TM-10 (Лекции), страница 2

Т.е. положение равновесия находится в начале координат и в положении равновесия уровень энергии равен нулю. Обозначим T (h) - период колебаний исходной (нелинеаризованной) системы при уровне энергии h > 0 и T0 - период малых колебаний. Заметим, что величина T (0) не определена, т.к. значениюнулевой энергии соответствует положение равновесия.

Тем не менееУтверждение. T (h) = T0 + O(h) при h → +0 .x2 ( h )dx, гдеh − V ( x)x1 ( h )V ′′(0)h − V ( x1, 2 (h)) = 0 . В соответствии с малой леммой Морса V ( x) = x 2 g ( x) . Причем g (0) => 0.2Сделаем в окрестности нуля замену координат z = x g (x ) . Тогда V ( x) = z 2 , z1, 2 = ± h иДоказаительство.Мыполучилиp( z )dz = dx , где p −1 ( z ( x)) = g −выше,чтоT ( h) = 2m∫V ′′(0)x( z ) g ′. Заметим, что p −1 (0) = g (0) =.22 gИспользуяразложение с остаточным членом в форме Лагранжа имеемp( z ) = p(0) + p′(0) z + p′′(ξ )+ hT ( h ) = 2mp( z )dz∫h − z2− hz2, где ξ ∈ [0, z ]2+ h=2m∫− h+ hp(0)dz+ 2mh − z2∫− hp′(0) zdzh − z2+ h+ 2m∫− hp′′(ξ ) z 2 dzh − z2Второе слагаемое равно нулю, т.к.

подинтегральная функция нечетная. Оценим третье слагаемое+ h2m∫− hp′′(ξ ) z 2 dzh−z2+ h≤C∫− h+ hz 2 dzh−z2≤Ch∫− hdzh − z2= Cπ h = O ( h )Первое же слагаемое равно+ h2m∫− hp(0)dzh−z2=4mπ = T0V ′′(0)Утверждение доказано.(2) Колебания в окрестности сепаратрисы ( h ≈ max V ).Пусть замкнутая кривая близка к сепаратрисе. Для определенности рассмотрим следующуюкартинку.10-Динамика материальной точки-7Сдвигом переменной x можно добиться, чтобы x0 равнялось нулю ( x0 = 0 ).

Добавляя к V постоянную, так чтобы V = 0 в точке максимума x0 = 0 . Это не изменяет уравнений движения. Считаеммаксимум невырожденным V ′( x0 ) = 0 , V ′′( x0 ) < 0 .ИтакV (0) = 0 , V ′(0) = 0 , V ′′(0) = −2α 2(*).Найдем асимптотику периода движения при1Утверждение. T (h) = 2mαln1+ O(1) , при h > 0 , h → +0 .hДоказательство.T ( h) = 2mx2 (h)dx= 2m ( I − + I + I + )h − V ( x)∫x1 ( h )где−ccx2x1−ccI− = ∫ K , I = ∫K , I + = ∫Kи c > 0 - некоторая малая постоянная. Интегралы I + и I − - очевидно ограничены при h → 0 .Рассмотрим поведение I при h → 0 .

