TM-12 (Лекции), страница 2

Во втором приближенииимеем смещение к Югу.Опыты Гука обнаружили это.Задача. Что было бы, если бы Земля вращалась в обратном направлении.Ответ. Подставим − Ω . Первый и третий члены не изменятся, второй поменяет знак. Значитотклонение к новому Востоку (старый Запад) и к новому Северу (старый Юг).Задача. Что будет в южном полушарии Земли.Ответ. То же самое (метод – подставить − Ω и перевернуть Землю).Маятник Фуко.Это маятник (сферический) на вращающейся Земле. Опять пишем уравнения (*). Но здесьсила F - это сила натяжения нити подвеса. F = −Tρ, где T - собственно величина натяжения.ρТ.к. ρ и r отличаются на постоянный вектор (сдвиг точки подвеса маятника), то уравнение (*) можно записать следующим образомρmρ&& = mg − 2m[ Ω, ρ& ] − TρЗамечание.

Домножим это уравнение на ρ& . Используем то, что < ρ , ρ >= const и< ρ , ρ& >= 0 . Интегрируя, получаем интеграл энергииmρ& 2+ mgz = h212-Силы инерции-7Однако этот факт нам пока не нужен.ρ = ( x, y, z ) , x - вдоль параллели, z - вдоль вертикали, y - перпендикулярноДлина нити постоянна и равна l , значитz = − l 2 − x2 − y2(***)Ω = (0, Ω cos ϕ , Ω sin ϕ ) . Уравнения движения в коорди-Разложим угловую скорость по этим осямнатах такие&x& = −2Ωz& cos ϕ + 2Ωy& sin ϕ −&y& = −2Ωx& sin ϕ −T xmlT yml&z& = − g + 2Ωx& cos ϕ −T zmlЛинеаризуем эти уравнения, считая, что колебания маятника небольшие, т.е., что x и y малы.

Из(***) получаем, что z = −l + O( x 2 + y 2 ) . Из последнего уравнения в нулевом приближенииT = g + O(первого порядка) . Дифференцируя (***) по t получаемz& =− xx& − yy&l 2 − x2 − y2т.е. z& имеет второй порядок малости. Итак, первые два уравнения после линеаризации дадутggx , &y& = −2Ωx& sin ϕ − yllНапомним, что члены (2Ωy& sin ϕ ,−2Ωx& sin ϕ ) - это гироскопические силы.Введем комплексную переменную w = x + iy . Тогда уравнения можно записать в комплекс-&x& = 2Ωy& sin ϕ −ном виде&& + 2Ωi sin ϕ w& +wgw=0lЭто линейное однородное дифференциальное уравнение. Как обычно, ищем решение в виде w = e λt .Подставив в уравнение и сократив на e λt , получим характеристическое уравнениеλ2 + 2Ωi sin ϕ λ +g=0lРешив, получимλ = −iΩ sin ϕ ± iω , где ω 2 =g+ Ω 2 sin ϕlРешение можно представить в видеw = exp(−iΩ sin ϕt )(C1 cos ωt + C 2 sin ωt )& (0) = 0 - отклонили и отпустили.

Тогда решение следующееПусть w(0) = w0 и wΩi sin ϕw = exp(−iΩ sin ϕt ) w0 (cos ωt +sin ωt )ωВ силу малости Ω , второе слагаемое мало – почти ноль. Следовательно колебания происходят почтив вертикальной плоскости, которая медленно(со скоростью Ω sin ϕ ) вращается вокруг вертикали.Вопросы к материалу Лекция 12-2.• Равновесие точки на поверхности Земли.

Вес.• Ускорение свободного падения. Местная вертикаль. Астрономическая широта.• Падение точки в пустоте (у поверхности Земли).• Маятник Фуко..