TM-09 (Лекции)

09-Динамика и статика свободного твердого тела-1Лекция 09-01Оператор инерции.Пусть движение твердого тела ограничено тем, что его точка O неподвижна в абсолютномпространстве. А в остальном тело свободно. Такая механическая система называется твердым теломс неподвижной точкой O . По формуле Эйлера скорости точек твердого тела имеют видr&i = [ω , ri ]&где ω - мгновенная угловая скорость твердого тела. Рассмотрим, как выглядит кинетический момент.K = ∑ [ri , mi r&i ] =∑ [ri , mi [ω , ri ]]&iiВидно, что угловая скорость входит линейным образом, т.е.K = Jω(*)где J некая матрица 3 × 3 .Определение Отображение (*) из пространства угловых скоростей в пространство кинетических моментов называется оператором инерции.Матрица J называется матрицей инерции.

Она зависит только от расположения точек тела иих масс. Поэтому в абсолютной системе координат она зависит от времени, а в системе, жестко связанной с твердым телом она постоянна.Утверждение. (Свойства оператора инерции) Если твердое тело невырождено, то операторинерцииа) Невырожденный (т.е. det J ≠ 0 ),б) Симметричный (т.е. J = J T ),в) Положительно определенный (т.е.

( Ju , u ) > 0 при u ≠ 0 ),г) Кинетическая энергия твердого тела имеет вид T =11( K ,ω ) = ( Jω ,ω ) .22Доказательство. Сделав циклическую перестановку векторов в смешанном произведении,получаем(ω ,[r ,[ω , r ]]) = ([ω , r [,[ω , r [)(**)Поэтому1111mi r&i 2 = ∑ mi ([ω , ri ],[ω , ri ]) = ∑ mi (ω ,[ri ,[ω , ri ]]) = ( K , ω )∑2 i2 i2 i2Т.е. мы доказали г). Если ω ≠ 0 , и твердое тело невырождено, то у него есть точки, не лежащие наT=мгновенной оси вращения (т.е. их радиус-векторы неколлинеарны ω ). Они имеют ненулевую скорость, и, значит, T ≠ 0 , и более того, ( J ω , ω ) > 0 . Значит мы доказали б).

Отсюда же и из г) следует,что K ≠ 0 . Значит оператор инерции невырожден т.е. det J ≠ 0 , Значит мы доказали а).Докажем б). Определим матрицу J i следующим образомmi [ri ,[ω , ri ]] = mi (ω ri 2 − ri (ri , ω )) = J iωТогда J =∑Ji(***). Т.е. оператор инерции системы точек равен сумме операторов инерции для каждойiточки.В координатной записи ri = ( xi , yi , zi ) . Из (***) несложно убедиться, что yi2 + zi2J i = mi  − xi yi − xi zi− xi yixi2 + zi2− yi zi− xi zi − yi zi xi2 + yi2 Это симметрическая матрица. Следовательно б) доказано.Утверждение доказано.Замечание. Фактически мы использовали только то, что точка O неподвижна в данный момент времени. Поэтому все сказанное выше годится и для свободного твердого тела, у которого вданный момент времени точка O неподвижна.09-Динамика и статика свободного твердого тела-21( J ω , ω ) не зависит от выбора системы координат2(неподвижной и с началом в точке O ), Матрица J оператора инерции меняется при замене коордиПоскольку кинетическая энергия T =нат тензорным образом.

Поэтому иногда оператор инерции называют тензором инерции, а матрицуJ - матрицей тензора инерции.Условия статического равновесия твердого тела.Утверждение. Рассмотрим теперь свободное невырожденное твердое тело. Пусть некая еготочка O в данный момент неподвижна. Кинетичекий момент относительно O равен нулю K = 0тогда и только тогда, когда твердое тело (в данный момент) неподвижно, т.е. ω = 0 .Доказательство.

Для невырожденного твердого тела доказательство очевидно вытекает изневырожденности оператора инерции. Утверждение верно и для вырожденного тела. Пусть K = 0 ,1( K , ω ) = 0 . Значит, скорость каждой точки твердого тела равна2нулю, и, значит можно считать, что ω = 0 . Пусть теперь ω = 0 . Тогда кинетический моментK = Jω = 0 .тогда кинетическая энергия T =Утверждение.

Пусть к точкам твердого тела ri приложены некие вектора W i . И пусть сумма всех векторов равна нулю∑Wi= 0 . Тогда суммарный момент всех векторов не зависит от точкиiотносительно которой он вычисляется.Доказательство. Пусть A - некая точка и R = OA . Пусть ρi - вектора идущие из точки A кточкам твердого тела. Тогда ri = R + ρi и∑ [ r ,W ] = ∑ [ R + ρ ,W ] = R ∑ W + ∑ [ ρ ,W ] = ∑ [ ρ , W ]iiiiiiiiiiiiiiСледствие. Если суммарный импульс точек твердого тела равен нулю, кинетический момент(т.е.

