TM-14 (Лекции)

14-Вариационные принципы-1Лекция 14-1Принцип Гамильтона.Пусть L(q, q& , t ) - гладкая функция и q 0 (t ) , t ∈ [t1 , t 2 ] - гладкая кривая.Определение. Вариацией пути q 0 (t ) назовем гладкое семейство кривых q* (t , ε ) , t ∈ [t1 , t 2 ] ,ε ∈ [−ε 0 , ε 0 ] (т.е. ε нумерует кривые, t - параметр на кривой) такое, чтоа) q* (t ,0) = q 0 (t ) ,б) q* (t1 , ε ) = q 0 (t1 ) ,концов.q* (t2 , ε ) = q 0 (t2 ) - это условие называется условием закрепленностиПусть q (t ) , t ∈ [t1 , t 2 ] - гладкая кривая.

Рассмотрим функционал действияS : q(t ) → S (q(t )) ∈ Rt2S (q(t )) = ∫ L(q(t ), q& (t ), t )dtt1Величина S (q (t )) называется действием вдоль пути q (t ) .Определение.Пустьq* (t , ε )-ε → S (q* (t , ε )) . Производная δS (q 0 , q* ) =вариацияddεпутиq 0 (t ) . Имеем гладкую функциюS (q* (t , ε )) вариацией функционала действия S наε =0пути q 0 относительно вариации пути q* .Определение. Путь q 0 (t ) называется экстремалью функционала S , если на любой вариациипути q 0 вариация функционала действия S равна нулю:δS (q 0 , q* ) = 0 , ∀q*Теорема.

(Принцип Гамильтона)Путь q 0 (t ) является экстремалью функционала действия S тогда и только тогда, когда q 0 (t )является решением уравнений Лагранжа (2-го рода) с лагранжианом L .Доказательство. В явном виде вариация функционала действия – следующая:t2t2 ∂L ∂q* ∂L ∂q&  ∂L ∂q ∂L d  ∂q  +dt=∫t  ∂q ∂ε ∂q& ∂ε  t∫  ∂q ∂ε* + ∂q& dt  ∂ε  dt =11t2t2 ∂L d ∂L  ∂q*∂L ∂q*dt +(*)= ∫ −&&qdtqq∂∂∂ε∂∂εt1t1В этих равенствах надо положить ε = 0 .( ⇐ )В силу условия закрепленности концов (условия б)) и уравнений Лагранжа выражение(*) равно нулю. Значит, необходимость доказана.( ⇒ ) Докажем достаточность.

Пусть (*) равна нулю для любой гладкой вариации пути q* .Второе слагаемое равно нулю в силу условия закрепленности концов (условия б)). Следовательно иt2 ∂Ld ∂L  ∂q*∫  ∂q − dt ∂q&  ∂εdt = 0(**)t1для любой гладкой вариации q* .Допустим, что q 0 не удовлетворяет уравнениям Лагранжа. Тогда на ней, в некоторой точкеt ′ ∈ (t1 , t 2 ) имеем14-Вариационные принципы-2∂L d ∂L−=u ≠0∂q dt ∂q& t = t ′Тогда на некотором непустом интервале (t ′ − σ , t ′ + σ ) ⊂ (t1 , t2 ) ( σ > 0 ) имеем для q 0∂L d ∂L−,u > 0∂q dt ∂q&Возьмем вариацию q* такую, что q* − q0 = εf (t )u , где f (t ) положительная функция на интервале(t ′ − σ , t ′ + σ ) , обращающаяся в нуль вне него.

Для этой вариации равенство (**) не выполняется.t2t2 ∂L d ∂L  ∂q*∂L d ∂L−dt=∫t  ∂q dt ∂q&  ∂ε∫t ∂q − dt ∂q& , u f (t )dt > 011Доказательство завершено.Задача. Проверьте, что принцип Гамильтона остается справедливым, если в качестве пространства кривых, на котором определен функционал действия, взять пространство кусочно-гладкихкривых.Принцип Мопертюи-Якоби.Пусть связи не зависят от времени и силы потенциальны. Тогда T = T2 , L = T − V .