Из (*), применив следствие из малой леммы Морса, получаем V ( x) = −α 2 x 2 − x 3ϕ ( x) , где ϕ (x) - гладкая функция (знак “минус” выбран для дальнейшейпростоты). Сделаем замену переменных x =hξ . ТогдаcdξhI=∫= I1 + I 2 + I 31 + α 2ξ 2 + hξ 3ϕ ( hξ )chгдеc−1∫K ,I1 =−c−1hI 2 = ∫ K , I3 = ∫ K−11hИнтеграл I 2 , очевидно, ограничен при h → +0 .Лемма. I1 − τ ( h) и I 3 − τ ( h) - ограничены при малых h , гдеcτ ( h) =h−1dξ∫ αξ = − ∫1−cdξαξ=1αlnchhДоказательство.ccI 3 − τ ( h) ≤h∫111 + α 2ξ 2 + hξ 3ϕ ( hξ )−1αξdξ =h∫1αξ − Kdξαξ K10-Динамика материальной точки-8ch=∫1c(αξ − K)(αξ + K)dξ =αξ K(αξ + K)c=h∫1c− 1 − hξ 3ϕ ( hξ )dξ ≤α 2ξ 2 K + ( K)2c=12∫∫11 + hξ 3 ϕ ( hξ )α 2ξ 2 K1c1 + hξ 3 ϕ ( hξ )h∫αξh2− 1 − hξ 3ϕ ( hξ )dξ =αξ K(αξ + K)h1 + α 2ξ 2 + hξ 3ϕ ( hξ )dξ ≤1 + hξ 3 ϕ ( hξ )h∫1dξ =αξ22α ξ − hξ ϕ ( hξ )223dξПусть Φ = max ϕ ( x) . Тогдаx∈[ 0 , c ]cI 3 − τ ( h) ≤1 + hξ 3Φh∫αξ212Выберем c настолько малым, чтобы c Φ <hξ ϕ ( hξ ) ≤α22dξα 2ξ 2 − hξ 3Φиα22.

Тогда для 1 ≤ ξ <hξ 3ϕ ( hξ ) ≤ ξ 2cϕ ( hξ ) ≤cбудетhα 2ξ 22Значитα 2ξ 2 − hξ 3Φ = α 2ξ 2 (1 − hξΦα2) ≥ α 2ξ 2 (1 −cΦα2) ≥ αξ12ПоэтомуcI 3 − τ ( h) ≤h∫11 + hξ 3Φdξ3 3 1αξ2Последний интеграл ограничен при h → +0 . Это завершает доказательство.Задача. Дайте асимптотику периода колебаний для движений “внутри петли” т.е., дляh → −0 .Ответ. T (h) = 2m11ln+ O(1) при h → −0 . ?2α − hЛинейные колебания.ЗдесьРассмотрим материальной точки по прямой следующего видаm&x& = −cx − µ x& + f (t ) , c > 0 , µ > 0− cx - упругая сила,− µx& - вязкое трение,f (t ) - внешняя сила.(1) Пусть f (t ) = 0 .

Получаем линейное однородное уравнение. Корни характеристического уравнения:− µ ± µ 2 − 4cmλ=2mЧастные случаи (картинки из книги Л.С. Понтрягина “Обыкновенные дифференциальные уравнения”)10-Динамика материальной точки-9(а) µ 2 > 4cm - два действительных различных отрицательных корня – устойчивый узел. Решения – экспоненты с отрицательными показателями.(б) µ 2 = 4cm - действительный отрицательный корень кратности 2 - устойчивый вырожденный узел . Решения – экспонента с отрицательным показателем умноженная на полином первой степени.(в) µ 2 < 4cm Два комплексно сопряженных корня с отрицательной вещественной частью.Устойчивый фокус.

Колебания с амплитудой затухающей по экспоненте.(г) µ = 0 Два комплексно сопряженных чисто мнимых корня. Центр. Колебания около положения равновесия.Общее решение, графики функций x(t ) .Задача. Нарисовать фазовые портреты в случаях а) – г).(2) Рассмотрим случай f (t ) = K cos γ t , K > 0 , γ > 0 . Надо найти частное решение.Тогда общее решение будет суммой частного решения неоднородного уравнения и общегорешения однородного уравнения.Ищем решение методом неопределенных коэффициентов в видеx(t ) = a cos γ t + b sin γ t(*)Подставляем в уравнение10-Динамика материальной точки-10− maγ 2 cos γ t − mbγ 2 sin γ t − µγa sin γ t ++ µγb cos γ t + ca cos γ t + cb sin γ t = K cos γ tПриравниваем коэффициенты при sin γ t и cos γ t :− maγ 2 + mbγ + ca = K− mbγ 2 − maγ + cb = 0det = (−mγ 2 + c)(− mγ 2 + c) + µ 2γ 2 ≥ 0(a) det ≠ 0 - есть частное решение вида (*)(б) det = 0 - ( γ = ω - собственная частота, µ = 0 ).

