TM-05 (Лекции)

05-Ньютонова механика-1Лекция 05-01Ньютонова механика.Ее основы заложены Галилеем. Развиты впоследствии Гюйгенсом, Гуком и др. Были обобщены и систематизированы Ньютоном в его труде “Математические начала натуральной философии”.Законы динамики Ньютона формулируются в некоторой выделенной системе отсчета в трехмерном евклидовом пространстве (или в системах “эквивалентных ей”) и по отношению к некоторому “фиксированному” времени.

Эта система отсчета и время называются абсолютными.Абсолютные системы на практикеВопрос. К какому типу математических высказываний относится “принцип”? (аксиома, теорема, определение и т.п.)Ответ. Принцип – это утверждение, которое можно взять за аксиому вместо исходной системы аксиом. Принцип эквивалентен исходной системе аксиом – если они есть. Из него выводятся теже утверждения. Эквивалентность принципа и системы аксиом, которую он заменяет надо доказывать.

Иногда сами исходные аксиомы формулируются как принцип и в этом случае доказывать эквивалентность не надо.Принцип детерминированности.Рассмотрим систему, состоящую из n различных точек S1 ,…, S n . Их радиус-векторы в абсолютной системе отсчета – это r1 ,…, rn . При движении они изменяютсяrj = rj (t ) ,j = 1,2,K, nСистему будем называть замкнутой, или изолированной, есливующих с данными.Для краткости обозначим r = (r1 , r2 ,..., rn ) .Принцип детерминированности утверждает следующее.жутся таким образом, что в каждый момент времени ускорениенет других мат. Точек взаимодейст-В изолированной системе точки дви&r&j , j = 1,2,K, n однозначно опреде-ляется положениями и скоростями точек.

(Это одна из возможных формулировок). Иначе говоря, существует функция Φ , такая, что для любого действительного движения точек системы r (t ) , такого,что r (t0 ) = r0 , r& (t0 ) = r&0 выполненоr (t ) = Φ (t0 , r0 , r&0 , t )Продифференцировав дважды по времени и положив t = t0 , получим&r&j = f j (t , r1 ,K, rn , r&1 ,K, r&n ) ,j = 1,2,K, n(1)Определение функций f j в конкретных задачах представляет собой отдельную проблему,решение которой основывается на экспериментах и соображениях теоретического характера.Если функции f j заданы, то (1) – это система ОДУ (обыкновенных дифференциальныхуравнений), из которой, в принципе, можно найти функции rj (t ) .

Такая задача называется прямойзадачей. Иногда приходится решать обратную задачу. Известны движения системы, а требуется найти функции f j .Принцип относительности Галилея.Существуют системы отсчета, называемые инерциальными.(а) Законы механики одинаковы в инерциальных системах координат.(б) Любая система, движущаяся относительно абсолютной поступательно, прямолинейно, спостоянной абсолютной скоростью, время в которой отличается от абсолютного на некоторую постоянную – инерциальна.Оинаковость законов механики означает, что при одинаковых начальных условиях во всехинерциальной системе получатся одинакове движения (траектории). Т.е. уравнения движения (1) вовсех системах одинаковы.

Т.е. одинаковы правые части - функции f j .05-Ньютонова механика-2Следствия.1. Функции f j в инерциальной системе не зависят явно от t . Действительно, система, в которой rj совпадают с абсолютными, а t отличается на const , инерциальна. Следовательно,f j (t + const , r1 , K , rn , r&1 , K , r&n ) = f j (t , r1 , K , rn , r&1 , K , r&n ) .2. Зависимость f j от координат сводится к зависимости лишь от разностей rj − r1 . Действительно, система, в которой rj отличаются от абсолютных на постоянный вектор a , а время – то же,является инерциальной.

Следовательноf j (t , r1 ,K, rn , r&1 ,K, r&n ) = f j (t , r1 − a ,K, rn − a, r&1 ,K, r&n )для любых a , r1 ,K, rn , и r&1 ,K, r&n . Подставив сюда a = r1 , получимf j (t , r1 , K , rn , r&1 , K , r&n ) = f j (t ,0, r2 − r1 , K , rn − r1 , r&1 , K , r&n )3. То же для скоростей. Действительно, система, которая движется относительно абсолютнойс постоянной скоростью b = const , а время – то же, является инерциальной. Следовательноf j (t ,0, r2 − r1 ,K, rn − r1 , r&1 ,K, r&n ) = f j (t ,0, r2 − r1 ,K, rn − r1 , r&1 − b ,K, r&n − b )для любых a , r1 ,K, rn , и r&1 ,K, r&n . Подставив сюда b = r&1 , получимf j (t , r1 ,K, rn , r&1 ,K, r&n = f j (t ,0, r2 − r1 ,K, rn − r1 ,0, r&2 − r&1 ,K, r&n − r&1 )4.

Для любой ортогональной матрицы G (3x3) выполненоf j (t , Gr1 , K , Grn , Gr&1 , K , Gr&n ) = Gf j (t , r1 , K , rn , r&1 , K , r&n )Это следствие того, что система координат, повернутая относительно абсолютной с помощью матрицы G , инерциальна.Понятие абсолютной системы условно. В силу принципа относительности все инерциальныесистемы равноправны.Примеры.(1) Закон инерции Галилея-Ньютона. Тело (точка), не взаимодействующее с другими телами,движется в абсолютной системе равномерно и прямолинейно.Если взаимодействия с другими телами нет, то можно считать, что f j = f j (t , rj , r&j ) . В силуследствий 1-3 из принципа относительности получаем, что f j = const .

