TM-06 (Лекции), страница 2

Пусть к точкам системы приложены силы F j . Элементарной работой этих силна виртуальном перемещении (δr1 ,K, δrn ) называется величинаn∑ < F , δrj =1jj>06-Учение о связях-5Определение. Связи называются идеальными, если (для любого действительного движениясистемы) элементарная работа реакций связей на любом виртуальном перемещении равна нулю:n∑ < R , δrjj =1j> = 0 , ∀δr - виртуального перемещения.Примеры идеальных связей.(1) Математический маятник.< R , δr >= 0(2) Твердое тело.Из третьего закона Ньютона Rij = − R ji . Реакция приложенная к одной точкеR j = ∑ R jiiПредложение.

Пусть Rij || ( ri − r j ) . Тогда связи в твердом теле идеальные.Доказательство. Поскольку ri − r j2= const , то виртуальные перемещения определяютсяуравнениями< ri − r j , δri − δr j >= 0Выписываем элементарную работу реакции связей∑ < R , δrjjj> = ∑ < R ji , δr j > = ∑ < R ji , δr j > + ∑ < R ji , δr j > =iji< ji> j= ∑ < R ji , δr j > + < Rij , δr j > = ∑ < R ji , δr j − δri >= 0i< ji< jЧто и требовалось показать.(3) Шар, катящийся без проскальзывания по шероховатой плоскости.Связь идеальная, т.к. реакция приложена только к точке касания шара и плоскости (нижней точки).Все виртуальные перемещения для нее – нулевые.

δρ = 0 , где δρ - виртуальное перемещение нижней точки.В самом деле, пусть ρ - точка касания шара и плоскости. Условие связи состоит в том, чтоρ& = 0 . По определению виртуальных перемещений δρ = 0 .(4) Движение материальной точки по поверхности.06-Учение о связях-6Виртуальные перемещения – касательные вектора к поверхности. Следовательно, связь идеальная тогда и только тогда, когда R || n ( n - нормаль к поверхности). Нормальная компонента Rназывается нормальной реакцией, касательная – силой трения.

Связь идеально тогда и только тогда,когда нет трения.Принцип Даламбера-Лагранжа.Утверждение. Если связи наложенные на систему идеальны, то на любом действительномдвижении системы для любого виртуального перемещения δr ∈ R 3n выполненоn∑ < m &r& − F , δrj =1j jjj>=0(*)Доказательство. Из аксиомы освобождения от связей получаемR j = m j &r&j − F jПодставив это в определение идеальности связей, получим требуемое утверждение.Принцип Даламбера –Лагранжа состоит – это аксиома говорящая, что верно не только прямоеутверждение, но и обратное.Формулировка. Если связи, наложенные на систему идеальны, то кривая r (t ) является действительным движением системы тогда и только тогда, когда в любой момент времени, для любоговиртуального перемещения δr ∈ R 3n выполнено (*).Можно показать, что, если связи невырождены, то из (*) траектория восстанавливается однозначно, если заданы начальные условия.Вопросы к материалу Лекция 06-02.• Реакции связей.• Аксиома освобождения от связей.• Элементарная работа.• Идеальные связи.• Идеальность связей математического маятника.• Идеальность связей твердого тела.• Идеальность связей качения без проскальзывания.• Идеальность движения точки по поверхности.• Принцип Даламбера-Лагранжа..