Резонанс.Kt sin ωtРешение – квазимногочлен: x(t ) =2mωЗадача. Проверить.Задача. Нарисовать качественно решение x(t ) приµ > 0 - очень малом, mγ 2 ≈ C , t - очень большом.Ответ. Биения.Пример резонанса в линейной системе.Рассмотрим уравнение движения гармонического осциллятора под воздействием периодической принуждающей силы&x& + ω 2 x = A cosνtПерейдем к комплексному виду (метод комплексных амплитуд)&z& + ω 2 z = AeiνtХарактеристическое уравнениеλ2 + ω 2 = 0 , λ = ±iωРассмотрим два случая.а) ν ≠ ω (т.е.

iν ≠ iω ) - показатель квазимногочлена – не корень характеристическогоуравнения. Поскольку степень квазимногочлена в правой части – нулевая, то ищем частноерешение в видеz = BeiνtПодставив в уравнение, получим(ω 2 − ν 2 ) B = AТаким образом, частное решение имеет видAz= 2eiνt2ω −νВ соответствии с методом комплексных амплитуд, частное решение исходного (вещественного) уравнения имеет вид x = Re z10-Динамика материальной точки-11x=A2ω −ν 2cosνtОбщее решение имеет видx = c1 cos ωt + c2 sin ωt +Aω 2 −ν 2cosνtТакое движение называется квазипериодическим движением. Первые два члена в нем – этосвободные колебания, последний член – вынужденные колебания.

Амплитуда вынужденныхколебаний (и, значит – амплитуда полного движения) растет сколь угодно велико при приближении частоты вынуждающей силы к частоте свободной системы. Это явление называется резонансом.б) ν = ω (т.е. iν = iω ) - показатель квазимногочлена – корень характеристическогоуравнения кратности один. Поскольку степень квазимногочлена в правой части – нулевая, тоищем частное решение в видеz = BteiωtТогдаz& = B(iωteiωt + eiωt )&z& = B(−ω 2teiωt + 2iωeiωt ) = Beiωt (−ω 2t + 2iω )Подставив в уравнение, получимBeiωt (−ω 2t + 2iω ) + ω 2 Bteiωt = AeiωtИлиB 2iω = AОткудаA2iωТаким образом, частное решение имеет видA i ωtz=te2iωВ соответствии с методом комплексных амплитуд, частное решение исходного (вещественного) уравнения имеет вид x = Re zAx=t sin ωt2ωЭто гармонические колебания с частотой ω и амплитудой линейно растущей во времениB=Общее решение имеет видAt sin ωt2ωКак происходит переход от а) к б)? Рассмотрим, например, решение с начальными условиями x(0) = 0 , x& (0) = 0 (при ν ≠ ω ) .

Подставив в общее решениеAx = c1 cos ωt + c2 sin ωt + 2cosνtω −ν 2ПолучимA= 0 , c2 = 0c1 + 2ω −ν 2Т.е.x = c1 cos ωt + c2 sin ωt +10-Динамика материальной точки-12x=A2ω −ν 2(cosνt − cos ωt )Ноcosνt − cos ωt = 2 sinПоэтомуx=2Asin2ω +νω +ν2t sint sinω −ν2tω −νt22Если ω − ν мало, то у нас есть медленные колебания, на которые наложены биения с частоω −νтой.2ω 2 −νПри фиксированном t и ω → ν получаемA2Aω −νx≈t sinνt =t sinνt(ω − ν )(ω + ν ) 22νТ.е.

амплитуда растет линейно по (при невеликих t ). Это линейный резонанс. В нелинейныхсистемах в общем случае – все по-другому. Амплитуда – ограничена. Возникают устойчивые(притягивающие) циклы.Вопросы к материалу Лекция 10-2.•••••Асимптотики периода колебаний.Малые колебания.Колебания в окрестности сепаратрисы. Асимптотика периода колебаний.Линейные колебания в отсутствии внешней силы.Линейные колебания при гармонической внешней силе. Резонанс..