TM-07 (Лекции)

07-Общие теоремы динамики для систем со связями-1Лекция 07-1Основные динамические величины.Для отдельной материальной точки массы m определяются следующие величины:p = mv - импульс точки.K = [r , p ] = m[r , v ] - момент импульса, или кинетический момент относительно некоторойточки O .mv 2T=- кинетическая энергия.2I = m(r , r ) = mr 2 - момент инерции относительно точки O .M = r × F - момент силы относительно точки O .Для системы материальных точек эти величины определяются аддитивным образом, как суммы соответствующих величин для каждой точки в отдельности. Например, импульс системы точекесть сумма импульсов отдельных точек, входящих в систему P =mi vi , и т.п.∑iЦентр масс системы материальных точек: ξ∑m r=.∑mi iiiiУтверждение.

Определение центра масс корректно (не зависит от выбора точки O ).Доказательство. Пусть есть еще одна точка O′ . Обозначим OO′ = η , тогда r ′ = r − η и∑ m r ′ ∑ m (r − η )ξ′=== ξ − η , Т.е. ξ ′ указывает на ту же точку, что и ξ . Доказательство за∑m∑mii iiiiiiiiвершено.Утверждение. Для системы точек импульс системы P = Mξ& , где M =∑mi- суммарнаяiмасса всех точек, входящих в систему.Доказательство.P = ∑ mi vi =id d ∑ mi ri  = ( Mξ ) = Mξ&dt  i dtДоказательство завершено.Утверждение.

(Теорема об изменении импульса системы) P& = F =∑ F , т.е. скорость измеiiнения импульса системы точек равна суммарному вектору всех сил приложенных к точкам системы.Доказательство.P& = ∑ mi v&i = ∑ FiiiДоказательство закончено.Силы можно разделить на две группы. Внутренние – силы взаимодействия между точкамисистемы, и внешние. В силу принципа равенства действия и противодействия – суммарный векторвнутренних сил равен нулю.

Поэтому в теореме об изменении импульса системы, в правой части стоит суммарный вектор внешних сил, приложенных к точкам системы.Система называется замкнутой, если в ней отсутствуют внешние силы.07-Общие теоремы динамики для систем со связями-2Следствие. Если система замкнута, то ее центр масс движется прямолинейно и равномерно(т.е. с постоянной скоростью).Пусть l - неподвижная ориентированная ось в E 3 , e - единичный вектор вдоль l , задающийориентацию.Положим Pl =< P , e > , Fl =< F , e > - проекции импульса системы и суммарного вектора силна ось l .Утверждение. P&l = Fl , т.е. скорость изменения проекции импульса на неподвижную ось равна проекции суммарной силы на эту ось.Доказательство. Очевидно из теоремы об изменении импульса системы.Следствие. Если суммарная проекция на неподвижную ось всех (внешних) сил, действующихна точки системы равна нулю, то центр масс системы в проекции на эту ось движется равномерно (спостоянной скоростью).Пример.

Задача Галилея о падении тяжелой точки. m&r& = −mgez .Здесь Fx = Fy = 0 . Поэтому mvx = const , mv y = const .Определение. (из теории ОДУ) Первый интеграл системы – это (непостоянная) функцияg (t , r1 ,K, rn , r&1 ,K, r&n ) , постоянная на движениях системы.Пример. В задаче Галилея mx& и my& - это первые интегралы системы (а также любая функцияот них ϕ (mx& , my& ) ).Теорема об изменении кинетической энергии.Теорема. T& =∑< F ,vii> . Т.е. скорость изменения кинетической энергии системы равнаiсуммарным мощности всех сил, действующих на точки системы.Мощностью силы, приложенной к точке принято называть скалярное произведение силы искорости точки.Доказательство.d 1 ∑ mi < vi , vi >  = ∑ mi < ai , vi > = ∑ < Fi , vi >dt  i 2i iДоказательство завершено.Замечание.

Здесь участвуют все силы – как внешние, так и внутренние.Работа силы. A =< F , s > , если F = const , а перемещение происходило вдоль вектора s .Т.е. – так определяется работа постоянной силы на заданном перемещении.В общем случае на бесконечно малом перемещении ds определяется элементарная работасилы δ A =< F , ds > .

Работа силы при перемещении по траектории точки γ определяется как суммаэлементарных работ, т.е. как интеграл по пути γ .t2A = ∫ < F , ds > = ∫ < F , v > dtγt1Формально, здесь определяется дифференциальная форма dA =< F , dr > и работа силы – это интеграл этой формы по пути.В случае многих точек dA =< Fi , dri > . В координатной записи положим∑i07-Общие теоремы динамики для систем со связями-3Fi = X i ex + Yi e y + Z i ezтогдаdA = X 1dx1 + Y1dy1 + K + Z n dznОпределение. СилыFiназываются потенциальными, если для некоторой функцииU (r1 ,K, rn ) выполнено∂U∂U∂UXi =, Yi =, Zi =, i = 1,2,K, n∂xi∂yi∂ziВ краткой записиFi =∂U∂riФункция U называется силовой функцией.Формально можно так: Пусть F j зависят только от положения (т.е.

только от ri ). Силы называются потенциальными, если дифференциальная форма < F , ds > точна, т.е. является дифференциалом некоей функции V .< F , ds >= dVТогда первообразная этой формы, т.е. V , взятая с обратным знаком – это силовая функция.U = −VПервообразная V называется потенциальной энергией.Далее, вместо силовой функции U всегда будем использовать V = −U - потенциальнуюэнергию.

