0)q&i + ∑ βij q&i q j −2∂V1∂ 2V− V (0) − ∑(0)qi − ∑(0)qi q j +∂qi2 ∂qi ∂q j+ члены третьего и выше порядка по (q, q& ) .∂bЗдесь обозначено β ij = i (0) . В полученом ряду V слагаемое – тождественно равно нулю, IV и II –∂q j=не влияют на уравнения движения.

Третьим и выше порядком пренебрегаем. Рассмотрим три матрицы∂ 2VA = aij (0) , B =(0) , C = β ij∂qi ∂q jТогда квадратичная часть Лагранжиана имеет вид15-Устойчивость положений равновесия. Малые колебания-311L€ = < Aq& , q& > + < Cq, q& > − < Bq, q >22Соответствующие уравнения Лагранжа называются уравнениями, линеаризованными около положения равновесия q 0 .Aq&& + Ωq& + Bq = 0где Ω = C − C T - кососимметрическая матрица. Напомним, что A - положительно определеннаяматрица. Матрицы A и B симметричны.Из общей теории систем обыкновенных линейных дифференциальных уравнений мы знаем,что общее решение есть линейная комбинация (с полиномиальными по времени коэффициентами)функций вида q = ue λt , где det( Aλ2 + Ωλ + B ) = 0 , ( Aλ2 + Ωλ + B )u = 0 . Если же все корни λ характеристического уравнения простые, то коэффициенты постоянны.Положение равновесия q 0 называется невырожденным, если критическая точка q 0 потенци- ∂ 2Vальной энергии невырождена, т.е.

det B = det(q 0 )  ≠ 0 . Заметим, что если выполнены усло ∂q ∂q i jвия теоремы Лагранжа-Дирихле и положение равновесия невырождено, то матрица B положительноопределена.Верно следующее.Утверждение. Пусть система натуральная ( Ω = 0 ), положение равновесия невырождено ипотенциальная энергия в нем имеет изолированный минимум ( B - положительно определенная матрица). Тогда все корни характеристического уравнения det( Aλ2 + B ) = 0 чисто мнимые и общее решение линеаризованных уравнений ЛагранжаAq&& + Bq = 0(*)квазипериодично, т.е.

имеет видmq (t ) = ∑ c′j u j cos(ω j t ) + c′j′u j sin(ω j t ) , det( Aω 2j + B) = 0 , ( Aω 2j + B)u j = 0j =1Доказательство. Дается в общей теории линейных ОДУ. Напомним идею. Матрица А, какположительно определенная, выбирается в качестве матрицы Грамма скалярного произведения. Поскольку матрица B симметрична, то все ее собственные значения вещественны. Приводим матрицуB к диагональному виду в ортонормированном базисе.

В этой системе координат A станет единичной матрицей, B диагональной, причем на диагонали будут стоять положительные значения. Отсюдасразу все следует.В условиях утверждения положение равновесия устойчиво по Ляпунову и движение начавшись вблизи него будет совершать движения около него же.

Уравнения (*) описывают движение впервом приближении называются уравнениями малых колебаний.Утверждение.Характеристическийf (λ ) = det( Aλ + Ωλ + B) - четный.полиномлинеаризованныхуравнений2Доказательство. Поскольку ΩT = −Ω , тоf (λ ) = det( Aλ2 + Ωλ + B ) = det( Aλ2 + Ωλ + B)T =det( Aλ2 − Ωλ + B ) = f (−λ )Доказательство закончено.Следствие. Если λ - корень характеристического уравнения, то − λ тоже его корень.

Корнивстречаются парами. Поскольку характеристический многочлен вещественный, то комплексно сопряженное значение λ - тоже корень. Итак корни встречаются парами (чисто мнимые или чисто вещественные) или четверками15-Устойчивость положений равновесия. Малые колебания-4Вещественные корни встречаются парами a и − a .Чисто мнимые корни встречаются парами bi и − bi .Комплексные корни встречаются четверками a + bi , a − bi , − a − bi , − a + bi .Теорема. (Ляпунов) (О неустойчивости по первому приближению) Пусть хотя бы один изкорней λ характеристического уравнения имеет положительную вещественную часть. Тогда положение равновесия исходной (т.е., нелинеаризованной) системы неустойчиво.Доказательство.

Без доказательства. Его можно найти, например, в Лекциях по теории устойчивости движения Н.Г. Четаева, или в аналогичных лекциях Б.П. Демидовича.Следствие. Положение равновесия натуральной Лагранжевой системы с гироскопическимисилами ( L = L2 + L1 + L0 ) может быть устойчивым только тогда, когда все корни характеристического уравнения (линеаризованной системы) чисто мнимые (или нулевые).Гироскопическая стабилизация.Если положение равновесия Лагранжевой системы неустойчиво, то иногда его можно сделать устойчивым, если в системе добавить гироскопические силы. Т.е.

к Лагранжиану системы добавить некий член линейный по скоростям. Такой процесс (если он возможен) называется гироскопической стабилизацией положения равновесия.Определение. Степенью неустойчивости положения равновесия называется количество корней характеристического уравнения, имеющих положительную вещественную часть.Утверждение. Невырожденное (т.е. det B ≠ 0 ) положение равновесия натуральной механической системы, степень неустойчивости которого нечетная не может быть стабилизировано путемдобавления гироскопических сил.Доказательство. Т.к. A - положительно определенная, то det A > 0 .

Поэтому f (+∞) = +∞ .Поскольку комплексные корни встречаются парами (или четверками), то характеристический полином исходной натуральной системы f (λ ) = det( Aλ2 + B ) имеет нечетное число вещественных корней с положительной вещественной частью.Т.к. f (+∞) = +∞ и f (0) = det B ≠ 0 , то f (0) < 0 .Добавим в систему гироскопические силы. Для нового характеристического полиномаg (λ ) = det( Aλ2 + Ωλ + B) по-прежнему g (+∞) = +∞ и g (0) = det B < 0 . Следовательно g (λ ) имеет положительный вещественный корень, и, по теореме Ляпунова, положение равновесия остаетсянеустойчивым. Доказательство завершено.Покажем (на примере), что неустойчивое положение равновесия четной степени неустойчивости может быть стабилизировано путем добавления гироскопических сил.Пример.