Будемтакже считать, чтолагранжиан не зависит явно от времени: L = L(q, q& ) .T - положительно определенная квадратичная форма по скоростям. Следовательно,22Tdt = aij dqi dq j можно интерпретировать как Риманову метрику на конфигурационном про-∑странстве. Соответствующий элемент длины обозначим ds :ds 2 = 2Tdt 2Эта метрика называется кинетической метрикой.Рассмотрим теперь движения с одним и тем же фиксированным значением полной энергииT + V = h . Поскольку T ≥ 0 , то на этих движениях h −V ≥ 0 .

Это неравенство выделяет на конфигурационном пространстве Область Возможности Движения (ОВД).Пусть dρ - другая Риманова метрика на ОВД:dρ = h − V ds , dρ 2 = (h − V )ds 2Эта метрика называется метрикой Якоби. Обратим внимание на то, что dρ 2 вырождается в тех точках ОВД, где h −V = 0 , например, на границе ОВД.Замечание.

Если конфигурационное многообразие компактно, и энергия движения достаточновелика ( h > max V ), то ОВД совпадает со всем конфигурационным многообразием и Якобиева метрика нигде не вырождается. Это же имеет место и в некомпактном случае, если потенциальная энергия ограничена сверху на всем конфигурационном пространстве (например точка в Ньютоновом гравитационном поле).Выберем в ОВД любые две точки q′ и q′′ . Рассмотрим следующий функционал на пространстве гладких кривых γ , лежащих в ОВД и соединяющих эти точки.14-Вариационные принципы-3S (γ ) = ∫ dργЗначение функционала S (γ ) не зависит от параметризации кривой γ , т.к. оно равно длине этой кривой в метрике Якоби dρ .Определение.

Вариацией (или вариацией по Мопертюи-Якоби) кривой γ называется гладкоесемейство кривых γ * (ε ) таких, чтоа) γ * (0) = γб) ∀ε ∈ (−ε 0 , ε 0 ) кривая γ * (ε ) начинается в точке q′ и заканчивается в точке q′′ .в) Все кривые семейства лежат в ОВДОпределения вариации функционала S и экстремали – те же, что и раньше.Теорема.

(Принцип Мопертюи-Якоби). Траектории уравнений Лагранжа второго рода с энергией h являются экстремалями функционала S и наоборот, экстремали функционала S являютсятраекториями уравнений Лагранжа.Замечание. Обратите внимание, что термин “траектория” предполагает, что о параметризациикривой речь не идет. Если кривые параметризовать так, чтобы энергия равнялась h , то мы будемиметь решения уравнений Лагранжа.Следствие. Траектории уравнений Лагранжа с энергией h являются геодезическими метрикиЯкоби dρ 2 .Доказательство теоремы. Пусть γ 0 траектория уравнений Лагранжа с энергией h .

Тогда(из принципа Гамильтона) при надлежащей параметризации (т.е., при параметризации временем)t2γ 0 = {q 0 (t )} , где q 0 - экстремаль функционала действия S (q(t )) = ∫ L(q(t ), q& (t ), t )dt , а также иt1функционалаt2t2S (q(t )) + (t2 − t1 )h = ∫ ( L + h)dt = ∫ (T − V + h)dt =t1t1t2t2t1t1= ∫ ( T − h − V ) 2 dt + 2 ∫ h − V T dt(*)Второе слагаемое равно 2 S (γ ) , где γ - траектория, соответствующая q (t ) .Воспользуемся следующей леммой.Лемма. Любой путь q (t ) , на котором энергия равна (тождественно) h , является экстремальюфункционалаt2S0 (q(t )) = ∫ ( T − h − V ) 2 (q, q& )dtt1Лемму докажем позже.Из леммы следует прямое утверждение теоремы. Действительно, q 0 - экстремаль S в смыслевариаций из принципа Гамильтона, т. к.

2 S = S + (t 2 − t1 )h − S0 и все три слагаемых имеют q 0 экстремалью. Вариаций по Мопертюи-Якоби больше, т.к. не фиксированы начальный и конечный моменты времени. Однако, S не зависит от параметризации, а любую вариацию по Мопертюи-Якобиможно параметризовать так, чтобы начальная точка проходилась в момент t1 , а конечная – в моментt2 .Докажем обратное утверждение теоремы.

