TM-12 (Лекции)

12-Силы инерции-1Лекция 12-1Силы инерции.Предположим, нам захотелось написать уравнения движения в подвижной, неинерциальнойсистеме отсчета. Ускорение, которое мы видим в этой системе – относительное. Будем действоватьтак:ma&абс = m(aотн + aпер + aкор ) = Fmaотн = F − maпер − maкор = F + Fпер + FкорFпер = − maпер - переносная сила инерции,Fпер = −maкор - кориолисова сила инерции.Применим эту конструкцию к ограниченной задаче трех тел.Ограниченная задача трех тел.Рассмотрим движение Солнца (S), Юпитера (J) и астероида (A).

Масса астероида m A мала посравнению с массами Солнца mS и Юпитера mJ . Силы притяжения к астероиду малы. Можно считать, что Солнце и Юпитер движутся как в задаче двух тел. Их движение известно. А астероид движется в поле сил создаваемых Юпитером и Солнцем. В этом и есть ограниченность постановки задачи.Уравнения движения в полном виде такие:mS &r&S =mJ &r&J =γ mS mJrS − rJ3γ mJ mSrJ − rS3(rJ − rS ) +(rS − rJ ) +γ mS m A3rS − rAγ mJ m ArJ − rA3(rA − rS )(rA − rJ )γ mAmSγ m A mJmA&r&A =(rS − rA ) +(rJ − rA )33rA − rSrA − rJУстремляем m A к нулю. Для Солнца и Юпитера получаем задачу двух тел (астероид не влияет наСолнце и Юпитер) – в первых двух уравнениях отбрасываем вторые слагаемые.

Третье уравнение невырождается – в нем mA просто сокращается.Плоская, ограниченная, круговая задача трех тел.Рассмотрим плоскую ограниченную круговую задачу трех тел.Ограниченная: m A → 0 - движение астероида не влияет на движение Солнца (S) и Юпитера(J).Плоская: движение всех трех тел происходит в фиксированной плоскости.Круговая: орбиты Солнца (S) и Юпитера (J) – окружности.Пусть O - центр масс пары тел - Солнца Юпитера. Пусть ω - угловая скорость вращения S и J поорбитам.

Тогда сила тяготения уравновешивает центробежную силуmS rSω 2 =γ mS mJ(rS + rJ )2, mJ rJ ω 2 =γ mJ mS(rJ + rJ ) 2Сократим на массы и сложим эти равенства. Тогда12-Силы инерции-2ω2 =γ (mS + mJ )(****)(rS + rJ )3Уравнения движения Астероида удобно писать в подвижной системе координат с центром вO (центр тяжести) и вращающейся с угловой скоростью ω . Тогда ось Ox можно направить по линии, соединяющей S и J . В этой системе координат они неподвижны.

Для определенности направим ее от Солца к Юпитеру. Пусть r - радиус-вектор Астероида в этой системе.mA&r& = Fгравит + Fперен + Fкориол ,Fперен = − mA (−ω 2 rA ) = mAω 2 rA , Fкориол = − mA 2[ω , r& ] = −2mA[ω , r& ]γ m γ mJ∂VmA , где V = − S −∂rrASrAJS = (−rS ,0) , J = (rJ ,0)В координатах, после сокращения на m A получим∂V∂V&x& = 2ωy& + ω 2 x −, &y& = −2ωx& + ω 2 y −∂x∂yFгравит = −Заметим, что переносная сила инерции оказалась потенциальной. Потенциал равен1− ω 2 (x2 + y2 ) .2Домножим первое уравнение на x& , а второе на y& , сложим и проинтегрируем.

Мы получаеминтеграл Якоби, который является аналогом интеграла энергииx& 2 y& 21++ Vω = h , Vω = − ω 2 ( x 2 + y 2 ) + V222Vω - приведенная (или эффективная) потенциальная энергия. Уравнения движения можно теперь записать так:&x& = 2ωy& −∂Vω∂V, &y& = −2ωx& − ω∂y∂x(*)Заметим, что кориолисова сила инерции не влияет на вид интеграла Якоби .