Функции U и V определены с точностью до аддитивной постоянной.с-027Предложение. Вдоль движения системы V& = − < F j , v j > , т.е. при движении системы по-∑jтенциальная энергия убывает как суммарная мощность всех сил.Доказательство.∂V∂V∂VV& =x&1 +y&1 + K +z&n = −∑ < Fj , v j >∂x1∂y1∂znjСледствие. A = −(V (t2 ) − V (t1 )) , т.е. работа сил на действительном движении системы рав-ны изменению потенциальной энергии взятому с обратным знаком.Следствие. Если силы потенциальны, то T + V - это первый интеграл системы.Доказательство.dV& = −∑ < Fj , v j > = −T& , следовательно (T + V ) = 0dtjДоказательство завершено.Это – закон сохранения энергии системы.

Величина T + V называется полной энергией системы.Формулировка: Если силы потенциальны, то полная энергия системы сохраняется.Примеры.(1) Сила тяжести: F = − mgez , V = mgz(2) Сила упругости: F = − k ( r − l0 )1r, k > 0 , V = k ( r − l0 ) 2 . Здесь l0 - длина пружинки в2rнерастянутом состоянии. В частности, при l0 = 0 , F = −kr , V =12kr .2(3) Гравитационная сила (сила Ньютоновского притяжения):F =−γ mMr3r, V =−Задача. Проверить это.γ mMr07-Общие теоремы динамики для систем со связями-4Теорема об изменении кинетического момента.Утверждение. Для системы материальных точекK& = ∑ M j(*)jТ.е.

скорость изменения кинетического момента системы точек равна суммарному моменту всех сил,действующих на систему.Доказательство. Поскольку [rj , rj ] = 0 , то•K& =  ∑ [rj , mr&j ]  = ∑ [rj , m&r&] = ∑ [rj , F j ] = ∑ M jjjj jЗамечание. Моменты сил M j складываются из моментов внутренних и внешних сил. Внутренние силы встречаются парами, равными по величине и противоположными по направлению (IIIзакон Ньютона). Более того, линия действия сил в каждой такой паре параллельна прямой, соединяющей взаимодействующие точки.Это следует из принципа относительности.

Задача. Проверить это.Важное дополнение к утверждению. Таким образом, в правой части (*) можно учитыватьтолько внешние силыКаверзный врпрос. А как быть с движением двух заряженных частиц? Там возникают силыортогональные скоростям частиц.Ответ. Без полного учета электромагнитного поля (ур-я Максвелла) – это не Ньютоновы силы (III закон здесь не выполнен). Поэтому в таких случаях в Утверждении надо принимать во внимание все силы.Пример.

Пусть точка одна и сила F центральная с центром в начале координат, т.е. F || r .Тогда выполняются следующие утверждения:(а) Движение – плоское, причем плоскость проходит через начало координат.(б) В полярных координатах на плоскости движения выполнено:r 2ϕ& = c = const (т.е. существует интеграл площадей)Действительно. (а) Момент силы относительно центра равен нулю. Поэтому из теоремы обизменении кинетического момента получаем K = K 0 = const . Пусть K 0 ≠ 0 .

Поскольку K⊥ r иK ⊥ r& , то K 0 ⊥ r и K 0 ⊥ r& , или < K 0 , r& >= 0 и < K 0 , r >= 0 . Таким образом движение происходит вплоскости π ⊥ K 0 , O ∈ π .(б) Пусть r , ϕ - полярные координаты на π с полюсом в O (линия отсчета угла – произвольная). Тогда r = rer , r& = r&er + rϕ& eϕ . СледовательноK 0 = [r , mr& ] = [rer , m(r&er + rϕ& eϕ )] = mr 2ϕ& [er × eϕ ] = constТ.к. er × eϕ = const || K 0 , то и mr 2ϕ& = const .Задача. Разобрать случай K 0 = 0 .Ответ.

Движение по центральной прямой.Задача. (Теорема об изменении кинетического момента относительно неподвижной оси.)Пусть l неподвижная ось, проходящая через точку O , и el - единичный направляющий вектор оси. Тогда< K , el >• =< ∑ M j ,el >j07-Общие теоремы динамики для систем со связями-5Т.е. скорость изменения момента количества движения относительно неподвижной оси равнасуммарному моменту сил относительно этой оси.Вопросы к материалу Лекция 07-01.••••••••••Основные динамические величины.Теорема об изменении импульса системы. Движение центра масс.Замкнутые системы.Первые интегралы системы.Теорема об изменении кинетической энергии.Работа силы.Потенциальные силы.

Силовая функция. Потенциальная энергия.Закон сохранения энергии.Теорема об изменении кинетического момента.Теорема об изменении кинетического момента относительно неподвижной оси.Лекция 07-02Общие теоремы динамики для систем со связями.Теорема.

(Об изменении импульса.) Пусть связи, наложенные на систему, идеальны и допускают поступательное перемещение системы как твердого тела вдоль фиксированного направления e .Тогда скорость изменения импульса системы в проекции на это направление равна сумме внешнихактивных сил в проекции на это направление.P&e = Fe ,F=∑Fi- сумма внешних активных сил (реакции связей и активные внутренниевнеш .силы сюда не входят).Доказательство. Условие теоремы означает, что среди виртуальных перемещений есть такие:δri = e , i = 1,2,K, nэто скорости точек при поступательном движении системы вдоль оси с единичной скоростью.nИз принципа Даламбера-Лагранжа∑ < m &r& − F , e > = 0 . Значит,j jj =1nn∑ m &r& = P& , и, что ∑ FЗамечаем, чтоj =1j jj =1j=j∑Fjnnj =1j =1< ∑ m j &r&j , e >=< ∑ F j , e >.