Пусть γ 0 - экстремаль S . Параметризуем ее так,чтобы энергия тождественно равнялась h . Полученный путь обозначим q 0 (t ) . Пусть q ′ = q (t1 ) ,14-Вариационные принципы-4q ′′ = q (t 2 ) . Пусть q* (t , ε ) - вариация q 0 . Соответствующую вариацию по Мопертюи-Якоби обозна-чим γ * .Вариации функционалов S и S 0 равны нулю согласно экстремальности γ 0 и лемме. Остается воспользоваться формулой (*).Доказательство теоремы завершено.Докажем лемму. Для любой вариации q* имеемddεS0 (q* ) =ε =0t2∫ 2(t1(T − h −V )ddε( T − h − V )dt = 0ε =0так как T ≡ h − V . Доказательство леммы завершено.Замечания о вырождениях.

Если начальная и конечная точки совпадают (напр. положениеравновесия), то минимальную длину в метрике Якоби имеет вырожденная кривая. Если в этой точкеV ≠ h , то мы не можем параметризовать кривую так, чтобы достичь энергии h - следовательно,принцип неприменим. Если в этой точке V = h - то метрика Якоби вырождена, и принцип также неприменим.Вопросы к материалу Лекция 14-1.• Вариационные принципы.• Функционал действия и его вариация.• Принцип Гамильтона.• Принцип Мопертюи-Якоби.• Кинетическая метрика.• Область возможности движения.• Метрика Якоби.• Вариация по Гамильтону и по Мопертюи-Якоби.Лекция 14-2Вариационные принципы для периодических решений.Определение.

Периодическим решением уравнений Лагранжа называется решение q 0 (t ) такое, что для некоторого τ > 0 имеем q 0 (t + τ ) = q 0 (t ) при всех t .Определение. Вариацией q* (t , ε ) периодического решения q 0 (t ) называется гладкое семейство кривых такое, чтоа) q* (t ,0) = q 0 (t )б) q* (t + τ , ε ) = q* (t , ε )Задача. Доказать, что τ -периодическое решение уравнений Лагранжа с Лагранжианом Lявляется экстремалью функционала S и наоборот.Решение.

Указание – “игольчатая” вариация – периодична.(Решить!!!)Задача. Сформулировать и дать принцип Мопертюи для периодического решения.(Решить!!!)с-115Идея применения вариационных принципов на примере двойного маятника.Конфигурационное пространство двойного маятника – это двумерный тор T 2 .

Пусть силы,действующие на маятник, потенциальны с потенциальной энергией V . Поскольку конфигурацион-14-Вариационные принципы-5ное пространство компактно, то V достигает на нем своего максимума. Рассмотрим уровень энергииV . Тогда ОВД совпадает со всем конфигурационным пространством T 2 и метh больший чем max2Tрика Якоби dρ определена и невырождена всюду на T 2 .2Рассмотрим какой-нибудь гомотопический класс кривых на T 2 , т.е.

класс замкнутых кривых,которые переводятся друг в друга непрерывной деформацией.В вариационном исчислении доказывается (и это интуитивно – справедливо), что в любомгомотопическом классе имеется кривая минимальной в метрике dρ 2 длины. Для нетривиальногокласса – эта кривая невырождена (в точку). Согласно периодическому варианту принципа Мопертюиона – траектория уравнений Лагранжа. (Хотя требуются некоторые усилия, чтобы это строго проверить).

В частности, для любых целых n1 , n2 , n1n2 ≠ 0 существует периодическое решение энергииh , совершающее за период n1 оборотов первого звена маятника и n2 оборотов второго звена.Теорема Ли-Нётер.Рассмотрим Лагрнажеву систему с лагранжианом L(q, q& , t ) . Пусть v(q ) - некое векторноеdq = v(q) .dsПусть g s - его локальный фазовый поток, или оператор сдвига по траекториям. q 0 → q ( s ) = g s (q )поле на пространстве положений.