Силы такого типа называются гироскопическими.Относительные равновесия. Это движения имеющие вид ( x, y ) = const .Утверждения. Точка ( x, y ) является положением относительного равновесия тогда и толькотогда, когда она является критической точкой приведенного потенциала Vω (т.е. в этой точке∂Vω ∂Vω== 0 ).∂x∂yДоказательство. Сразу следует из уравнений движения (*).Поскольку1γ mSγ mJVω = − ω 2 ( x 2 + y 2 ) −−222( x + rS ) + y( x − rJ ) 2 + y 2то уравнения для относительного равновесия такие:ω 2x =ω2y =( x + rS )γ mS+(( x + rS ) 2 + y 2 )yγ mS3(( x + rS ) + y )322Имеем два случаяа) y = 0 Тогда ω 2 x =2+2( x − rJ )γ mJ(( x − rJ ) 2 + y 2 )yγ mJ3(( x − rJ ) 2 + y 2 )3γ mSx + rS ( x + rS )+22γ mJx − rJ ( x − rJ )12-Силы инерции-3График правой части выглядит следующим образом:В левой части стоит линейная возрастающая функция.

Значит имеется три решения ( L1 ,0) , ( L2 ,0) ,( L3 ,0)L1 < L2 < L3 . Это т.н. “коллинеарные точки либрации”. Их нашел Эйлер в 1765 г. Все онинеустойчивы в том смысле, что при малом отклонении начальных условий от этих точек траекторияможет уйти достаточно далеко.б) y ≠ 0 . Сократив второе уравнение на y , найдем ω 2ω2 =γ mS(( x + rS ) + y )223+2γ mJ(( x − rJ ) 2 + y 2 )3(**)2Подставим его в первое уравнение. Тогда в первом уравнении все члены пропорциональные x взаимно уничтожаются, и мы получаемrSγ mS3rJ γ mJ=3(***)(( x + rS ) + y )(( x − rJ ) + y )Центр тяжести J и S находится в начале координат.

Поэтому ms rs = mJ rJ . Значит знаменатели рав222222ны, т.е. ( x + rS ) 2 = ( x − rJ ) 2 . Отсюда получаем( x + rS ) = ( x − rJ ) , или ( x + rS ) = −( x − rJ )Первое уравнение rS = − rJ не имеет решений, т.к. rS > 0 , rJ > 0 . Из второго уравнения получаемr −rx= J S2Обозначим знаменатели в (**) через d 3 (в положении равновесия они равны):d = (( x + rS ) + y )2212= (( x − rJ ) + y )2212  rJ + rS  2= + y2  2 12Поэтому из (**) и из (****) получаемγ mSγ mJω211=3ddγ (ms + mJ ) d(rJ + rS )3Значит d = rJ + rS . Следовательно A , J , и S расположены в вершинах равностороннего треуголь-ω2 =3+3,=ника.

Это нашел Лагранж в 1772 г.Точки L4 и L5 устойчивы (при достаточно малых отношенияхmJ) – это будет доказано позже.mS12-Силы инерции-4Сначала эти решения воспринимались как “математический курьез”. Но в 1906 г. около L5был обнаружен астероид Ахиллес, а затем около L4 и L5 были найдены еще несколько астероидов.Этим группам астероидов присвоены названия “Греки” (Ахейцы) и “Троянцы”.Области Хилла.

(см Л. Парс Аналитическая динамика)ОВД в ограниченной задаче трех тел называются областями Хилла. Интеграл Якоби дает следующее соотношениеOBDh = {( x, y ) : h − Vω ≥ 0}Будем изменять h от − ∞ в сторону возрастания . Получаются следующие картинки для ОВД. Заштрихована запрещенная область.Вопросы к материалу Лекция 12-1.• Силы инерции.• Ограниченная задача трех тел.• Плоская ограниченная круговая задача трех тел.• Уравнения движения. Интеграл Якоби.• Относительные положения равновесия.• Коллинеарные точки либрации Эйлера.• Точки либрации Лагранжа.• Области Хилла.Лекция 12-2Равновесие точки на поверхности Земли. Вес.12-Силы инерции-5Неподвижную систему координат выбираем так, чтобы угловая скорость Земли Ω смотрелавертикально вверх. Подвижную, связанную с Землей систему выбираем так, чтобы одна ее ось совпадала с вертикальной.

