TM-13 (Лекции), страница 4

Обобщенные координаты h - высота, ϕ - полярный угол.Обозначим расстояние до оси симметрии r = r (h) . m - масса точки.mv 2. Выражаем через обобщенные координаты.2Заметим, что в цилиндрических координатах r , ϕ , h модуль скорости точки выражается следующим образом: v 2 = h& 2 + r& 2 + (rϕ& ) 2 . В самом деле,Кинетическая энергия T =x = r cos ϕ , y = r sin ϕ , z = hx& = r& cos ϕ − rϕ& sin ϕ , y& = r& sin ϕ + rϕ& cos ϕ , z& = hv 2 = x& 2 + y& 2 + z& 2 = h& 2 + r& 2 + (rϕ& ) 2В нашем случае r = r (h) . Поэтомуv 2 = h& 2 + r ′2 h& 2 + (rϕ& ) 2Внешние силы – поле сил тяжести. Значит,13-Уравнения Лагранжа 1-го и 2-го рода-16L=mv 2m− V = [(1 + r ′2 )h& 2 + r 2ϕ& 2 ] − mgh22Замечаем, что ϕ - циклическая переменная.

Находим циклический интеграл∂L= mr 2ϕ& = c∂ϕ&Это интеграл момента количества движения (кинетического момента). Выражаем скорость циклической переменной через все остальноеϕ& =cmr 2Строим функцию Раусаmcc[(1 + r ′2 )h& 2 + r 2 ( 2 ) 2 ] − mgh − c 2 =mrmr22mc= (1 + r ′2 )h& 2 − mgh −22mr 2R = L − cϕ& =Мы перешли к системе с одной степенью свободы. У нее есть первый интеграл – обобщенный интеграл энергииmc2= c0(1 + r ′2 )h& 2 + mgh +22mr 2(*)В исходной системе был интеграл энергииm[(1 + r ′ 2 )h& 2 + r 2ϕ& 2 ] − mgh = c02cПодставив сюда ϕ& =, получим (*). Значит обобщенный интеграл энергии в приведенной систеmr 2ме – равен полной энергии исходной системы.Следствие. Область возможности движения (ОВД) в приведенной системеc0 − mgh −c2≥02mr 2Видим, что в области со слишком малым r траектория не заходит (если c ≠ 0 ).Задача.

Нарисовать фазовый портрет приведенной системы (на плоскости (h, h&) .Решение. (Решить!!!)Преобразования лагранжиана, сохраняющие уравнения.Отметим, что исходный лагранжиан можно изменить так, что уравнения Лагранжа второгорода не изменятся. Такие преобразования называются калибровкой лагранжиана. Они помогают упростить лагранжиан. Приведем примеры таких преобразований.а) L → cL , c = const ≠ 0 - тривиальноб) L → L + c , c = const - тривиально∂f∂fq& +в) L → L + f& (q, t ) . В самом деле, f = f (q, t ) , f& =∂qЗамечаем теперь, чтоd ∂f& ∂f& d  ∂f  ∂ 2 f∂2 f=   − 2 q& +=0−∂t∂qdt ∂q& ∂q dt  ∂q  ∂qв) доказано.Явный вид уравнений Лагранжа.∂t13-Уравнения Лагранжа 1-го и 2-го рода-17Пусть связи стационарны и rk = rk (q ) .

Тогда T = T2 =∂T= ∑ aij q& j . Дифференцируя по t , получаем∂q&j∂ad ∂T= ∑ aij q&&j + ∑ ij q& j q&kdt ∂q&j , k ∂qkj1∑ a jl q& j q&l и a jl = alj , поэтому2Замечаем, что∂aij∑ ∂qj ,kq& j q&k =k1  ∂aij ∂aik+∑2 j , k  ∂qk ∂q jq& j q&kи∂T 1 ∂a jlq& j q&l= ∑∂qi 2 j ,l ∂qiВыписываем уравнения Лагранжа в явном виде∑ a q&&ijjj+1  ∂aij ∂aik ∂a jk+−∑2 j , k  ∂qk ∂q j ∂qiq& j q&k = Qi (*)siПусть a - матрица обратная к aij , так, что∑asiaij = δ js - символ КронекераiДомножив (*) на обратную матрицу, получимq&&s + Γjks q& j q&k = a siQi(**)∑∑j,kiГде величиныΓjks = ∂a∂a∂a1a si  ij + ik − jk∑ ∂q2 i k ∂q j ∂qiназываются символами Кристоффеля Римановой метрики (см.

Дифф. Геомктрию)(***)2Tdt 2 = ds 2 = a jk dq j dqk∑Если обобщенные силы отсутствуют: Q = 0 , то уравнения движения приобретают видq&&s + ∑ Γjks q& j q&k = 0j ,kт.е. движение происходит по геодезическим метрики ds . Иногда ее называют кинетической метрикой.Замечание. Мы заодно показали, что уравнения Лагранжа однозначно разрешаются относительно старших производных.Задача.

Показать, что Лагранжева производная – ковектор.(Обсудить!!!)Вопросы к материалу Лекция 13-5.• Первые интегралы уравнений Лагранжа второго рода.• Обобщенный интеграл энергии. Интеграл Якоби.• Циклические координаты и интегралы.• Теорема Рауса.• Преобразования лагранжиана, сохраняющие уравнения. Калибровка.• Явный вид уравнений Лагранжа.• Символы Кристоффеля. Кинетическая метрика. Геодезические.• Разрешимость уравнений Лагранжа относительно старших производных..