момент импульса) можно вычислять относительно любой точки. Он от нее не зависит.Следствие- Определение. Пусть к точкам твердого тела ri приложены силы Fi (говорят, чтоприложена система сил). И пусть сумма всех сил равна нулю∑ F = 0 . Тогда суммарный моментiiM всех сил не зависит от точки относительно которой он вычисляется. В этом случае говорят, что ктвердому телу приложен момент M .Утверждение. (Условия статического равновесия твердого тела) Пусть к твердому телу приложены внешние силы и моменты. И пусть в начальный момент твердое тело было неподвижно.

Тогда в последующие моменты времени тело будет неподвижно (будет находится в состоянии статического равновесия) тогда и только тогда, когда равны нулю сумма всех внешних сил, приложенных кего точкам и суммарный момент этих сил и моментов.Доказательство. а) необходимость. Если твердое тело находится в равновесии, то его импульс и кинетический момент равны нулю. Утверждение вытекает из теоремы об изменении импульса и кинетического момента системы точек.б) достаточность. Если суммарная сила и момент равны нулю, то из теоремы об измененииимпульса и кинетического момента системы точек следует, что импульс и кинетический момент постоянны. Поскольку в начальный момент они были равны нулю, то они будут равны нулю и все время. Из равенства нулю импульса следует, что центр масс тела неподвижен. Неподвижность тела вытекает из первого утверждения раздела.Вопросы к материалу Лекция 09-01.•Твердое тело с неподвижной точкой.09-Динамика и статика свободного твердого тела-3••Оператор инерции и его свойства.Условия статического равновесия твердого тела.Лекция 09-02в)Вычисление кинетической энергии твердого тела.(1) Пусть тело имеет неподвижную точку O , vO = 0 .Тогда по формуле Эйлера о распределении скоростей в твердом теле r&j = [ω , r j ] .

Положим ω = ω e .Утверждение. T =I eω 2, I e = ∑ m j [e , r j ]2 = ∑ m j s 2j , где s j - расстояние от точки с но2мером j до оси Oe = l .Доказательство. Очевидно.Определение. Величина I e =тельно оси l = Oe .∑m sj2jназывается моментом инерции системы точек относи-(2) Общий случай. Воспользуемся второй формулой Кёнига.mvC2ω2T=+ TKEH , TKEH = I l ′22где l ′ - ось, проходящая через центр тяжести (точку C ) и параллельная ω .Пример. Катящийся обруч. T = mvC2Решение.

(Решить!!!)Вопросы к материалу Лекция 09-02.• Кинетическая энергия твердого тела в общем случае.Лекция 09-03Свойства моментов инерции.Для сплошного твердого телаI l = ∫ s 2 dm = ∫ s 2 ρ dxdydzDDгде s = s ( x, y, z ) - расстояние до оси l , ρ = ρ ( x, y, z ) - плотность массы.Теорема. (Гюйгенс-Штейнер) Проведем ось l ′ через центр тяжести C параллельно оси l( l ′ || l , C ∈ l ′ ).

Пусть d - расстояние между осями. ТогдаIl = Il ′ + m d 2Доказательство. Пусть тело вращается вокруг оси l . По второй формуле Кёнига имеемT=m d 2ω 2 1111I lω 2 = mvC2 + I l ′ ω 2 =+ Il ′ ω 22222209-Динамика и статика свободного твердого тела-4Доказательство завершено.Задача. Доказать эту теорему непосредственно.Задача. Доказать, что I x + I y ≥ I z , причем равенство возможно тогда и только тогда, когдавсе точки тела лежат в плоскости Oxy .Решение. (Решить!!!)Пример. Обруч: I Z = mr 2 , плоский, следовательно I x = I y =1 2mr2Задача.

Показать, что I x + I y + I z = 2 I OЗадача. Найти моменты инерции сферы.2) Вычисление кинетического момента твердого тела.(1) Движение с неподвижной точкой.Пусть vO ≡ 0 , тогда по формуле Эйлераr&j = [ω , rj ] ,K O = ∑ m j [rj , r&j ] = ∑ m j [rj ,[ω , rj ]](*)Воспользуемся известной формулой [a ,[b , c ]] = b < a , c > −c < a , b >[rj , [ω , rj ]] = ω rj2 − rj < rj ,ω >ТогдаKO = IO ω(**)где I O - оператор инерции твердого тела:I O ω = ∑ m j rj2ω − ∑ m j < rj , ω > rjОператор инерции линейно отображает пространство угловых скоростей твердого тела на пространство его кинетических моментов.

В координатной записиI O ω = ∑ m j ( x 2j + y 2j + z 2j ) ω − ∑ m j ( x jω x + y jω y + z jω z )rj = Ix=  − I xy− I xzгде,− I xyIy− I yz− I xz  ω x  − I yz  ω y I z  ω z I x = ∑ m j ( y2 + z 2 ) , I y = ∑ m j (x2 + z 2 ) , I z = ∑ m j (x2 + y2 )I xy = ∑ m j x j y j , I xz = ∑ m j x j z j , I yz = ∑ m j y j z jПервые три величины I x , I y , I z – это моменты инерции тела относительно осей Ox , Oy и Oz . Последние три величины I xy , I xz , и I yz - называются центробежными моментами инерции относительно плоскостей Oxy , Oxz и Oyz .Задача. Покажите, что, если тело невырождено, т.е.