В системе координат, связанной с Землей, имеемmMm&r& = −γ 2 er + Fпер + Fкор + Fостr(*)где Fост - остальные силы (если они есть).Fпер = − mΩ 2 r cosθ (−e1 ) , Fкор = −2m[ Ω, r& ]Вектор ( + e1 ) лежит в плоскости широты и меридиана. Пусть точка находится в равновесии на поверхности Земли ( r = R ), и F - сила реакции опоры или подвеса. ТогдаmMer − mΩ 2 r cosθ e12rВесом тела называется (− F ) , т.е.

сила, с которой тело действует на опору или подвес. ЗамеF =γтим, что вес направлен к центру Земли лишь на полюсах и на экваторе.Ускорением свободного падения g называется вес, умноженный на массу тела.Me + Ω 2 r cosθ e12 rrНаправление (− g ) называется местной вертикалью. Угол между местной вертикалью и плоскостьюg = −γэкватора (экваториальной плоскостью) называется астрономической широтой ϕ .Задача.

Чему равна Ω - угловая скорость вращения Земли.Ответ. 1 сутки −1Задача. А в секундах?Падение точки в пустоте.Предположим, что материальную точку бросают с башни. Т.к. наблюдатель расположен наЗемле, пишем уравнения движения в подвижной системе координат: уравнение (*) при F = 0 . Считаем, что дело происходит в северном полушарии (полушарие от экватора в сторону вектора Ω ).Будем считать, что в процессе движения радиус-вектор r изменяется несильно, точнее∆R<< 1 . Тогда, в процессе движения g ≈ const .

Имеем:rr&r& = −2[Ω, r& ] + g , r (0) = r0 , r& (0) = 0(**)Это уравнение – линейная неоднородная система. Ее можно решить явно, но мы воспользуемся малостью угловой скорости вращения Земли Ω . Точнее воспользуемся следующим стандартным фактом из теории обыкновенных дифференциальных уравнений.•Если правые части системы дифференциальных уравнений удовлетворяют теореме о существовании и единственности решения, и вдобавок гладко зависят от параметра, то и решение гладко зависит от параметра.

Более того, если правые части аналитичны по параметру (являются сходящимися рядами Тейлора), то и решения аналитичны.Раскладываем решение уравнения в ряд по Ω = Ω . Направление Ω остается неизменным из-завыбора системы координат. Поскольку в уравнения движения входит 2Ω , раскладываем по 2Ω .12-Силы инерции-6r (t ) = r0 (t ) + 2Ωr1 (t ) + 4Ω 2 r2 (t ) + KПодставляем это в (**) и приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях Ω :&r&0 = g ,r0 (0) = r0 , r&0 (0) = 0&r&1 = −[eΩ , r&0 ] ,&r&2 = −[eΩ , r&1 ] ,KKr1 (0) = r&1 (0) = 0r2 0) = r&2 (0) = 0Получаем отсюдаr0 (t ) = r0 +1 2gt ,23&r&1 = −t[eΩ , g ] = t cos ϕ eВост , r1 (t ) = cos ϕ t eВост6Единичный вектор eВост направлен на восток по касательной к параллели.224&r&2 = −t[eΩ , eВост ] cos ϕ t = cos ϕ t e1 , r2 (t ) = cos ϕ t e12224Итакr (t ) = r0 +t 3 eВост cos ϕt 4 e cos ϕ1 2gt + 2Ω+ 4Ω 2 1+K2624Вывод. В первом приближении имеем смещение точки на Восток.