В силу следствия 4, эта постоянная равна нулю. Значит&r&j = 0 , следовательно rj = rj0 + v tТаким образом, закон инерции – следствие принципа относительности. Заметим, что этот закон былнайден лишь в средние века. До этого полагали, что свободное от сил тело неминуемо остановится.(2) Падение тяжелых тел вблизи поверхности Земли.

Закон был найден Галилеем экспериментально: ускорение освобожденного (падающего) тела постоянно и направлено вертикально вниз.&r& = − gez , g = const ≈ 9.8 мс2Вопрос. Не противоречит ли это принципу относительности.Ответ. Нет, т.к. здесь &r& – это постоянный вектор и это сохраняется в любой инерциальнойсистеме.Траектории здесь параболы.Задача 1. (О максимальной дальности) Допустим мы бросаем точку под разными углами но содной и той же скоростью v0 = const .

Землю считаем плоскостью. Под каким углом надо броситьточку, чтобы достичь максимальной дальности.Задача 2. Найти множество достижимости в задаче 1. (Оно называется параболой безопасности).05-Ньютонова механика-3x.(3) Закон Гука. Тело на пружинке. Для простоты рассматриваем одномерный случай – на осиЭксперимент: &x& = −α ( x − x0 ) , α > 0Решения: x = a cos ωt + b sin ωt , ω = αОказывается, что каждому телу можно сопоставить число m > 0 , такое, что α =c, где c неmзависит от тела, а зависит лишь от пружинки.m - называется массой тела. Масса определена с точностью до пропорциональности.

Единица массы – эталон.Аддитивность массы. Поскольку масса аддитивна, то ее можно трактовать, как меру количества материи (вещества).Определение. Пара ( S , m) , где m - масса точки S называется матеральной точкой.Уравнения движения можно переписать в таком видеmi &r&i = Fi (t , r1 , K , rn , r&1 , K , r&n ) , i = 1,2, K , nВектор Fi = mi f i называется силой.Например, mg - сила тяжести, или вес, а ( − cx ) - упругая сила.Задача Кеплера и закон всемирного тяготения.Рассмотрение идет в системе координат в начале которой расположено Солнце, и ориентацияосей которой неизменна по отношению к удаленным звездам. Эта система считается инерциальной.Кеплер: “Новая астрономия” (1609) и “Гармония мира” (1619), используя результаты наблюдений его наставника Тихо Браге, получил следующие три закона движения планет Солнечной системы:I. Все планеты совершают периодические движения по эллипсам, в одном из фокусов которых находится Солнце (точнее, центр Солнца).II.

Радиус-векторы планет (проведенные из солнечного фокуса) за равные промежутки времени заметают равные площади.III. Отношение кубов больших полуосей орбит к квадратам периодов обращения планет является постоянной величиной (не зависящей от выбора планеты).Следуя Ньютону, выведем формулу для силы , действующей на планету.1. Поскольку орбита – эллипс (I), то движение происходит в постоянной плоскости. Введем вней полярные координаты ( ρ , ϕ mod 2π ) с полюсом расположенном в том фокусе эллипса, где располагается Солнце. Ориентацию плоскости выберем так, чтобы движение планеты происходило против часовой стрелки. Луч, соответствующий нулевому полярному углу выберем произвольно.Из Анализа мы знаем формулу для площади сектора 2 S =ϕtϕ0t022∫ r dϕ = ∫ r ϕ&dt .

Следовательно (II)r ϕ& = 2S& = c = const22. Пусть r - радиус-вектор планеты. Тогда &r& = f . Надо найти f . Напомним формулу дляускорения в полярных координатах (она выводилась в разделе о сложении ускорений)&r& = (rϕ&& + 2r&ϕ& )eϕ + (&r& − rϕ& 2 )er(**)Дифференцируя соотношение r 2ϕ& = const по времени получим05-Ньютонова механика-4r 2ϕ&& + 2rr&ϕ& = r (rϕ&& + 2r&ϕ& ) = 0Поскольку r ≠ 0 , то rϕ&& + 2r&ϕ& = 0 , и из (**) получаемf = (&r& − rϕ& 2 )er(*)В этой ситуации говорят, что сила – центральная (она всегда направлена на одну и ту же точку – вданном случае – на начало координат).Теперь надо найти f как функцию от (t , r , r& ) .3. Поскольку c ≠ 0 , r ≠ 0 , то ϕ - монотонная функция времени.

Следовательно в качествепараметра на траектории можно взятьϕ . Тогдаr = r (ϕ ) , t = t (ϕ ) , причемЗаметим, чтоdt 1 r 2= =dϕ ϕ& cd  1  1 dr 1 dt r&r 2 r&= r&==−  =dϕ  r  r 2 dϕ r 2 dϕ r 2c cd 2  1  d  r&  1 dt 1 r 2 r 2 &r&= &r& = 2  = &r&−  =cdϕ 2  r  dϕ  c  c dϕ c cc2c2 d 2  1 2&−,аиззаконаплощадейϕ. Теперь формулу (*) можно переписать вЗначит &r& = 2r=r dϕ 2  r r3следующем виде c2 d 2  1  c2 c2  d 2  1  1 −−=−f =  2e  + er23  rr 2  dϕ 2  r  r  r dϕ  r  r 4.